• Scattering Equation
  • Auxiliary Riemann Sphere
  • KLT正交性
    • S函数
    • 色序振幅
    • 正交性证明
  • 散射方程的软极限
    • Single
    • Double
  • 散射方程的 Factorization Channel
• CHY形式
  • 积分的计算
  • YM理论和Einstein GR理论的被积函数
  • 规范不变性和软极限
    • 规范不变性
    • 软极限
    • [DLC] 振幅因子化
• 其它理论的被积函数
  • 标量场
    • double 偏振幅
    • 等效费曼图
    • 更一般的PT因子
    • 与KLT kernel的关系
  • [DLC] $\phi^3$ 理论
  • Yang–Mills–Scalar 理论
    • 标量部分
    • Mixed 胶子部分
    • Generalized YMS
    • [DLC1] Scaffolding
    • [DLC2] $\phi^4$理论
  • U(N) Non-Linear Sigma Model
  • Einstein–Maxwell–Scalar 理论
    • With Scalar
    • Without Scalar
    • 和Einstein理论的关系
  • (Dirac)–Born–Infeld 理论
  • Special Galileon 理论
  • Einstein–Yang–Mills 理论
    • non-Abelian
    • Squeezing
    • Some Special Cases
  • General YMS and Extended Dirac–Born–Infeld Theory
    • gen. YMS
    • ext. DBI
  • 总结
• CHY形式更详细的证明
  • n=3,n=4
    • n=3
    • n=4
      • 雅可比
      • 色基
      • 散射方程解
      • 最终结果
  • 任意点
• 附录A：Kaluza-Klein理论
• 附录B：计算代数几何在CHY中的应用

Scattering Equation

Auxiliary Riemann Sphere

$D$维无质量粒子的散射可以用一组动量${k_i^\mu}$来描述，他们生活在动量空间：

并不是动量空间的任何一点都是散射振幅所感兴趣的，对于下式所定义的Mandelstam变量：

其$s_{a_1,a_2,…,a_r}=0$所定义的子空间我们称之为codimension-1奇异的子空间，如果有$r$个这样的方程所确定的动量空间的子空间，那么就称为codimension-r奇异的子空间。可以证明codimension最大只能是$n-3$。

为了更好地刻画这种奇异性，可以引入带有$n$个穿孔的黎曼球面，黎曼球面可以用下面的三种同胚的方法记：

所有的这些球面¹实际上构成了一个$n-3$维的复向量空间$\mathfrak{M}_{0,n}$，因为$n$穿孔的黎曼球面可以使用一簇$SL(2,\mathbb{C})$的仿射坐标${\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n}$，也就是说，在$SL(2,\mathbb{C})$变换$\psi$下，有下面的等价关系：

由于这簇坐标是有全局共形变换冗余的，所以我们可以取定规范，通过共形变换提前把前面三个坐标变为${\infty,0,1}$。所以这就是为什么这个空间是$n-3$维的。

回到前面的codimension问题，codimension-1就相当于选取一个子集$S\subset{1,2,\ldots,n}$，对应的补集称为$\bar{S}$。

这其实相当于把原先$\mathfrak{M}_{0,n}$中的一个黎曼球面$\Sigma_{0,n}$退化为两个黎曼球面的一点并：

粘起来的那一点就是在原先的$n$点之外打孔，然后把两个球面粘起来。更高codimension的黎曼球面的退化可以类似的构造，无非是更多的、打孔更少的黎曼球面粘起来。从物理上看，这些特殊的动量构造，相当于软极限或者共线极限，在树图上看就是会导致树图传播子在壳，振幅被分割成两部分（factorization channel）：

这是根据QFT的幺正性，从光学定理给出的判断。似乎黎曼球面的退化会和光学定理给出的振幅的分解对应，实际上这种对应是一一对应。振幅学更关心的是generic的运动学，所以之后考虑振幅都是在$n$穿孔的黎曼球面上考虑，而不是退化之后的黎曼球面。

KLT正交性

现在有了两个空间，而联系这两个空间靠的就是所谓散射方程：

其中$s_{ab}\equiv 2 k_a\cdot k_b$。这总共有$n$个方程，但是可以证明其中只有$n-3$个方程是独立的，而且这个方程有$SL(2,\mathbb{C})$不变性，也就是说$SL(2,\mathbb{C})$变换之后的解仍旧是原散射方程的解。所以散射方程的每一个解实际上对应了一簇解，而这正对应一个$n$穿孔黎曼球面。可以证明，散射方程对于一簇运动学变量，共有$(n-3)!$个解。²

Scattering Potential 另一种表述散射方程的方法是将其看作是某个势函数的鞍点，这个势函数来源于弦论中的 Koba-Nielsen factor：

\[\mathcal{S}_n=\sum_{a<b}s_{a,b}\log z_{a,b}=\sum_{a<b\neq k,(a,b)\neq(i,j)}s_{a,b}\log|ab|\]

这里第二个等号是做了gauge fixing：

\[|ab|:=\frac{z_{a,b}z_{i,k}z_{j,k}}{z_{a,k}z_{b,k}z_{i,j}}\]

对于最常取的gauge fixing：

\[z_{k}\to\infty,z_{i}=0,z_{j}=1\Rightarrow |ab|=z_{a,b}\]

散射方程就是在找$\mathcal{S}_n$的鞍点

\[\partial_a\mathcal{S}_n=0\]

散射方程的解有个非常重要的特性是所谓KLT正交性，首先先介绍振幅的KLT关系。KLT关系给出了（超）引力振幅和（超）YM振幅之间的关系³。考虑最简单的无超对称的情况，KLT关系如下:

$$ \begin{equation} \label{1} \boxed{ \begin{aligned}M_n=&(-1)^{n+1}\sum_{\sigma\in S_{n-3}}\sum_{\alpha\in S_{j-1}}\sum_{\beta\in S_{n-2-j}}A_n(1,\sigma_{2,j},\sigma_{j+1,n-2},n-1,n)\mathcal{S}[\alpha_{\sigma(2),\sigma(j)}|\sigma_{2,j}]_{p_1}\\&\times\widetilde{\mathcal{S}}[\sigma_{j+1,n-2}|\beta_{\sigma(j+1),\sigma(n-2)}]_{p_{n-1}}\widetilde{A}_n(\alpha_{\sigma(2),\sigma(j)},1,n-1,\beta_{\sigma(j+1),\sigma(n-2)},n)\end{aligned} } \end{equation} $$

详情以及证明请见文献⁴。而且上面的都是色排序振幅，而且丢掉了耦合常数。这个等式是所谓广义的KLT关系，其中$j$的取值是任意的，不同$j$取值所对应的KLT关系在BCJ恒等式的意义下是等价的。更早的文献利用量子场论证明了一个紧凑点的KLT关系⁵：

$$ \begin{equation} \label{3} \boxed{\begin{aligned}M_n=(-1)^n\sum_{\gamma,\beta}\frac{\widetilde{A}_n(n,\gamma_{2,n-1},1)\mathcal{S}[\gamma_{2,n-1}|\beta_{2,n-1}]_{p_1}A_n(1,\beta_{2,n-1},n)}{s_{12...(n-1)}}\end{aligned}}\end{equation} $$

或者下面等价的对偶形式：

$$ \begin{equation}\boxed{M_n=(-1)^n\sum_{\beta,\gamma}\frac{A_n(1,\beta_{2,n-1},n)\widetilde{\mathcal{S}}[\beta_{2,n-1}|\gamma_{2,n-1}]_{p_n}\widetilde{A}_n(n,\gamma_{2,n-1},1)}{s_{23...n}}}\end{equation} $$

