这学期参加了一下数学院有关代数拓扑的讨论班，主要讨论扭结理论中的同调，我就对着讨论书抄一点内容，希望能坚持下来。

另外我比较关心扭结主要是因为Witten的工作，不过这个讨论班主要关系的不是Jones多项式而是Alexander多项式。我主要是去听个响，所以一些证明啥的就不管了。

• 纽结理论速通
  • 所以数学上什么是活结？
  • 扭结的基本群
  • Seifert 曲面
  • Alexander 多项式
    • 递归计算
    • 直接从Seifert曲面定义
  • Jones 多项式
• 格点图
  • 用格点翻译扭结
  • 用格点翻译扭结不变量
    • Alexander多项式
    • 基本群
• 格同调
  • Maslov和Alexander指数
  • $\widetilde{GC(\mathbb{G})}$
  • $GC^-(\mathbb{G})$
  • $\widehat{GC}(\mathbb{G})$
  • 再看缠绕数
• 附录：同调代数速通
  • 链复形
  • 正合列
• 参考文献

纽结理论速通

所以数学上什么是活结？

首先，我们谈论扭结一定是在三维空间看的，因为众所周知就算你是画电路图，二维也不能很好反映交叉点。数学上更喜欢在紧致化后的$S^3$里面看扭结，这和用三维欧式空间看是等价的，因为有下面的定理

两个扭结在$\mathbb{E}^n$中同痕当且仅当在$S^3$中同痕

数学上研究扭结理论不像我们平时打结一根绳子，而是把绳子的端点连接起来，如果没打结的话就是一个$S^1$。而且数学上会考虑很多根绳子扭起来形成的结。粗略地说扭结理论就是在考虑$\ell$个$S^1$到$S^2$的嵌入（就是用同胚映射搞到一个子集上去）。数学上严格定义如下

一个 $\ell$-分量连环 (link) $L$ 在 $S^3$ 中是由 $\ell$ 条平滑嵌入的简单闭合曲线构成的集合。一个 1-分量连环称为**纽结 (knot)**。我们用 $\vec{L}$ 表示一个带有方向的连环。若连环 $\vec{L}_1$ 和 $\vec{L}_2$ 是**等价的**，则它们是**周遭同痕** (ambiently isotopic) 的，即存在一个光滑映射 $$ H: S^3 \times [0, 1] \to S^3 $$ 使得 $H_t = H|_{S^3 \times \{t\}}$ 是每个 $t \in [0, 1]$ 上的微分同胚，并且满足：

• $H_0 = \mathrm{id}_{S^3}$,
• $H_1(\vec{L}_1) = \vec{L}_2$, 且 $H_1$ 保持连环的方向。 在此等价关系下的连环的等价类称为连环类 (link type) 或纽结类 (knot type)。

上面的定义看起来很复杂确定扭结的等价，但实际上下面的定理保证了我们只需要考虑一个更简单的情况，称为扭结**同痕(isotopy)**。两个连环$\vec{L}_1,\vec{L}_2$同痕当且仅当存在一个光滑映射$F\colon(\cup_{j=1}^\ell S^1)\times[0,1] \to S^3$，使得在时间端点处正好是两个扭结。

同痕扩张定理 两个扭结同痕当且仅当他们周遭同痕

注意这里我们并没有用同伦，我们引入的是光滑映射，是微分流形的观点。原因是同痕更强，同伦会让十字交叉的两条线，一个在上另一个在下，以及相反的情况是同伦等价的，显然如果这样，就不存在扭结了。这一点是可以证明的，如果下面的线再相交处穿过变成了上面，那么就叫一个crossing change，最小的需要crossing change到一个unknot的步数称为unknotting number $u(K)$。

扭结理论研究中显然我们需要画图，比如下面的图：

上面的图明显得表示出了两个link在交叉处的情况，而且标记出了每个link的经线（Meridian），就是每个扭结的link分量根据取向由右手螺旋定则确定的一个有方向的小圆周。然后研究扭结就可以在二维平面上研究了，Reidemeister发现，所有对扭结的操作都可以看成是三种在平面上对扭结图的操作，如果两个扭结同痕当且仅当可以通过有限次这些操作把扭结图变到彼此。这三种操作是：

所以扭结到底打没打结，就看这三种操作能不能变成一个unknot，也就是一个圆周了。

下面的图示给出了两个扭结之间的连通和的定义$K_1 \text{#} K_2$:

假设有两个扭结，或者说一个连环里面的两个分量，我们可以计算他们的linking number $\ell k(\vec{K_1},\vec{K_2})$。算起来就是找他们的交点，然后按照下面的约定求和，然后除以二：

可以证明这个数始终是整数，而且$\ell k(\vec{K}_{1},\vec{K}_{2})=\ell k(\vec{K}_{2},\vec{K}_{1})$，更重要的是他是扭结不变量！，也就是说在上面三种操作下不变！跟微分几何里面的指标定理很像，我们还可以用减法定义一个指标，只是这个时候不是对连环两个分量定义的，而是直接对一个连环定义，所谓的**卷曲数(writhe)** $\text{wr}(\mathcal{D})$，定义为正的交叉点减去复的交叉点。但是注意这个是投影依赖的，不是扭结不变量，与你选取的什么投影图画扭结有关。

扭结的基本群

扭结的基本群和通常基本群的定义一样，只不过实在其补空间$S^3\setminus K={x\in S^3\mid x\notin K}$上定义的。

Seifert 曲面

如果一个光滑嵌入到$\mathbb{E}^3$中的紧致联通定向有边界二维曲面$\Sigma$在边界上的诱导定向就是连环$\vec{L}$的定向而且$\partial \Sigma=L$，那么就称为$\vec{L}$确定的Seifert曲面