这两个等式都不是KLT关系最先提出时的形式，但是固定了两个外腿，方便使用BCFW shift之后进行证明。但是这两个公式有明显的奇点，显然在外腿全部在壳的时候就是个奇点。所以需要进行正规化，好在分子在所有外腿都在壳的时候根据BCJ恒等式也是0，所以实际上是不会发散的，正规化的步骤特别简单，以\eqref{3}为例，只需要做下面的shift：

最后再取$x\to 0$即可。

现在逐一说一下\eqref{1}每一项的意义：

S函数

$$ \begin{equation} \boxed{\mathcal{S}[i_1,\ldots,i_k|j_1,\ldots,j_k]=\prod_{t=1}^k\left(s_{i_t1}+\sum_{q>t}^k\theta(i_t,i_q)s_{i_ti_q}\right)}\end{equation} $$

这个函数常常被称为动量核因子（Momentum Kernel）其中：

Examples:

\[\mathcal{S}[2,3,4|2,4,3]=s_{21}(s_{31}+s_{34})s_{41},\quad\mathcal{S}[2,3,4|4,3,2]=(s_{21}+s_{23}+s_{24})(s_{31}+s_{34})s_{41}\]

这里约定$s_{ij}\equiv(p_i+p_j)^2$，上面的定义相当于把$p_1$特殊化了，也可以特殊化别的，有下面的定义：

S函数一个非常重要的性质是反射性：

$$ \begin{equation} \boxed{\mathcal{S}[i_1,\ldots,i_k|j_1,\ldots,j_k]=\mathcal{S}[j_k,\ldots,j_1|i_k,\ldots,i_1]} \end{equation} $$

还是YM树级色序振幅的湮灭算符：

$$ \begin{equation}\boxed{\begin{aligned}\sum_{\alpha\in S_{n-2}}\mathcal{S}[\alpha_{2,n-1}|j_2,\ldots,j_{n-1}]_{p_1}A_n(n,\alpha_{2,n-1},1)=0\end{aligned}}\end{equation} $$

这里$S_{n-2}$的意思是$n-2$置换群，$\alpha_{2,n-1}$表示把外腿$2,3,\ldots,n-1$做一个置换。这个性质其实就是BCJ恒等式。

还可以定义对偶的$\tilde{\mathcal{S}}$:

$$ \begin{equation} \boxed{\widetilde{\mathcal{S}}[i_1,\ldots,i_k|j_1,\ldots,j_k]\equiv\prod_{t=1}^k\left(s_{j_tn}+\sum_{q<t}\theta(j_q,j_t)s_{j_tj_q}\right)} \end{equation} $$

Examples

$n=5$，固定$p_5$

\[\widetilde{\mathcal{S}}[2,3,4|4,3,2]_{p_5}=s_{45}(s_{35}+s_{34})(s_{25}+s_{23}+s_{24})\]

同样有反射性和BCJ恒等式：

$$ \begin{align} &\widetilde{\mathcal{S}}[i_1,\ldots,i_k|j_1,\ldots,j_k]=\widetilde{\mathcal{S}}[j_k,\ldots,j_1|i_k,\ldots,i_1]\\ &\sum_{\gamma\in S_{n-2}}\widetilde{\mathcal{S}}[i_2,\ldots,i_{n-1}|\gamma_{2,n-1}]_{p_n}A_n(n,\gamma_{2,n-1},1)=0 \end{align} $$

还有一个“正交性”恒等式（不是后面要证明的那个）：

色序振幅

所谓KLT关系，在场论看就是把引力振幅写成两个规范场振幅的乘积形式，注意两个规范理论不一定是相同的，所以我们特别使用了$\mathcal{A}$和$\widetilde{\mathcal{A}}$来区分两者，具体引力理论分解到规范理论可以看下表：

值得一提，后面给出的KLT正交性其实可以写成下面的积分形式：

也就是说只要我们有一个CHY被积函数，假设它可以分解为两个$SL(2,\mathbb{C})$权为2的部分，也就是说$\mathcal{I}=\mathcal{I}^L\cdot\mathcal{I}^R$，那么我们就可以对左右两个被积函数分别定义相应的CHY振幅$\mathcal{M}^L$和$\mathcal{M}^R$，分别由CHY被积函数$\mathcal{I}^L\cdot\mathbf{PT}$和$\mathcal{I}^R\cdot\mathbf{PT}$生成，那么我们就有一般的CHY关系：

所以利用CHY可以提取出拉氏量原先看不见的KLT关系！当然上面这只是一个非常粗略的说明。

正交性证明

现在来开始证明KLT正交性，KLT正交性意味着散射方程解和动量核因子之间的关系。首先给出散射方程的雅可比矩阵定义：

$$ \begin{equation} \boxed{ \label{jacobbi} \Phi_{ab}\equiv\partial\left(\sum_{c\neq a}\frac{s_{ac}}{\sigma_a-\sigma_c}\right)/\left(\partial\sigma_b\right)=\begin{cases}\frac{s_{ab}}{(\sigma_a-\sigma_b)^2},&a\neq b,\\-\sum_{c\neq a}\Phi_{ac}, &a=b\end{cases} } \end{equation} $$

然后可以定义所谓广义雅可比矩阵：

广义雅可比矩阵的秩：

\[\operatorname{rank}\Psi(\{\sigma\},\{\sigma^{\prime}\})=\begin{cases}n-4, \{\sigma\}\neq\{\sigma^{\prime}\}\\n-3, \{\sigma\}=\{\sigma^{\prime}\}\end{cases}\]

这个定理的证明并不复杂，只需要验证下面的四个矢量张成雅可比矩阵的Kernel：

注意到两个解相同时这个空间会退化为3维的。

定义下面两个函数：

两个函数只相差一个相位：

\[K_n(\{\sigma\},\{\sigma'\})=(-1)^n\det'\psi^{(n)}\]

这里$\det^\prime$的意思是删去任意一行任意一列之后得到的行列式。这个引理的证明比较复杂，但无外乎线性代数。这里$\psi$就是前面的$\Psi$的一部分。

有了这两个引理，就可以证明KLT正交性，引入两个由散射方程解组成的向量：⁶

这里$\omega\in S_{n-3}$，所以这两个是$(n-3)!$维向量。

KLT正交性 定义：

\[(i,j):=\sum_{\alpha,\beta\in S_{n-3}}V^{(i)}(\alpha)S[\alpha|\beta]U^{(j)}(\beta)\]

那么：

\[\frac{(i,j)}{(i,i)^{\frac12}(j,j)^{\frac12}}=\delta_{ij}\]

证明就是利用前面两个引理，注意到，KLT正交性具有$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\times\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$不变性，所以我们可以取定规范：

利用两大引理可以得到：

这里$|\psi|^{r}_{s}$的意思是删掉第$r$行和第$s$列得到的行列式。

散射方程的软极限

Single

选取第$n$个粒子变软：

这将导致最后一个方程变成：

也就是说最后一个方程会解耦，直接导致${\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}}$满足的是$n-1$个粒子的散射方程，有$(n-4)!$个解。然后现在假设$\tau\neq 0$，稍微偏离$0$，显然原先的${\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}}$解的个数是整数，不能跳变，所以还会是$(n-4)!$个解，但是现在第$n$个方程可以考虑进来了，这个方程是一个关于$\sigma_n$的$n-3$次多项式的方程，这个不难看出，只需要选第一项不动，整个方程乘上后面的项的分母就好了，第一项的分母又会抵消一个degree。根据代数基本定理，这又会产生$n-3$个解，而且是前面${\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}}$的每一个解代入第$n$个方程都会产生$n-3$个解，所以最终解的个数就是$(n-3)!$个。所以散射方程解的个数被归纳地证出来了。

对于只有一个粒子变软的情形，散射方程会解耦退化为$n-1$个粒子的方程，但是方程解的个数依然是$(n-3)!$个。

Double

现在考虑有两个粒子变软，但是众所周知，对于非阿贝尔规范理论，两个粒子变软并不是良定义的，变软的次序不同结果是不同的，这里考虑两个粒子同时变软：

同样变软的过程中有动量守恒。$\tau =0$还是没啥好说的，最后两个方程解耦，${\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-2}}$满足的是$n-2$个粒子的散射方程，有$(n-5)!$个解。现在来考虑$\tau=0$邻域附近。

首先重定义：

然后把最后两个散射方程相加相减得到：

显然上面的方程对于$\xi\sim \tau^0$和$\xi\sim\tau^1+\mathcal{O}(\tau^2)$都是有解的，第一个对应解不存在简并，第二个对应简并解，重点看第二个简并情况。对$\xi$关于$\tau$微扰展开不难求解得到：

然后微扰展开$\mid\rho=\rho_0+\mathcal{O}(\tau)$，得到$\rho_0$满足的方程：

这是一个$n-4$次方方程，所以会有$n-4$个解，所以散射方程总共$(n-3)!$个解中，$(n-4)!$个解会变成简并的解（奇异解），也就是有两个孔重合了，但是剩下的$(n-4)!(n-4)$个解依旧是不简并的（非奇异）。

散射方程的 Factorization Channel

考虑下面的极限（有且只有一个集合${I}$）：

可以按照前面研究软极限的方式研究这时候散射方程的解的性质，不过稍微复杂些，这里直接给出结论：

Factorization Channel

方程存在$(n_L-2)!(n-n_L-2)!$个奇异解。假设利用$\epsilon$控制$k_I^2\to 0$的速度，那么对于奇异解，$\forall i,j\notin I$，$\sigma_i\neq\sigma_j$；$\forall i,j\in I$，$|\sigma_i-\sigma_j|\sim\epsilon^1$。

CHY形式

这个公式最先开始就是根据散射方程猜出来的⁷，散射方程的解应该可以用于是散射振幅的构造。但是散射方程本身只有$n-3$个是独立的，所以首先需要构造一个具有置换不变性的积分测度，下面的测度就是置换不变的：

所以在$n$​个穿孔的黎曼球面上的积分测度可以定义为：

这个积分测度是$SL(2,\mathbb{C})$协变的，原因是动量守恒带来的：

而且还是置换不变的。进而可以利用这个积分测度去构造散射振幅，最先被构造出来的是YM和Einstein引力理论：

也就是散射振幅的CHY形式，这种形式有个特点，都是用积分表达的，而且测度部分是与所研究的理论无关的，不同的理论只在被积函数有区别。$E_n({k,\epsilon,\sigma})$也应该对外线动量、极化矢量和$\sigma_a$是有置换不变性的，而且由于$SL(2,\mathbb{C}$联系的一簇散射方程的解是对应的同一个$\mathbb{CP}^1$，所以是同样的动力学变量，所以被积函数应该也有$SL(2,\mathbb{C})$协变性，并且与积分测度相反，从而抵消，使得散射振幅本身是$SL(2,\mathbb{C})$不变的，这要求：

也就是说被积函数的协变权重要是4。

积分的计算

看起来CHY形式的积分很难计算，但其实delta函数把积分完全定下来了，我们要做的只是解散射方程，考虑下面一般的CHY形式：

这里积分是对$n$穿孔的黎曼球面的模空间积分，所以会存在$SL(2,\mathcal{C})$冗余，这也是为什么需要除掉$SL(2,\mathcal{C})$，提醒我们积分时只能在一个截面上进行积分（而不是说简简单单真正只是除掉一个$SL(2,\mathcal{C})$群流形的体积）。类似YM场路径积分时的FP鬼场方法取定规范⁸，可以把上面的积分约化为：

delta函数还会带来一个雅可比行列数，这个在前面\eqref{jacobbi}已经计算过了，不过由于我们去掉了$\sigma_{i,j,k}$和$\sigma_{p,q,r}$来给出散射方程的补偿因子以及固定积分规范，所以对应的雅可比行列式应该也要去掉对应的三行三列，最终的结果为：

$$ \begin{equation} \label{mu} \boxed{ \sum_{\{\sigma\}\in\mathrm{solutions}}\frac{(\sigma_{pq}\sigma_{qr}\sigma_{rp})(\sigma_{ij}\sigma_{jk}\sigma_{ki})}{|\Phi|_{pqr}^{ijk}}\mathcal{I}} \end{equation} $$

常常记：

YM理论和Einstein GR理论的被积函数

首先给出$E_n({k,\epsilon,\sigma})$的具体形式，首先定义下面的$2n\times 2n $矩阵：

其中：

定义reduced Pfaffian：

$$ \begin{equation} \label{Pf} \boxed{ \mathrm{Pf}^{\prime}\Psi:=\frac{(-1)^{i+j}}{(\sigma_i-\sigma_j)}\mathrm{Pf}(\Psi_{ij}^{ij})} \end{equation} $$

Pfaffian的作用对象是反对称矩阵，最简单的定义方式就是行列式开根号，而且如果反对称矩阵的阶为奇数，那么由于行列式一定是0，所以Pfaffian也平庸，也可以用下面的式子等价定义反对称矩阵$X_n$的Pfaffian：

\[\mathrm{Pf}X_n:=\sum_{\alpha\in\mathrm{P.M.}}\mathrm{sgn}(\alpha)\left(X_n\right)_{\alpha(1),\alpha(2)}\left(X_n\right)_{\alpha(3),\alpha(4)}\cdots\left(X_n\right)_{\alpha(n-1),\alpha(n)}\]

这里的P.M.表示完美匹配（Perfect Matchings），意思就是所有那些两两配对的排列，同样的配对看作一个，只求和一次。其中：

\[\mathrm{sgn}(\alpha):=\begin{cases}+1,&\alpha\in\text{even permutations,}\\[2ex]-1,&\alpha\in\text{odd permutations.}\end{cases}\]

注意$(\text{Pf}\Psi)^2=\text{det}\Psi=0$，可以证明上面定义的\eqref{Pf}是关于外线动量置换无关的，也就是说计算约化Pfaffian时可以任意删去两行两列，据此可以猜测：

最终我们得到任意维数的YM振幅的CHY形式：

利用KLT构造，自然想到引力子振幅应当是两个YM振幅的乘积：

纯引力子振幅下$\Psi=\widetilde{\Psi}$，所以上面等式的最后一个等号成立，这里$\det{}^{\prime}\Psi \equiv\det\Psi_{ij}^{ij}/\sigma_{ij}^2$，利用\eqref{mu}，可以将上式写成：

再来解释一下Einstein被积函数里面的两个Pfaffian，注意到$\Psi(k,\epsilon,\sigma)$一个不带$\tilde{}$一个带，实际上是$\epsilon$的区别。引力子的极化张量$\epsilon^{\mu\nu}=\epsilon^\mu\epsilon^\nu$，两个$\epsilon$是相等的，所以纯引力子振幅这俩没区别。

但是更一般的，引力子$h^{\mu\nu}$是一个二阶对称无迹张量，而实际上一个二阶张量还有反对称和仅仅是迹的两个不可约部分。这俩分别对应B-field和dilaton，所以我们可以把极化矢量写成下面的更一般的形式：

这样，前面的Einstein理论的CHY被积函数就可以包括B-field以及dilaton的散射了。只需要按照外腿state的不同合适选取$\epsilon^\mu$和$\tilde{\epsilon}^\nu$使得下式成立：

这里$\bar{k}$是辅助变量，满足$\overline{k}^2=0$和$\overline{k}\cdot k=1$，类似于$\epsilon$的旋量螺旋度形式那里的参考动量$q$的选取一样，最终的振幅与$\bar{k}$的选取无关，这体现了规范不变性。