比如下面的图示：

根据二维曲面分类定理，都可以写下一个欧拉数：

同一个扭结其实可以对应不同的Seifert曲面，但是他们都可以通过有限次一种称为稳定化的操作变到彼此：

显然这个操作会增加曲面的亏格，而扭结的亏格就是所有关联的Seifert曲面中最小的。可以证明这个亏格定义在扭结的连通和下是可加的。

两个扭结的Seifert曲面之间的代数相交数，就是link number，所谓代数相交数就是穿入和穿入一对记为0，认为他们相互抵消和几何相交数相对立。

回忆我们可以对曲面进行单纯剖分，然后用边缘算子$\partial$做出曲面的（第一）同调群$H_1(\Sigma,\mathbb{Z})$，我们还可以在上面定义Seifert双线性型

Seifert曲面的第一同调群上面的Seifert形式S定义为：

\[S(x,y)=\ell k(\gamma_x,\gamma_y^+).\]

显然同调群里面的那些元素，也就是同调类$x$，可以看作是一些亮亮不相交的闭曲线，正好就是连环的定义，记作$\gamma_x$，$y$也可以这么做，但是可能$\gamma_y$和$\gamma_x$会相交，所以把$\gamma_y$在Seifert曲面的正法向做一点点位移，变成$\gamma_y^+$再去定义Seifert形式。 另外，如果选取了同调群中的一组基底（别忘了这里同调群是Abel群），就可以定义Seifert矩阵$(S_{i,j})=(\ell k(\alpha_i,\alpha_j^+)$

对于一个对称的矩阵，或者说对称的双线性，可以找到对应的正定和复定子空间$V^+,V^-$，定义矩阵的符号为：

设 $\Sigma$ 是定向链环 $\vec{L}$ 的 Seifert 曲面，且 $S$ 是 $\Sigma$ 的 Seifert 矩阵。链环 $\vec{L}$ 的 符号（signature）$\sigma(\vec{L})$ 定义为对称化的 Seifert 矩阵 $S + S^T$ 的符号。 链环 $\vec{L}$ 的 行列式（determinant）$\det(\vec{L})$ 定义为 $|\det(S + S^T)|$。 链环 $\vec{L}$ 的 未归一化行列式（unnormalized determinant）$\text{Det}(\vec{L})$ 定义为 $i^n \cdot \det(S + S^T)$，其中 $S + S^T$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵。注意，如果 $\vec{L}$ 有奇数个分量（因此 $n$ 是偶数），则 $\text{Det}(\vec{L}) \in \mathbb{Z}$。

可以证明：

\[\operatorname{Det}(\vec{L})=i^{\sigma(\vec{L})}\det(\vec{L})\]

而且定义的这三个量都和Seifert曲面的选取无关，且是扭结不变量

我们说过crossing change是可以将任意的扭结变成unknot的，在一个crossing change下变前变后的$\sigma$的变化有下面的限制：

这里$K_\pm$的限制用的linking number那里的取法，这个定理立刻有一个推论，给出了unknotting number的限制：

Alexander 多项式

Alexander多项式是非常重要的扭结不变量，而且是后面的主要研究对象。

递归计算

用$\Delta_K(t)$表示扭结$K$的Alexander多项式，递归的核心是下面的等式：

这里$K_\pm$见前面的交叉点符号那里的约定，$K_0$表示解开交叉点，得到$\uparrow\uparrow$。

递推的起点就是平凡结的Alexander多项式为1：

Alexander多项式满足一些性质：

• $\Delta_K(t)=1$
• $\Delta_K(t)=\Delta_K(t^{-1})$
• $\Delta_K(t)=\Delta_{m(K)}(t)$

核心就是每次利用拆接关系变化一个局部，最终变成一系列平凡结。

直接从Seifert曲面定义

对于一个链环$\vec{L}$，如果构造出了他的Seifert曲面以及Seifert矩阵$S$，那么其Alexander矩阵可以这么计算：

这样从微分几何的角度也可以计算Alexander多项式。

Jones 多项式

Witten的伟大工作，把Chern-Simons场论中的Wilson Loop和纽结不变量联系了起来，这里讲怎么递推计算。

Jones多项式递推计算的做法和Alexander多项式一样，只是拆接关系式变了：

递推起点依然是：

格点图

用格点翻译扭结

格点的想法是很古老的，只不过是把扭结的拓扑的信息原封不动的用组合学的方式表示出来，比如：

上面这个就是一个格点图，显然通过规定$X$和$O$之间的连线始终是$X\to O$，而且始终让竖线在横线上面，这样就用格点的方式完整记录了一个扭结的拓扑和定向，$O,X$交换就是扭结反向。这个格点也可以不用画下来，我们可以记录成两个置换：$\sigma_{\mathbb{Q}}=(2,6,5,3,4,1), \sigma_{\mathbb{X}}=(5,4,1,6,2,3)$，其实就是从左往右列向记录每列$X,O$所在的行数。这个图是一个$n\times n$的格子，我们称其grid number为$n$。$X,O$在每行每列出现且仅出现一次。

把knot转换为grid的时候要注意由于我们采取的是竖线始终在横线上面，所以遇到竖线在横线下面的情况需要扭一下：

证明一个东西是不是扭结不变量就是要看其在三种基本变换下是否改变，到格点这边我们要关注三种基本变换的格点对应物。

commutation move

显然变换前后扭结同痕，你也可以把这个图转九十度，这样表示的就是行交换，上面的图示表示的是列交换。

stabilization and distabilization

从这个操作可以看出grid number不是扭结不变量，扭结的grid表示不是唯一的。同样可以把图中的$X$全部换成$O$。这个操作使得$n$增加一，逆操作叫做distabilization。

类似Reidemeister操作，两个grid diagram表示的knot同痕当且仅当可以通过有限次上面的操作变到彼此。

commutation move是非常特殊的两列（行）之间的交换，两列之间的$X,O$都没有“交叉”或者“相遇”，可以考虑下面叫做switch的操作：

这里我们都只画了列的情况，行交换的情况转置一下就好。¹这个操作实际上也不改变扭结，它可以用前面的两种变换复合而成。但是下面的cross-commutation就不是了：

这个变换只变了一点，就是把某个局部下面的线变到上面，上面的线变到下面，也就是变了局部一个交叉数的符号。前面说过任何结都可以通过这样的操作变成平凡结，所以这个操作是后面用grid diagram研究unknotting number的基础。

后面常用的实际上不是在平面上定义的grid diagram，而是把两条平行边粘起来之后得到的环面上定义的格点图。这么做合理性的核心就是注意到始终可以用grid move将格点整体上下和左右平移，并且左右边上下边认同。也就是grid diagram 在grid move的意义下上下左右是cycle的，比如下面两幅图表示的就是两个一同痕的扭结：

希望下面的这幅图会让你相信确实如此：

后面做同调都是在这样环面上的grid diagram上做的。前面planar上的grid move也可以继承到环面上，只需要注意到上下边左右边是认同的，所以最上面的行和最下面的行实际上是挨在一起的，是可以进行交换的。

原先对于平面图，我们考虑的是$[0,n]\times[0,n]$，现在环面，我们其实减少了一些计算量，最上面的一行和最右边的一行不需要管，总是可以变到最下面的一行和最左边的一行来考虑，所以我们考虑的就变成基本域$[0,n)\times[0,n)$了。

用格点翻译扭结不变量

Alexander多项式

格点还有一个好处它方便计算，只需要将扭结翻译成格点，剩下的只需要丢进计算机就好，你用格点的语言就很方便编程²。

首先要介绍winding number，对于某点，可以随便某个方向绘制一条射线，然后看knot和这条射线的代数相交数（也就是穿入减去穿出），比如下面就绘制了向左向右两条射线，他们得到的结果是一样的：

这里也表明了正负号满足右手螺旋定则，也就是说从射线握向穿过的线，如果大拇指朝上，那么就是正号。

Grid Matrix

对于每一个格点图都可以定义一个$n\times n$的矩阵$M(G)$，首先由于grid diagram是定义在一个环面上，我们把grid的上边和右边去掉，然后剩下的$n^2$个横竖线交叉点（注意不是那些方框）排列成一个矩阵，矩阵元就是$t^{-\text{winding number}}$。你也可以更严格的表述，也就是矩阵元$(i,j)$对应格点坐标$(j-1,n-i)$。这里格点坐标的意思是左下角的交叉点取为原点$(0,0)$然后建立直角坐标系，向右是x轴，向上是y轴，每个格点之间的间距为1。这种坐标系后面计算中很常用。

不妨试一下最开头的那个grid diagram，你将会得到下面的矩阵：

\[\left.\left(\begin{array}{cccccc}1&1&t&t&1&1\\1&t^{-1}&1&t&1&1\\1&t^{-1}&t^{-1}&1&t^{-1}&1\\1&t^{-1}&t^{-1}&1&1&t\\1&1&1&t&t&t\\1&1&1&1&1&1\end{array}\right.\right)\]

注意矩阵的左边和下边矩阵元都是$1$，这一点是普适的。

下面的式子用grid给出了Alexander多项式：

这里$a(G)$是对于每一个$X,O$，考虑其四个角，然后把四个角上的winding number加起来，然后除8，对每个$X,O$这么做之后把结果加起来就是$a(G)$。

你很难说这个结果很美，它显然带有浓厚的”硬凑“的成分，但是重点是这让我们看到了grid用于knot计算的强大威力。证明这个结果就是先证明他是一个纽结不变量，然后再考虑拆接关系，再看看平凡结是不是一样的。

基本群

扭结的基本群的表出可以很快的用下面的方式求出来：

这里的${x_i}$是格点图里面$O,X$之间的竖线，那些关系${r_i}$是格点图每行之间的横线。

要计算$r_j$，注意上面图中的$r_j$对应的横线，然后看有哪几个$x_i$穿过，然后把他们乘起来。注意这里虽说竖线画的是虚线，但实际上对应的只有$O,X$之间的那一部分。比如$r_1=x_1x_n$。

下面的例子就很快告诉你怎么算了

考虑$T_{2,3}$扭结，格点图如下：

其对应的表出为：

\[\langle x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\mid x_1x_3,\quad x_1x_2x_3x_4,\quad x_1x_2x_4x_5,\quad x_2x_5\rangle\]

这个表出可以化简为：

\[\langle x_1,x_2\mid x_1x_2x_1=x_2x_1x_2\rangle\]

进一步取$u=x_1x_2,v=x_2x_1x_2$，可以化简为$\langle u,v\mid u^3=v^2\rangle $

格同调

现在终于可以进入本笔记的主题了：用格点图来做同调。实际上Grid Homology的愿景是对Alexander多项式的范畴化，就像一开始讨论点集拓扑但是最终跑到了同伦群计算发展出代数拓扑一样。后面的讨论都是在环面上的格点进行，

对于一个格点，我们可以在每一行每一列上放且仅放置一个点，不同的方法我们称之为不同的Grid State，在扭结理论的研究中State的概念尤为重要，最早的就是Kauffman State，可以用来计算Kauffman多项式。下图就是一个合理的Grid State:

注意我们是在换面上讨论，真正起作用的是红框框住的那一部分，其它的可以根据环面粘起来之后来确定。所以第六行和第五列有两个点，而不是所要求的一个。但是你换到环面的观点后就只有一个点了。