规范不变性和软极限

前面猜出来的被积函数只是有$SL(2,\mathbb{C})$协变性和置换不变性，下面来证明其也有规范不变性，并且说明CHY形式有正确的软极限。

规范不变性

规范不变性这边需要验证的是Ward恒等式，也就是将任意外线极化矢量换成外线动量之后振幅都是0。

现在假设把$\epsilon_i^\mu\to k^\mu_i$，观察$\Psi$的第$i$列和第$i+n$列，注意到$A$的第$i$列为：

这里$0$在第$i$个位置。然后再看$C$的第$i$列，非平凡的项是第$i$个位置的元素：

这里最后一个等号利用了散射方程，所以有：

然后我们需要看$\Psi$的第$i+n$列，这个计算是trivial的，不难发现这两列是相等的。那么最后要求$\Psi$删去任意两行两列之后的行列式，我们只需要删去的不是${i,i+n}$，那么就可以直接得到CHY形式的被积函数是$0$。

软极限

假设按照前面散射方程软极限的分析，最后一个外粒子变软。

首先是测度部分，测度部分有两次规范固定，一次是由于散射方程只有$n-3$个独立，第二次是散射方程的解是有$SL(2,\mathbb{C})$冗余的，我们选择不去利用冗余规范固定$\sigma_n$，也选择包括第$n$个散射方程：

$$ \begin{equation} \label{mu2} \frac{d^n\sigma}{\operatorname{vol}\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})}\prod_{a=1}^n{}^\prime\delta(\sum_{b\neq a}\frac{s_{a,b}}{\sigma_{a,b}})\to\frac{d^{n-1}\sigma}{\operatorname{vol}\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})}\prod_{a=1}^{n-1}{}^\prime\delta(\sum_{b\neq a}\frac{s_{a,b}}{\sigma_{a,b}})d\sigma_n\delta(\sum_{a=1}^{n-1}\frac{s_{n,a}}{\sigma_{n,a}}) \end{equation} $$

Pfaffian有一个非常重要的递推性质：

这里$e$表示矩阵$E$的矩阵元。然后利用上面的公式展开$\mathrm{Pf}\Psi_{ij}^{ij}$，注意选取$i,j\neq n$，$p=n$。下式中出现的$\Psi$的上下标，都是相对$\Psi$而言，而不是约化后的$\Psi$。

根据$\Psi$的定义，$\Psi_{na}$对于$a=1,2,\ldots,2n-1$都是正比于$k_n$的（$\Psi_{nn}=0$），所以会在软极限下为0，上面展开式中只有一项需要考虑$\Psi_{n,2n}=\sum_{a=1}^{n-1}\frac{2\epsilon_n\cdot k_a}{\sigma_{n,a}}$：

注意这里把$\sigma_{n,a}$重写成了上下两个Product。上面的等号是显然的，$\Psi$划掉$n,2n$两行两列之后，就剩下的是$n-1$个没有软的粒子的Pfaffian。

利用CHY形式可以把振幅写成下面的形式：

这里$\sigma_n$的积分变成了围道积分，因为$\sigma_n\in\mathbb{C}$，然后剩下的$\sigma_a$是被测度的前$n-1$个散射方程确定了的$(n-4)!$个解。$\sigma_n$没有被确定，但是注意到前面把测度按照\eqref{mu2}的方式分开之后，还有一个第$n$个散射方程，这个散射方程的解其实被围道积分体现出来了，围道积分会在$\sigma_n$的$n-3$个极点处取留数，这些极点对应的就是散射方程的解。

下面来具体计算确认一下上面一段argue，首先是：

这个是不含$\sigma_n$的测度$d\mu_{n-1}$部分得到的结果，其次是：

这只是把被积函数的PT因子重新写了一下，凑出来一个$n-1$个粒子的PT因子。

最后是：

$$ \begin{equation} \label{fac} \frac{\sum_{a\neq n}\epsilon_n\cdot k_a\prod_{b\neq a,n}\sigma_{n,b}^{(i)}}{\sum_{a\neq n}k_n\cdot k_a\prod_{b\neq a,n}\sigma_{n,b}^{(i)}} \end{equation} $$

这分成两部分，第一部分来自于：

第二部分来自于第$n$个散射方程的解将对$\sigma_n$的积分localized，也就是说我们可以用对$\sigma_n$的围道积分来代替加上烦人的delta函数，只需要把散射方程直接放在分子上，就直接会给出$n-3$个解对应的$\sigma_n$单极点，取留数的时候就相当于直接代入$\sigma_n$的解到其它被积函数部分了，也就是说要用上面的方程除去：

显然得到的就是\eqref{fac}，而且围道显然选取只包围$\sigma_{n}$的$n-3$个解。当然，实际上上面的公式中我们略去了$\frac{1}{2\pi i}$​，散射振幅文献里面经常这样干。下面重点看YM振幅的软极限。

虽然围道只包围了$\sigma_n$的解，这是散射方程决定的。但是被积函数里面并不只有这$n-3$个极点。显然还应该有$\sigma_1,\sigma_{n-1}$这两个极点，另外还有$\infty$这个极点。根据全平面内留数之和是0，现在我们只需要转变为计算三个极点处的留数，首先看$\infty$，由于看的是$f(z)$洛朗展开$1/z$前面的系数，所以只需要$f(z)\sim\mathcal{O}(1/z^2)$，无穷远极点就对留数无贡献。注意到第一个因子在$\sigma_n\to\infty$的时候$\to\sigma_n^0$，第二个是$\sigma_n^{-2}$，所以无穷远处留数确实是0。

这两个留数会导致第二个因子变成$1$，第三个因子是$A_{n-1}$的被积函数，重点看第一个因子。根据$\sigma_{a,a}=\sigma_a-\sigma_a=0$，显然两个留数分子分母都只会留下一项有贡献，得到：

这的确是软极限的正确形式，同样引力子振幅有：

[DLC] 振幅因子化

振幅因子化实际上是$S$矩阵的局域性和幺正性的必然要求。散射矩阵的一个重要特征就是幺正性：

这里$S\equiv=1+i T$，$T$是真正考虑的散射振幅，也就是S矩阵的non-trivial部分。由于QFT都是局域的场论，也就是说不存在超距作用，可以把散射不是看成初态到末态，而是假设有多个中间态，也就是说下面的插入完备基的做法是可行的：

这里$\delta^{(+)}$的意思是$k^\mu$限制在未来光锥之中。上面的式子其实就是光学定理。

假设入射态的总动量为$P^2$，把$P^2$看作是复平面上的元素，光学定理LHS其实是在计算$\mathcal{M}_n$的不连续性：

对振幅的解析性更细致的分析表明，光学定理暗示了振幅下面的极点分解形式：

注意这里对中间态求和，就如BCFW递推公式（这一奇点结构也促进了BCFW公式的导出，BCFW利用了树图只会在中间传播子在壳的地方出现单极点）使用时要进行的求和一样，对所有可能传播的粒子态求和，但要注意一个进一个出，要满足$\mathcal{CPT}$。

利用$\mathcal{S}$矩阵的语言，这种只出现单极点的情况叫局域性，而振幅的奇异部分可以分解为两个更小的振幅与一个在壳传播子的这一性质称为幺正性。另外BCFW递推每一项并不是局域的，因为会存在假性奇点，也就是最终振幅中不会存在的极点，他们的留数在所有BCFW项加起来之后会消除。

不过利用CHY公式看出这一点非常麻烦，详情移步⁹。

其它理论的被积函数

CHY形式最重要的特点是他把不同理论的树图散射振幅用一个统一的积分形式表达出来了，而且积分测度都是一样的，只是被积函数有差别。而且基本上能用CHY形式表达的理论，其被积函数都能写成两部分之积：