另外一个state还可以用一个置换来等价描述，我们只需要从左往右依次记录每一个点的行数就可以了（只看红框部分，或者说只看基本域），比如上图就对应置换：

后面把某个格点上的所有态构成的集合记为$\mathbf{S}(\mathbb{G})$，这是我们同调的出发点。

考虑两个不同的态$\mathbf{x},\mathbf{y}$，而且我们假设这两个态只有两个点有区别，也就是下面的图，黑色的点表示$\mathbf{x}$的，白色的表示$\mathbf{y}$的，灰色的点表示相同的：

这四个点可以围成矩阵，矩阵的取向我们始终假设是右手螺旋之后指向纸面外部，也就是环面取向诱导的定向。不过还是有上面四种不同的矩阵取法，而且这四种又可以分成两组，上面两个矩阵的诱导定向始终让$\mathbf{x}$中的点在横向指向$\mathbf{y}$中的点，纵向则反过来。我们把这种矩阵叫做$\mathbf{x}$到$\mathbf{y}$的矩阵，记为$\mathrm{Rect}(\mathbf{x},\mathbf{y})$。

矩阵的内部可以包括一些灰色的点，如果啥灰色的点也不包括，比如上面图1，就叫做空矩阵，也就是：

记为$\mathrm{Rect}^{\circ}(\mathbf{x},\mathbf{y})$。

Maslov和Alexander指数

既然是同调，首先就要搞清楚边界算子作用之后降低的指标是什么，也就是说要对每个state赋予一个指标，实际上格同调我们是bigrad的同调，所以用到了两个指标。

Masalov指标的递归定义：

• $M_{\mathbb{O}}(\mathbf{x}^{NWO})=0$

• 考虑两个只相差两个点的state，取$r\in\mathrm{Rect}(\mathbf{x},\mathbf{y})$

  \[\begin{aligned}M_{\mathbb{O}}(\mathbf{x})-M_\mathbb{O}(\mathbf{y})=1-2\#(r\cap\mathbb{O})+2\#(\mathbf{x}\cap\operatorname{Int}(r))\end{aligned}\]

这里$\mathbf{x}^{NWO}$的意思是用所有的$O$-Mark的西北角构造出来的grid state，比如下面这幅图：

这是用扭结中的$O$点定义出来的Maslov指数，把$\mathbf{O}$全部换成$\mathbf{X}$同样可以定义一个指数$M_{\mathbb{X}}$。第一条改成$\mathbf{x}^{NWX}$，第二条改成$r\cap\mathbb{X}$。后面不加说明都是指$M_{\mathbb{O}}$

Alexander指标的计算

第一种方式是直接使用Masalov指标进行计算：

\[\begin{aligned}A(\mathbf{x})=\frac{1}{2}(M_{\mathbb{O}}(\mathbf{x})-M_{\mathbb{X}}(\mathbf{x}))-\left(\frac{n-1}{2}\right)\end{aligned}\]

第二种方式是递归定义：

\[A(\mathbf{x})-A(\mathbf{y})=\#(r\cap\mathbb{X})-\#(r\cap\mathbb{O})\]

这里$r\in\mathrm{Rect}(\mathbf{x},\mathbf{y})$。

证明这两种方式等价完全是技术性的证明，期间有个比较有用的副产物，就是非递推方式计算Masalov指标的公式：

首先对$\mathbb{R}^2$中两个点集$P,Q$定义$\mathcal{I}(P,Q)$为${(p,q)|p<q,p\in P,q\in Q}$集合的基数，这里$\mathbb{R}^2$的偏序定义为：

\[(p_1,p_2)<(q_1,q_2)\iff p_i<q_i,\quad i=1,2\]

定义对称化后的：

\[\mathcal{J}(P,Q)=\frac{\mathcal{I}(P,Q)+\mathcal{I}(Q,P)}2\]

取环面格点的基本域$[0,n)\times[0,n)$，也就是不包括上边和右边，那么$O,X$可以看作是坐标为半整数的点集。$\mathbf{x}$可以看作是坐标为整数的点集。那么有下面的Maslov指数的计算公式：

\[M_{\mathbb{O}}(\mathbf{x})=\mathcal{J}(\mathbf{x},\mathbf{x})-2\mathcal{J}(\mathbf{x},\mathbb{O})+\mathcal{J}(\mathbb{O},\mathbb{O})+1\]

（仅仅是）形式上可以简化为下面的式子：

\[M_\mathbb{O}(\mathbf{x})=\mathcal{J}(\mathbf{x}-\mathbb{O},\mathbf{x}-\mathbb{O})+1\]

同理：

\[M_\mathbb{X}(\mathbf{x})=\mathcal{J}(\mathbf{x}-\mathbb{X},\mathbf{x}-\mathbb{X})+1\]

$\widetilde{GC(\mathbb{G})}$

这个链复形对应的$\mathcal{R}$-模是一个自由向量空间，由$\mathbf{S}(\mathbb{G})$作为基底自由生成，数域取为$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}={0,1}\mod 2$。边缘算子定义为：

这里$\#\{\cdot\}$表示$|\{\cdot\}|\mod2$。这是一个bigraded链复形，其中由Maslov指数为$d$，Alexander指数为$s$构成的子空间记为$\widetilde{GC}_d(\mathbb{G},s)$，把边缘算子限制在每个子空间上就得到$\tilde{\partial}_{\mathbb{O},\mathbb{X}}^{d,s}$，可以由此定义同调：

可见，同调的计算在数学上也就是那个定义那一套，数学上研究同调重要的是怎么找到一个链复形，从而定义同调定义不变量。物理上似乎同调算出来的结果才是我们关心的。由此定义的同调我们称之为fully blocked grid homology。

同调群是一个线性空间，所以唯一重要的就是其维数，事实上这里定义出来的$\widetilde{GH}(\mathbb{G})$并不是一个扭结不变量，其依赖于扭结的Grid表述。不过只需要稍作修改就可以得到一个与扭结的Grid表述无关的，且同痕等价的扭结不变量：

$GC^-(\mathbb{G})$

上面讨论的$\widetilde{GC(\mathbb{G})}$类似于单纯同调里面的整系数同调，我们自然不满足于这个结果，考虑一个多项式环$\mathcal{R} = \mathbb{F}[V_1,\ldots,V_n]$，这里$\mathbb{F}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。每一个生成元$V_i$都可以一一对应到一个$O_i$，也就是说我们对$O$进行了排序，不过怎么排不影响同调，从后面的式子可以看出这一点。定义对于一个矩形$r$定义$O_i(r)$为$1$当且仅当$O_i\in\mathrm{Int}(r)$，否则是$0$。前面考虑的链复形是自由生成的线性空间，现在无非是考虑$\mathcal{R}$上的自由模$GC^-(\mathbb{G})$，里面的元素形如$V_1^{k_1}\cdots V_n^{k_n}\cdot\mathbf{x}$的线性组合（系数为$0,\pm 1$）。边缘算子取为：

现在链复形$GC^-(\mathbb{G})$的基底不是$\mathbf{x}$而是$V_1^{k_1}\cdots V_n^{k_n}\cdot\mathbf{x}$，所以需要扩展前面对Maslov和Alxander指数的定义：

翻到附录，我们看到如果这么定义，那么$V_i:C_{d,s}\to C_{d-2,s-1}$。在现在的指标下，$GC^-(\mathbb{G})$被赋予了bigrad结构。乘$V_i$可以看作是$GC^-(\mathbb{G})$上的链映射。前面强调过，不同的$O_i$排序是等价的，这其实是由$V_i$在同调中的地位相同所保证的，具体来说是下面的定理：

$\forall i\neq j\in{1,2,\cdots,n}$，$V_i$和$V_j$是链同伦。

由$GC^-(\mathbb{G})$构造出来的同调记为$GH^-(\mathbb{G})$，称呼为unblocked grid homology，他是一个$\mathbb{F}[U]$模³。

$\widehat{GC}(\mathbb{G})$

取定某个$V_i$定义商复形：

再去做同调，得到的同调群记作$\widehat{GH}(\mathbb{G})$，称为simply blocked grid homology。注意这里没有任何下标$i$，其实就是在说与$V_i$的选取无关，这一点可以根据前面链同伦那个定理导出来。不过商复形啥的对于物理人还是抽象了点，不如我们直接把这个复形写出来。

不妨取$V_n$，$\widehat{GC}(\mathbb{G})$对应的自由模就是把$V_n$生成元给彻底去掉，也就是说由$V_1^{k_1}\cdots V_{n-1}^{k_{n-1}}\cdot\mathbf{x}$在$\mathbb{Z}_2$上生成。边缘算符形式为：

其实$\widehat{GH}(\mathbb{G})$又成了一个线性空间，而且和前面的$\widetilde{GH}(\mathbb{G})$有紧密的联系。

为了说明这一联系，首先注意到两个双分次的线性空间的张量积还是一个双分次线性空间：

定义双分次线性空间的shift，$X[a,b]$，和原先的$X$是同构的，其实我们就是重新选取了指标的零点而已，分次结构变成$X[a,b]_{d,s}=X_{d+a,s+b}$。

现在考虑一个二维的线性空间$W$，而且包含两个分次，也就是说由分次$(0,0)$和分次$(1,1)$的一维线性空间拼成（直和）的线性空间。考虑和他做直积，稍微想想就能发现：

不过等效于double copy但是两个copy的分次结构不一样，也就是说不是同一个指标零点选取⁴。同理多乘几次就得到多个copy：

\[\boxed{\widetilde{GH}(\mathbb{G})\cong\widehat{GH}(\mathbb{G})\otimes W^{\otimes(n-1)}}\]

$n$是grid number。可见$\widetilde{GH}(\mathbb{G})$多个copy起来就是$\widetilde{GH}(\mathbb{G})$，这也说明了$\widetilde{GH}(\mathbb{G})$蕴含的信息更细。

根据这个同构直接看出

回顾前面说过$\widetilde{GH}(\mathbb{G})$不是扭结不变量，但除掉$2^{n-1}$后是，这实际上是在说$\widetilde{GH}(\mathbb{G})$才是扭结不变量，更近一步，这里结构更复杂的$GC^-(\mathbb{G})$也是扭结不变量。

再看缠绕数

附录：同调代数速通

链复形

环是带有加法和乘法两种运算的集合，在加法下构成Abel群，在乘法下满足分配律和结合律，而且存在幺元⁵，相比于群乘法少了逆元存在性。

定义在某个数域上的多项式显然构成一个环，后面主要考虑的都是这种多项式环，当多项式的次数为0时，环$\mathcal{R}$就是数域$\mathbb{K}$本身。后面数域考虑的都是整数域$\mathbb{Z}$，有理数域$\mathbb{Q}$以及有限域$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，其中$p$是素数。

域是一个环，向量空间中数乘是用数域中的数作用上去得到的，如果把数域换成环，那么我们就得到了所谓$\mathcal{R}-$模的概念：

设 $\mathcal{R}$ 是一个环，$\mathcal{M}$ 是一个加法阿贝尔群。如果存在一个运算 $\cdot : \mathcal{R} \times \mathcal{M} \to \mathcal{M}$ （称为标量乘法），满足以下条件：