$\mathcal{I}^{L/R}$的$SL(2,\mathbb{C})$​​协变权重都是2。现在来考虑不同理论的被积函数。

袁野老师的博士论文中用一张表总结的很到位，这张表作为提纲放在这里：

标量场

前面写的都是色序振幅，现在把$\Tr T^a\cdots$加回去可以把引力子振幅和胶子振幅统一写成：

这里$s$表示理论的自旋，省略号表示对置换模掉轮换求和。那么自然想到$s=0$是不是就对应标量场的振幅？很自然的能想到这个时候被积函数应当是：

这里我们色指标用了$a$和$\tilde{a}$两种不同的记号，表示我们考虑最一般的情况，也就是标量场带两个味指标$\Phi^{I,J}$，处于$\mathrm{U}(N)\times\mathrm{U}(\tilde{N})$的自伴表示（所以很多时候也叫bi-adjoint $\Phi^3$ 理论）。可以证明下面的（推广的）$\Phi^3$理论的振幅确实由上面的CHY形式描述：

注意下面的这个是$\Tr\phi^3$理论：

\[\mathcal{L}_{\text{Tr}(\phi^3)}=\text{Tr}(\partial\phi)^2+g\text{Tr}(\phi^3)\]

和BAS（bi-adjoint scalar）理论还是有很大差别的，虽然看起来$\Tr\phi^3$里面的$\phi$也是一个矩阵，而且也是cubic相互作用，最大的区别就是$\Tr\phi^3$是没有色的一个理论

下面的这玩意儿叫Park-Taylor因子：

然后再定义一个：

一个很有意思的事情是，把被积函数里面的因子做下面的替换，下面的图表是可交换的（在物理的意义下）：

上图中我们将Pfaffian记作了$E_\epsilon\equiv\mathrm{Pf’}\Psi(\epsilon)$。这意味着不同的理论之间存在千丝万缕的关联，后面KLT、BCJ对偶这一点会更加明显。而且，注意，往往不是给一个理论然后去找CHY被积函数，而是从最原始的，也就是引力振幅、标量振幅和YM振幅的被积函数出发，稍微改动一下，但是又要满足$SL(2,\mathbb{C})$协变性和置换不变性，去看对应的理论应该是什么。

所以$\Phi^3$理论的CHY被积函数为：

也可以考虑不带任何色因子的$\Phi^3$理论，这个时候：

对应的被积函数为：

就算是带色因子的理论，最终也是可以模仿色序偏振幅，转化为对不带色因子理论振幅的计算，所以最终要面对的都是两个PT因子乘积，下面介绍所谓double色序偏振幅概念。

double 偏振幅

由于$\Phi$有两个色指标，所以可以预料到他的振幅应当是分解成double Trace，先用$U(\tilde N)$ trace进行展开：

然后再用$U(N)$ trace进行展开：

最终分出来的不含任何色因子的振幅$m_n^{(0)}(\alpha|\beta)$，他是原先的振幅在double Trace基底下展开的系数。显然，这个时候double 偏振幅的CHY形式就是两个PT因子，和不带色指标的标量场一致：

总的振幅就是把上面的振幅乘上double Trace，但是实际上更实用的是用下面的色基去写¹⁰：

这里（包括下面的展开式）$\alpha\in S_{n-2}$，因为DDM基底已经雅可比恒等式约化到$(n-2)!$个独立基了，用迹基反而是超完备的，这里我们选择固定$1,n$：

等效费曼图

下面介绍一种图的方法来计算$m^0_n(\alpha|\beta)$，值得注意的是，这种基于图的计算方法完全可以抽象为机械的计算机程序算法，详细见文献¹¹。

首先我们考虑一个五点振幅，注意到$1,5$两个腿被固定，而且实际上我们只需要计算$m_n^0(I,P)$，剩下的可以用$2,3,4$的置换得到：

这里

括号内表示外腿的顺序。首先放几个结果感受一下：

首先注意到类似于YM场的偏振幅，计算标量场double偏振幅也可以使用轮换序图，上面的其实就是一些特定的轮换序图的贡献之和。$\Phi^3$理论的轮换序图要容易不少，首先是顶点项是trivial的，就是贡献一个$1$，其次是没有外线的极化矢量需要考虑，所以只需要看轮换序图里面的传播子贡献就好了。

[轮换序图贡献]在一个正负号的意义下，对$m^0_n(\alpha|\beta)$有贡献的轮换序图是那些即在$\alpha$序中的图，也在$\beta$序中的图：

\[m_n^{(0)}(\alpha|\beta)=(-1)^{n-3+n_{\text{flip}}(\alpha|\beta)}\sum_{g\in\mathcal{T}(\alpha)\cap\mathcal{T}(\beta)}\prod_{e\in E(g)}\frac{1}{s_e}\]

这里$\mathcal{T}(\alpha)$表示$\alpha$序下的轮换序图，$\mathcal{T}(\beta)$表示$\beta$序下的轮换序图，后面$\prod_{e\in E(g)}\frac{1}{s_e}$表示我们只需要考虑轮换序图里面的传播子贡献。

比如下面的两个序图：

就是即在$(12345)$又在$(13245)$中，也就是说你可以把顶点相连的两条线拧一下，这样生成的两个序图是等价的，这不难想到，因为你把顶点拧一下不会改变传播子，他们对应的项都是相等的。

基于上面的想法，可以总结出一种计算偏振幅的图方法，这种图方法还便于直接看出前面的符号$(-1)^{n-3+n_{\text{flip}}}$。下面以$m_8^{(0)}(I|54376218)$为例说明，注意$\alpha,\beta$序都是可以差个轮换的，所以这个其实就是$m_8^{(0)}(I|18543762)$。

Step1: 画一个圆盘，把 n 个点按照$\alpha$的顺序逆时针排列在圆盘上(如图(a))。然后我们按照 $\beta$的排列顺序依次连接$n$个点。(如图(b))。注意由 $\beta$顺序连接成的闭合线，会将圆盘分割成几个小区域。如图(b)中所示，分割成了两个五边形， 一个四边形，和中间的一个三角形。如果像图中这样，这几个小区域有公共边，那我们需要拉近相同小区域的外顶点，使得相邻的两个区域，只可以有共同的顶点，而没有公共边，如图(c)的做法。

Step2: 得到如图(c)的区域划分图之后，我们按照如下方式构造“等效费曼图”。首先在每个小区域的中间放一个点，称为等效费曼图的等效顶点。然后把最外围的小区域内的等效顶点与相应区域内的外点相连接。最后连接有公共顶点的两个区域的等效顶点这样的线我们称为等效传播子。最终得到的图即为等效费曼图，如图(d)所示。

Step3: 得到等效费曼图之后，我们可以读出相应的振幅解析式。每个包含$m$条线的等效顶点，表示所有可能保持$m$条外腿顺序不变的$m$点轮换序图的总和。在这个例子中， 连接$1,2,8$顶点的等效顶点，贡献为$\frac1{s_{12}}+\frac1{s_{18}}$。同理，连接$3,4,5$的顶点贡献为$\frac1{S34}+\frac1{s_{45}}$,连接$6,7$的顶点是一个平凡的 $3$顶点，因此贡献为 1。将这些等效顶点的贡献，乘以每一条等效传播子，例如本例中有 3 条等效传播子，分别贡献为$\frac1{S_{128}},\frac1{S_{67}},\frac1{S_{345}}$。最终得到表达式。

但是还差一个正负号没有搞出来，可以用下面的方式确定：

Step1: 按照$\alpha$序给圆盘一个方向，如图$(a)$，然后按照$\beta$序对分割出来的多边形进行定向，如图(b)。

Step2: 按照下面的规则写下正负号： (1)每个顶点个数为奇数的多边形当其定向和圆盘相反是给正号，否则负号； (2)每个顶点个数为偶数的多边形无论定向如何，都给个负号： (3)每个交叉点都给个负号。 最终得到的符号贡献如图$(c)$。