1. 分配律：

• \[\forall r, s \in \mathcal{R}, \forall m \in \mathcal{M}: (r + s) \cdot m = r \cdot m + s \cdot m\]
• \[\forall r \in \mathcal{R}, \forall m, n \in \mathcal{M}: r \cdot (m + n) = r \cdot m + r \cdot n\]

1. 结合律：

• \[\forall r, s \in \mathcal{R}, \forall m \in \mathcal{M}: (r \cdot s) \cdot m = r \cdot (s \cdot m)\]

1. 单位元作用（如果环 $\mathcal{R}$ 有单位元 1）：

• \[\forall m \in \mathcal{M}: 1 \cdot m = m\]

则 $\mathcal{M}$ 称为 左 $\mathcal{R}$-模。如果标量乘法是右侧作用，即 $m \cdot r$ 而不是 $r \cdot m$，则称 $\mathcal{M}$ 为 右 $\mathcal{R}$-模。

线性空间可以定义线性映射，从而定义空间上的同构和同态，显然 $\mathcal{R}$-模也可以做到这一点：

设 $\mathcal{R}$ 为一个环，且 $\mathcal{M}_1$ 和 $\mathcal{M}_2$ 为左 $\mathcal{R}$-模。一个映射 $\varphi: \mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2$ 称为 左 $\mathcal{R}$-模同态，若满足以下两个条件：

1. 加法保持性：

   \[\forall x, y \in \mathcal{M}_1, \quad \varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)\]

2. 标量乘法保持性：

   \[\forall r \in \mathcal{R}, \forall x \in \mathcal{M}_1, \quad \varphi(r \cdot x) = r \cdot \varphi(x)\]

同样你也可以类似线性空间的子空间去定义$\mathcal{R}$模的子模，要求“数”乘和加法封闭且有加法单位元就好了。比较重要的是商模的定义：

设 $\mathcal{R}$ 是一个环，$\mathcal{M}$ 是一个 $\mathcal{R}$-模，且 $\mathcal{N} \subseteq \mathcal{M}$ 是 $\mathcal{M}$ 的一个子模。定义商模（quotient module） $\mathcal{M}/\mathcal{N}$ 为集合：

\[\mathcal{M}/\mathcal{N} = \{ \left\langle x \right\rangle \mid x \in \mathcal{M} \}\]

其中，每个元素 $\left\langle x \right\rangle$ 表示等价类：

\[\left\langle x \right\rangle = \{ x + n \mid n \in \mathcal{N} \}\]

该集合上的加法和标量乘法定义如下：

1. 加法：对于任意 $\left\langle x\right\rangle, \left\langle y\right\rangle \in \mathcal{M}/\mathcal{N}$，定义加法为：

   \[\left\langle x \right\rangle + \left\langle y \right\rangle = \left\langle x + y \right\rangle\]

   这意味着等价类的加法通过取代表元的加法来实现。

2. 标量乘法：对于任意 $r \in \mathcal{R}$ 和 $\left\langle x\right\rangle$，定义标量乘法为：

\[r \cdot \left\langle x \right\rangle = \left\langle r \cdot x \right\rangle\]

这意味着等价类的标量乘法通过取代表元的标量乘法来定义。

有了上面的基础就可以正式开始讨论链复形，讨论同调了：

链复形（chain complex）是一个$\mathcal{R}$-模 $C$，配备一个 $\mathcal{R}$-模同态 $\partial: C \to C$，满足条件 $\partial \circ \partial = 0$。 映射 $\partial$ 称为 边界映射（boundary map）或 微分（differential），对于 $C$ 而言。元素 $z \in C$ 满足 $\partial z = 0$ 称为 循环（cycle）；而形式为 $b = \partial a$ 的元素 $b$ 称为 边界（boundary），其中 $a \in C$；即，循环是 $\text{Ker} \, \partial$ 中的元素，而边界是 $\text{Im} \, \partial$ 中的元素。

一般链复形都是讲一串$\mathcal{R}$-模序列 $C_n$以及一系列边界算子$\partial_n$：

\[\cdots \xrightarrow{\partial_{n+1}} \mathcal{C}_n \xrightarrow{\partial_n} \mathcal{C}_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}} \cdots\]

其中要求$\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$

对于$\mathcal{R}$子模$C^\prime\subset C$，如果$\partial(C^\prime)\subset C^\prime$，那么$(C^\prime,\left.\partial\right|_{C^\prime})$也可以构成一个链复形，称为***子复形***。另外，商模$C/C^\prime$上自然有边界算子$\partial_{C/C^\prime}$，$(C/C^\prime,\partial_{C/C'})$称为$C$和$C^\prime$之间的商复形。

链复形上的同调$H(C,\partial)$定义为商$\mathcal{R}$-模：

\[H(C,\partial)\equiv\mathrm{Ker}\partial/\mathrm{Im}\partial\]

更一般的如果我们考虑的链复形是一串序列，那么定义同调为：

\[H_n(C_\bullet,\partial)\equiv\mathrm{Ker}\partial_n/\mathrm{Im}\partial_{n+1}\]

链复形有点像是高维空间往低维空间走，反过来走可以定义上链复形，也就是考虑下面的$\mathcal{R}$-模序列：

且要求$d^{n+1}\circ d^n=0$。并且可以定义上同调：

如果链复形就一个模，而不是序列的话，就不用区分是否是”上“了。

BRST上同调 这是物理上非常著名的例子。为了消去规范冗余自由度，需要引入鬼场，这样一下子就把希尔伯特空间给扩大了，而且引入鬼场意味着加入了一些非物理的自由度（毕竟都非幺正了）

新的希尔伯特空间由原先的场和鬼场的产生湮灭算符共同生成，由于鬼场的ghost number非0，所以希尔伯特空间会有一个自然的分次$\mathscr{H}=\oplus_g\mathscr{H}_g$。BRST算符$Q$满足$Q^2=0$，而且使得ghost number加一，所以可以立刻写下下面的链复形：

\[\cdots\longrightarrow\mathscr{H}_{g-1}\xrightarrow{Q_{g-1}}\mathscr{H}_g\xrightarrow{Q_g}\mathscr{H}_{g+1}\longrightarrow\cdots\]

这里$Q_g$就是$Q$限制在分次$g$上而已。从鬼数的角度看一下子就知道这玩意儿是上同调了。可以计算其同调：

\[H^g(Q)=\frac{\ker Q_g}{\operatorname{Im}Q_{g-1}}\]

可观测的那些态，也就是真正的物理态是无鬼的，所以物理态对应的是：

\[\mathscr{H}_{\text{phys}}=H^0(Q)=\frac{\ker Q_0}{\operatorname{Im}Q_{-1}}\]

不难看出，做同调就是做商空间，就是模掉规范等价的过程。

实际上用序列的讲法讲链复形等价于把一个\mathcal{R}-模$C$进行$\mathbb{Z}$分次，也即：

$\partial$就是让次减一，如果考虑上链复形就是$d$让次加一。显然我们知道限制在每个分次上$\partial_n$的形式也就知道了$\partial$的形式，$\partial_n$的要求正好是$\partial^2=0$的要求。总的同调$H(C)$显然也会有分次结构：

这两种讲法统一了起来。所以后面不再需要区分是否是由序列定义的链复形。

考虑域$\mathbb{K}$模上的链复形$(C,\partial)$，而且配备了一套$C$上的自同态$V_i:C\to C$与自同态$\partial$对应。把这些$V_i$称为代数作用（Algebra actions）。而且$C$是有下面的分级结构的：

\[C=\bigoplus_{(d,s)\in\mathbb{Z}oplus\mathbb{Z}}C_{d,s}\]

满足下面的性质：

• $\forall i=1,\ldots,n,\partial\circ V_i=V_i\circ\partial$
• $\forall i,j\in{1,\ldots,n},V_i\circ V_j=V_j\circ V_i$
• $\partial$把$C_{d,s}$映射为$C_{d-1,s}$
• $V_i$把$C_{d,s}$映射到$C_{d-2,s-1}$

那么就称我们定义了一个$\mathbb{K}[V_1,\ldots,V_n]$上的双分级链复形。这其实就是在把$\mathbb{K}$上的链复形用$V_i$升级到多项式环$\mathbb{K}[V_1,\ldots,V_n]$上定义（这里的多项式环就是把$V_i$当作基底去做形式加法和形式数乘以及形式乘法。），$[\partial,V_i]=0$等价于要求$\partial$是$\mathbb{K}[V_1,\ldots,V_n]$模上的同态。

第一个分次叫Maslov分次，第二个叫Alexander分次。 同样可以在上面做同调，而且同调继承了分次结构：

\[H(C)=\bigoplus_{(d,s)\in\mathbb{Z}oplus\mathbb{Z}}H_{(d,s)}(C),\quad H_{(d,s)}(C)=\operatorname{Ker} \partial/\operatorname{Im}(\partial_{d+1})\]

也就是$C$中的闭链商掉$C_{d,s}$中的边界。$V_i$在$C$分级上的作用也诱导了在$H(C)$上每个分级的作用⁶。前面说了$H(C)$是继承$V_i$对分级的作用的。

考虑两个链复形$(C,\partial)$和$(C’,\partial’)$。以及映射$f:C\to C’$，如果$\forall c \in C,f(\partial c)=\partial^\prime f(c)$，那么就称$f$是两个链复形之间的链映射。对于分次链复形还有个特殊的要求，即要求$f$不仅仅是$C\mapsto C’$上的映射，还要求$C_{(d,s)}\mapsto C^\prime_{(d,s)}$。$f$和$\partial$交换这个条件用分次的语言讲也就变成了在Maslov分次上交换：

如果Alexander分次是0，只需要把上面的$s$擦去就好了。利用链映射可以定义商复形，考虑链映射$f:(C,\partial)\to(C’,\partial’)$，则商复兴定义为$(C’,\partial’)/\mathrm{Im}(f)$。

当然你也可以更一般的考虑$(m,t)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$，$f: C_{(d,s)}\mapsto C^\prime_{(d+m,s+t)}$，这叫双重度⁷为$(m,t)$的齐次映射。只需要注意到$\partial$和$f$具体是从哪个分次映射到哪个分次的，不难仿照前面$(m,t)=(0,0)$的情况改写$[f,\partial]=0$的条件。

注意到链映射把闭链映射成闭链，边界映射成边界，所以其自然诱导了$H(f): H(C,\partial)\mapsto H(C’,\partial’)$。而且是保分次的。对于两个链映射$f\colon(C,\partial)\to(C^{\prime},\partial^{\prime})$ 和 $g\colon(C^{\prime},\partial^{\prime})\to(C^{\prime\prime},\partial^{\prime\prime})$，不难发现：

显然这预示着如果$f$还是可逆的逆映射也是链映射，也就是说是两个链复形之间的同构，那么其自然诱导出同调之间的同构。⁸更一般的，考虑两个链复形$(C,\partial),(C’,\partial’)$，链映射$f:C\to C’$如果诱导了链复形的同调之间的同构，那么就称$f$是链复形之间的拟同构，两个链复形之间也就是拟同构关系。

注意拟同构我们只要求链复形上的$f$诱导出同调群之间的同构。但是链复形同构更强，他直接要求$f$诱导出每个$C,C’$分级$C_n,C_n’$子模之间的同构。拟同构直接用同调群去看同构，更加粗糙。而同构要求链映射直接在分级上是子模之间的同构。