不难发现$m_8^{(0)}(I|54376218)$对应的符号就是正号。

再次强调，虽然我们这里是看起来比较灵活的图示方法，其实上面的这些规则都可以转化为机械式的计算机程序语言。

更一般的PT因子

这种图方法也不仅限于$\Phi^3$理论，实际上我们考虑的PT因子可以写成下面的抽象形式项的求和：

PT因子是$\beta_{ij}=1$的特殊情况。由于散射方程解的$SL(2,\mathbb{C})$不变性确定了被积函数的协变权重，所以更一般的PT因子有限制：

对于这种更一般的PT因子的图规则，不少文献也进行了研究，核心思想是利用被积函数所带来的振幅关于运动学变量的奇点结构。对于\eqref{int}中的某个下标子集$A_i\subset{1,2,…,n}$，可以定义其奇点指数：

其中$|A_i|$为集合$A_i$的元素个数，$L[A_i]$为$A_i$集合的连接数，由下式给出：

根据\eqref{mobius}，$A_i$和$\bar{A}_i$的奇点指数相等。而且可以证明，奇点指数决定了振幅包含的奇点结构：

显然奇点结构大于等于0，振幅就会含有一个运动学奇点。这种更一般的PT因子会有更复杂的图规则用于计算。

与KLT kernel的关系

前面介绍的KLT kernel可以用排序写成下面的形式：

这里$\alpha,\beta\in S_{n-3}$，即固定了$1,n-1,n$三个外腿。这自然构成了一个$(n-3)!\times (n-3)!$的矩阵，称为KLT矩阵$(S_{\text{KLT}})_\beta^\alpha=S[\alpha|\beta]$。

利用前面的KLT正交性，现在来证明下面的定理：

KLT kernel是double partial振幅的逆：

\[(S_{\mathrm{KLT}}^{-1})_\beta^\alpha=(m_{\mathrm{scalar}})_\beta^\alpha\equiv m^{(0)}(1,\alpha(2),\ldots,\alpha(n-2),n-1,n|1,\beta(2),\ldots,\beta(n-2),n,n-1)\]

下面证明上述定理。首先将前面叙述KLT正交性的两个向量归一化：

而且这其实是一个矩阵，利用$I,\alpha$标号，行用$(n-3)!$个散射方程的解标号，列用$S_{n-3}$中的排列标号。KLT正交性用矩阵形式可以写为：

注意到：

这还真不难注意到

这就直接完成了证明：

[DLC] $\phi^3$ 理论

现在考虑不带色指标的，纯纯的$\phi^3$理论。文章¹²中指出，其可以通过bi-adjoint scalr理论的振幅取$\alpha=\beta$且对所有（模掉轮换）的序求和得到（前面还需要乘上一个合适的因子），所以$\phi^3$的CHY被积函数可以表示为：

Yang–Mills–Scalar 理论

Yang-Mills-Scalar理论是标量场和YM场的耦合，标量场带有色指标，处于$U(N)$群的自伴表示，所以下面色指标隐藏，配上$T^a$写成矩阵形式。标量场还带有$SO(M)$的味指标表示可能有多种标量场耦合。YM场胶子处于$U(N)$群的自伴表示之中，拉格朗日量如下：

下标$c$表示求迹是对色指标求。¹³

由于胶子处于自伴表示，所以把胶子场用下面的方式写成一个矩阵形式是胶子场的特例：

\[A(x)=A^a(x)T^a\]

一般的费米子场处于某个$R$表示下不能这么做

引入下面的矩阵：

注意上面的指标就表明了和一个胶子线相连的两个标量场一定同味。因为这个耦合项藏在$\operatorname{tr}_\mathrm{c}(D_\mu\Phi^ID^\mu\Phi^I)$里面，这一项没有$D\Phi^I D\Phi^J$。

标量部分

考虑这个理论中的纯标量场振幅，也就是外线只有标量场没有胶子的振幅，CHY被积函数为：

由于$n$为偶数时$\operatorname{Pf}$​才不为0，所以上面的公式直接说明了树图不为0的标量振幅一定有偶数个外腿。

Mixed 胶子部分

为了推导出这个，我们需要“Compactification”的概念。考虑一个$D$维空间，向$d$维空间紧致化，这部分空间叫external，被紧致化的维数为$m=D-d$，这部分空间叫internal，记紧致化前$D$维空间的动量和极化矢量为$K^M,\mathcal{E}^M$，紧致化之后$d$维空间的动量和极化矢量为$k^\mu,\epsilon^\mu$。

首先是对动量的紧致化，这一步就是把紧致化的维度的动量完全设为0：

极化矢量有两种不同的紧致化，紧致化到external空间：

或者internal空间：

后面会看到这个internal的紧致化会对应多味的scalar，所以一般来说会把$e_a^I$取成正交归一的基底，$e_{a}^{I}:=\delta^{I_{a},I}$。external的紧致化会对应矢量玻色子。紧致化之后$D$维的极化矢量之间以及极化矢量与动量缩并为：

$$ \begin{equation} \label{compact} K_a\cdot K_b=k_a\cdot k_b,\quad K_a\cdot\mathcal{E}_b=\begin{cases}k_a\cdot\epsilon_b,&\mathcal{E}_b\text{ external},\\0,&\mathcal{E}_b\text{ internal},\end{cases}\quad\mathcal{E}_a\cdot\mathcal{E}_b=\begin{cases}\epsilon_a\cdot\epsilon_b,&\text{both external},\\\delta^{I_a,I_b},&\text{both internal},\\0,&\text{else}.\end{cases} \end{equation} $$

现在利用上面的紧致化，从$D$维的YM理论出发，考虑$d$维时空中的$n$个胶子和scalar的散射。首先对极化矢量进行紧致化：

$g,s$分别代表胶子和scalar，这是两个指标集，他们把指标$1,\ldots,n$隔开成了俩部分。那么YM的CHY形式被积函数左被积函数PT因子不变，但是右被积函数要改变：

这里用虚线隔开，表明了每个分块小矩阵的指标变化范围，是$g$的部分还是$s$的部分。注意由于$K_a\cdot K_b=k_a\cdot k_b$，所以左上角的$A_n$部分不会变，剩下的都可以从\eqref{compact}看出来。显然这个分块对角矩阵导致：

这里注意指标，因为这里的${(\mathcal{X}_n)}_{a,b}$实际上应该是$\mathcal{X}_n$的余子式，下标的$s$就表明，我们只取指标跑遍$s$的部分，也就是$a,b\in s$。$\Psi_n$的下标也是类似，表示我们取下面的这部分：

所以YMS理论的CHY被积函数可以表达为：

这里$[\Psi_n]_{:\hat{s}}=[\Psi_n]_{g,s:g}$。

所以总结下，要考虑$d$维时空的胶子标量子的散射，假设考虑的YMS理论有$m$个不同的标量子味，那么需要在$D=d+m$维YM理论下进行紧致化。然后如振幅中含$|g|$个胶子，$|s|$个标量子，那么就要将${1,\ldots,n}$指标按照这两个个数进行分割成两部分，前面我们为了简化直接假设两部分是$g={1,\ldots,|g|}$和$s={|g|+1,\ldots,n}$。实际上也可以不必这么分，也可以任意分割，计算结果是等价的，只需要满足：

就好了，而且$g$和$s$都可以是空集，不难验证，$g=\varnothing$时理论被积函数回到纯标量振幅。$s=\varnothing$时理论回到纯YM振幅。只用注意到下面的式子成立：

YMS的振幅结构值得多说几句。首先，上面的CHY形式算的是Single trace的色因子分离后的偏振幅，明显的看到前面有个PT因子用来表征色序。另外，这个振幅实际上还可以细分成一些“味序振幅”，也就是：

只是现在的“味序”不是一些置换，而是不同的完美匹配。这些完美匹配全部写出来就是画一个图，然后把上面的点两两配对，显然当且仅当$|s|=\mathrm{even}$时才能完美匹配，才不是0：