链复形这个名字听起来就很拓扑，他确实是代数拓扑里面很重要的东东，可以定义链同伦的概念：

考虑两个链复形之间的链映射$f,g:(C,\partial)\to (C’,\partial’)$，如果存在一个$\mathcal{R}$模映射$h:C\to C’$使得：

\[f-g=\partial'\circ h+h\circ \partial\]

这里的加减法是$\mathcal{R}$模$C$上的加减法。那么就称$f,g$是链同伦，记作$f\simeq g$。如果两个链复形之间存在链映射：

\[f:(C,\partial)\to(C',\partial'),\quad g(C',\partial')\to(C,\partial)\]

而且

\[f\circ g\simeq \mathrm{Id}_{C'},\quad g\circ g\simeq \mathrm{Id}_{C}\]

那么就称$(C,\partial)$和$(C’,\partial’)$同伦等价

从定义可直接看出，链复形之间的同伦等价诱导了同调之间的同构，也就是说链同伦等价实际上就是链上的一个拟同构。⁹

对于分次链复形，也可以定义链同伦，前面我们曾一般的考虑过双分次的链映射，且可以有个non-trival的分次度$(m,t)$。倘若对于两个双分次的链复形$(C,\partial),(C’,\partial’)$，$f,g$是两个分次度为$(m,t)$的齐次链映射，倘若存在一个$h:C\to C’$，而且将分次$C_{d,s}$映射到$C^\prime_{d+m+1,s+t}$，满足：

那么就称这是一个分次度为$(m,t)$的链同伦，如果分次度为$(0,0)$，就回到之前的情况，而且对于$\mathbb{Z}$分次的$C,C’$可以将要求改写为：

$\exists h_n: C_n \to C’_{n+1}$ 使得：

\[f_n-g_n=\partial_{n+1}^{\prime}\circ h_n+h_{n-1}\circ\partial_n\]

最后强调一点，同调里面用的多的是$\mathbb{Z}$分次的链复形，而且映射也保留分次结构。我们前面的讨论其实更一般，不要求有分次结构，就算有分次结构也不一定要求映射保留分次结构。做格同调的时候双分次结构更常见。

正合列

类似链复形，考虑一个$\mathcal{R}$模序列${C^i}_{i\in\mathbb{Z}}$，而且带有一串模映射$f^i:C^i\to C^{i+1}$，如果$\forall i, \operatorname{Im}f^i=\operatorname{Ker}f^{i+1}$，那么就称$C^i$和$f^i$序列构成了一个正合列。下面是一些常见的例子：

短正合列

就是这个序列只有三个$\mathcal{R}$模$C^i,i=1,2,3$，或者说其它的$C^i$都是${0}$。这样构成的短正合列如下图：

\[0\to(C,\partial)\xrightarrow{f}(C',\partial')\xrightarrow{g}(C'',\partial'')\to0\]

注意这里考虑的是链复形构成的短正合列，他们之间的映射还有一个要求必须是链映射。不难发现短正合列的$f$是单的，$g$是满的。

正和三角

现在还是只有三个模非0，但是现在把他们排列成一个三角形，或者说构成了一个周期为3的正合列。

对于链复形构成的正合列，可以证明存在一个$\mathcal{R}$模同态$\delta\colon H(C’’,\partial’’) \to H(C,\partial)$。使得下图让他们的同调群之间构成了一个正和三角：

而且，如果我们考虑的是分次链复形，而且$f,g$分别为分次度为$(m_1,t_1)$，$m_2,t_2$的齐次链映射，那么$\delta$是一个f分次度为$(-m_1-m_2-1,-t_1-t_2)$的齐次映射（别忘了同调是保留分次结构的，所以上面也可以说齐次映射）。

有非常多的引理和正合列有关，他们是数学中极其重要的工具，下面介绍一二。

余核(cokernel) 考虑映射$f:A\to B$，则余核定义为：

\[\mathrm{coker}(f)=\frac B{\mathrm{Im}(f)}\]

Five Lemma

考虑下面两行正合的交换图表：

那么有：

• 若$f_1$满而$f_2,f_4$单，则$f_3$为单(仅涉及前四列);
• 若$f_5$单而$f_2,f_4$满，则$f_3$为满 (仅涉及后四列);
• 若$f_1$满$,f_5$单而$f_2,f_4$皆为同构，则$f_3$为同构.

Snake Lemma

考虑下面的交换图表，而且两行都是正合列：

蛇形引理是说下面的列正和：

\[\ker^{\prime}\to\ker\to\ker^{\prime\prime}\overset{\delta}{\operatorname*{\to}}\mathrm{coker^{\prime}}\to\mathrm{coker}\to\mathrm{coker^{\prime\prime}}\]

$\ker$和$\operatorname{coker}$由对应列的$X\to Y$的映射定义。这个引理对任何Abel范畴¹⁰中的交换图均成立。其中$\ker’\overset{f’}{\to}\ker$是由$f$诱导出来的¹¹，如果$f$单那么诱导出来的映射$f’$也是单的。对于$\ker’\to\ker^{\prime\prime}$亦然。另外$\operatorname{coker}’’\to\operatorname{coker}’$是根据$v$诱导出来的¹²，$v$满则诱导的$v’$也满。对于另一个$\operatorname{coker}$之间的映射亦然。 蛇引理这个名字来源于可以画成这样的图直观记忆：

参考文献

• Grid Homology for Knots and Links, 978-1-4704-1737-6 ¹³
• 姜伯驹，绳圈的数学[M]，大连理工出版社，2011年5月¹⁴