比如，第一个就是$A({1,3},{2,4};{1,2,3,4})$。这也直接说明了$I_1=I_3,I_2=I_4$。

Generalized YMS

根据后面¹⁴EM推广到EYM的经验。实际上YMS理论也只是一个更广泛理论的Abel部分。也就是说我们想把Scalar从double-trace到Multi-trace扩张，味指标看作是生活在更大的$U(N)$群之中的色指标，原先的胶子的自伴色指标叫做$U(\tilde{N})$。这种扩张显然要引入更多耦合项，实际上，这个理论时bi-adjoint scalar理论$U(N)\times U(\tilde{N})$与$U(\tilde{N})$的YM理论的Minimal Couple，会引入cubic的bi-adjoint scalar相互作用顶点：

$\lambda\to 0$回到YMS理论，$g\to 0$回到bi-adjoint scalar理论。这个时候$U(N)$这边的色因子分解自然会和EYM那边一样出现Multi-trace，因为胶子是不带左边的$U(N)$色指标的，没有左边的“味”，所以类似费米子插入的时候，$U(N)$色指标裸露在外面，而胶子又完全不带$U(N)$色指标，这直接导致色指标不是裸露，而是变成$\Tr$。CHY形式应该是下面的样子：

所以这个时候有两个色序，而且其中一个色序还是带有Multi-trace的，double partial振幅就可以表示成下面的形式：

$\beta$表示$U(\tilde{N})$的色序，这是一个Single Trace。${g}$表示的是哪几个label对应胶子，${s_i}$对应的是那些multi-trace $\Tr_i$中的scalar。如果$|s_i|=2$，则回到Abel的special sector，也就是YMS振幅。如果scalar部分一整个是Single trace，那么就回到Bi-adjoint scalar理论，后面我们会使用Squeezing重新研究YMS的扩张。

[DLC1] Scaffolding

这一小节简要介绍如何通过YMS振幅去计算YM振幅¹⁵。比较pictorial的想法就是下面的这幅图：

当然，这只是一个形象的表示，具体证明都还很复杂，但是计算方法却非常简单。

从一个2n-scalar的YMS振幅$A({1,2},\cdots,{2n-1,2n};{1,2,\cdots,2n})$出发，可以得到$n$胶子振幅$A(1,2,\cdots,n)$。其它的则可以通过relabel得到。首先取下面的留数，使得隐藏的胶子on-shell：

\[X_{1,3}=X_{3,5}=\cdots=X_{1,2n-1}=0,\quad X_{i,j}\equiv (p_i+p_{i+1}+\cdots p_{j-1})^2\]

然后做下面的替换：

\[\begin{cases}q_i^\mu=(p_{2i}+p_{2i-1})^\mu\\\epsilon_i^\mu\propto(p_{2i}-p_{2i-1})^\mu\end{cases}\]

这里$q$就是胶子动量，这里$\epsilon$就是胶子的极化矢量，这里差的一个比例系数就是YM理论的耦合常数$g_{\text{YM}}$。

[DLC2] $\phi^4$理论

由于YMS理论中的$\phi$的相互作用都是四顶点的，而且如果只有一个味，胶子什么的耦合也去掉，那么YMS理论回到$\phi^4$。所以很容易想到利用YMS去求$\phi^4$的振幅。$\phi^4$振幅的费曼图拉直了看其实是一些完美匹配图：

当然还有一些完美匹配图是多余的：

左边是因为$\phi^4$没有六点相互作用，右边是因为$\phi^4$树图看不到圈修正。当然这些只是${1,2,\cdots,n}$的ordering，实际上由于这是一个不带色的理论，最终要对所有ordering的图求和。

（Special）YMS的纯标量振幅正好也是这样，把胶子$g=\varnothing$之后$\Psi\to \operatorname{diag} (A,X)$，也就是下面的样子：

每一个完美匹配图都是YMS纯标量振幅中的某一项，而且更重要的是，那些在$\phi^4$树图中不贡献的完美匹配，在上面的公式中结果自然是0。只是现在标量只有一个味了。而且需要对所有的序求和，这可以通过一个PT因子做到，这是一个trick，先假设这些$\phi$是有色指标的，所以YMS的被积函数就能直接给出$\phi^4$的色序振幅。但是真正的$\phi^4$振幅是没有色的，这无非是说色序偏振幅后面跟的single trace是单位阵，无非就是要把所有的偏振幅加起来。那么我们只要不使用$\mathcal{C}_n$，不把single trace算进去，也不是单个使用$\mathrm{PT}[\alpha]$，这样算出来的也只有一个偏振幅，而是使用$\sum_{\alpha\in S_{n-1}}\mathrm{PT}[\alpha]$。最终得到$\phi^4$的CHY被积函数为：

U(N) Non-Linear Sigma Model

这个理论可以用一个$N\times N$的（local的）幺正矩阵$\mathbf{U}$描述为¹⁶：

reshift场为：

$$ \begin{equation} \label{U} \mathbf{U}=\frac{\mathbf{1}+i\mathrm{~}\lambda\mathrm{~}\Phi}{\mathbf{1}-i\mathrm{~}\lambda\mathrm{~}\Phi} \end{equation} $$

利用公式：

变成文献里常见的形式：

最后一步是non-trivial的，可见Tree-level amplitudes in the nonlinear sigma model。其CHY被积函数如下：

Einstein–Maxwell–Scalar 理论

With Scalar

这是一个标量场光子和引力子的相互作用场论，所用量为：

其中$f(\phi)=\exp(-b\phi^2)$。这其实是一百年前的Kaluza-Klein理论，最早的额外维理论，试图统一电磁相互作用和引力相互作用，可以通过$D+1$维Einstein引力向$D$维约化得到，详情可见附录A。

考虑只有标量场外腿的振幅，其CHY被积函数为：

Without Scalar

这个时候理论称为Einstein-Maxwell理论，也是利用维数约化的思想，但是把额外维最后紧致化一下，也就是$\mathbb{R}^D\to\mathbb{R}^{D-1}\times S^1$的维数约化，作用量为：

CHY被积函数为：

还可以紧致化更多维数，$\mathbb{R}^D\to\mathbb{R}^{D-m}\times S^m$，得到更多味的光子，这时候CHY被积函数推广为：

和Einstein理论的关系

从物理本身上来想，这两个理论就天然的是微扰引力理论维数约化额外维紧致得到的，所以CHY被积函数应该也能直接通过Einstein引力的CHY形式紧致化得到。

Einstein引力最一般的CHY被积函数形式为：

这里有两个不同的极化矢量，所以我们可以考虑紧致化其中一个到external，还是两个都紧致化到external。

考虑$D$维到$d$维的紧致化，假设$\mathcal{E}$全部都是external的，那么显然$\text{ Pf’}\Psi_n({\tilde{\mathcal{E}}})\to\text{ Pf’}\Psi_n({\epsilon})$。然后现在让${\widetilde{\mathcal{E}}}$中分成两部分，一部分是引力子$h$（当然，你也可以是），这部分仍然保持external，另外一部分internal，这部分代表的不是前面一样的$m=D-d$个味道的scalar，而是多个味道的光子。然后是极化矢量部分，显然${\epsilon}$要多于${\tilde{\epsilon}}$，光子的极化矢量由${\epsilon}$中对应的部分提供，引力子的极化张量由${\epsilon}$和${\tilde{\epsilon}}$中对应的部分一起提供。按照前面熟悉的Pfaffian的维数约化方法，可以得到EM理论的CHY被积函数：

考虑$h=\varnothing$的特殊情况，这时退化到光子振幅部分：

同样，我们可以把另一个Pfaffian也进行紧致化，但是注意，这个时候不能任意去选取，第一步应该是先紧致化$\mathcal{E}’$得到EM理论，这个时候就得到了光子引力子相互作用，把${1,2,\ldots,n}$分成了$h\cup \gamma$，然后应该在$\gamma$对应的那部分里面，继续分出$s$来，将那部分$\mathcal{E}’$变成internal的，也就是说分割满足：

但是这也直接说明了EMS理论光子和Scalar有相同的味个数，毕竟都是$D-d$来的。对应的CHY被积函数可以表达为：¹⁷

考虑极限情况$h=\gamma=\varnothing$，这个时候退回到前面的标量振幅部分：

这些自洽性检验都能说明这一套方法的最基本的合理性。

(Dirac)–Born–Infeld 理论

考虑下面的BI和包含标量场的DBI理论：

有CHY被积函数：

$$ \begin{equation} \label{BI} \begin{gathered} \mathcal{I}_{\mathrm{BI}}=\ell^{n-2}\operatorname{Pf}^{\prime}\Psi(k,\tilde{\epsilon},\sigma)\operatorname{Pf}^{\prime}A(k,\sigma)^2 \\ \mathcal{I}_{\mathrm{DBI}}^{\text{pure scalar}}=\ell^{n-2}\operatorname{Pf}\mathcal{X}(\sigma)\operatorname{Pf'}A(k,\sigma)^3 \end{gathered} \end{equation} $$

上面的scalar角标表示只考虑纯标量场散射。我的记号比较随意，公式抄的都是论文里的，所以前面的被积函数省略了可以从量纲分析直接看出来的耦合常数项，这里没省略。

DBI理论约化到仅包含标量场：

和NLSM一样DBI的标量振幅也可以完全从拉氏量求出，这俩模型CHY形式的正确性也就顺而看出来了¹⁸。

YM理论紧致化之后得到YMS理论，只需要把被积函数包含极化矢量，也就是$\operatorname{Pf}’\Psi_n$的部分进行紧致化。类似的，DBI理论也是BI理论加个标量场，那么，根据\eqref{BI}，$\operatorname{Pf}^{\prime}A(k,\sigma)^2$不用变，只需要把$\operatorname{Pf}’\Psi_n$按照YM理论紧致化的方法一样紧致化一下就好了：

所有的那些符号定义都和YMS理论那里一致，唯一的区别是这个理论是个$U(1)$规范理论，所以不用胶子符号$g$，取而代之的是光子符号$\gamma$。

Special Galileon 理论

这个理论起源于修改引力理论里面对引力的红外效应修正，是一堆标量场的高阶导数耦合配上下面的伽利略对称性：

一般的伽利略理论可以用下面的拉氏量描述：

这个理论中有无穷多的独立的耦合参数可调，但是可以证明，$g_1$无论取何值，理论都不变，也就是振幅与$g_1$无关。

所谓特殊共形变换，实际上是去考虑上面理论的软极限。伽利略理论在单粒子软极限的时候会按照$\tau^2$的方式趋于0，特殊伽利略理论是一类特殊的且唯一的软极限情况下以$\tau^3$方式趋于0的理论，因为其有额外的Global对称性：

这里${s^\mu}_\mu=0$。加上这个对称性之后，理论剩下的可调参数就只有两个$g_1,g_2$，剩下的参数都是这俩的函数。$g_1$取啥都不改变这个理论本身，不妨取成0，得到：

代入前面的一般的Gal理论作用量就得到sGal理论的作用量。其CHY形式被积函数为：

Einstein–Yang–Mills 理论

前面我们用紧致化的方法完全搞清楚了EM理论，而EYM理论直观来看就是EM理论的非阿贝尔化，所以我们可以先从EM理论猜测一下如何得到EYM理论。

EYM理论是非阿贝尔规范场与引力理论的最小耦合：

这里考虑了宇宙学常数项，后面的讨论中取$\mathscr{L}_{\text{matter}}=\Lambda=0$。并且上面的作用量没有包括B-Field和Dilaton，但是后面导出的CHY形式是对这两者也适用的。

non-Abelian

利用Pfaffian的定义重写EM振幅，而且考虑$2t$个光子的散射，$a,b$标记完美匹配的一个对：

$$ \begin{equation} \label{EM} I_n^{\mathrm{EM}}=\sum_{\{a,b\}\in\mathrm{P.M.}(\gamma)}\delta^{I_{a_1},I_{b_1}}\cdots\delta^{I_{a_t},I_{b_t}}\left(\frac{\mathrm{sgn}(\{a,b\})}{\sigma_{a_1,b_1}\cdots\sigma_{a_t,b_t}}\operatorname{Pf}^{\prime}[\Psi_n]_{:\hat{\gamma}}(\{\tilde{\epsilon}\})\operatorname{Pf}^{\prime}\Psi_n(\{\epsilon\})\right) \end{equation} $$

其中${a,b}\equiv (a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots,a_t,b_t)$的意思是$\gamma$指标的那些完美匹配置换。注意到：

所以不难想到，$I_n^{\mathrm{EM}}$括号前面的那些$\delta$其实是EYM理论的振幅的“色因子部分”，我们只需要把$I_a$理解为胶子的色指标而不是$\gamma$的味指标就好，而且色因子结构非常特殊，是$t$个$\tr$：

$$ \begin{equation} \label{tr} \operatorname{tr}(T^{I_{a_{1}}}T^{I_{b_{1}}})\operatorname{tr}(T^{I_{a_{2}}}T^{I_{b_{2}}})\cdots\operatorname{tr}(T^{I_{a_{t}}}T^{I_{b_{t}}}) \end{equation} $$

和一般见到的single trace结构有很大的不同，实际上这应当看作是EYM理论只取abel部分，一般YM理论纯胶子散射振幅的色因子结构就是一个single trace，而我们还可以考虑费米子插入，其色因子结构大致会变成下面的样子：¹⁹

从费曼图上看就是费米传播子会把振幅分成很多个部分，每个部分涉及一堆胶子和两个费米子的散射，所以会出现一堆$T^a$和露在外面的费米子色指标$i,\alpha$。到了EYM振幅这边，同样的，但是这个时候引力子不是在规范群的表示下没有色指标，所以就没有指标露在外面，就自然变成了$\tr$。

感觉这里得分清一下色指标和味指标，QCD拉氏量可以简化写成下面的形式：

\[\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}}=\sum_{q}\bar{q}(\mathrm{i}\gamma^{\mu}D_{\mu}-m_{q})q-\frac{1}{4}G_{\mu\nu}^{a}G^{a\mu\nu},\quad q=u,d,s,c,b,t,\quad a=1,\cdots,8\]

这里$u,s,t,d,c,b$就是夸克$q$的味指标，他告诉我们自然界有多少种不同的夸克。进一步这里写的每一个$q$实际上不是单个场，而是一个三重态，也就是还有一个色指标，标记在规范变换下三重态的三个分量是怎么变的。

从费曼图上看，也就是说\eqref{EM}里的括号里面的实际上已经是EYM的偏振幅了，但是是偏振幅的Abel部分，也就是我们只考虑那些没有胶子三顶点四顶点相互作用，只考虑两个胶子和引力子的相互作用的贡献，这就是约化到Abel部分。为了把非阿贝尔部分拿进来，显然要做的事情就是往\eqref{tr}里面的trace每一项里面多加一些$T^a$。首先把\eqref{EM}改写为：

其中

$$ \begin{equation} \label{P} \mathcal{P}_{\{a,b\}}:=\mathrm{sgn}(\{a,b\})\sigma_{a_{1},b_{1}}\sigma_{a_{2},b_{2}}\cdots\sigma_{a_{t},b_{t}}\mathrm{~Pf}^{\prime}[\Psi_{n}]_{\mathrm{h},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\cdots,a_{t},b_{t}:\mathrm{h}} \end{equation} $$

这里把$\Psi$的Pfaffian的下标具体写出来了，后面会看到原因。不难发现前面的那些$\frac{\operatorname{tr}(T^{I_{a_{1}}}T^{I_{b_{1}}})}{\sigma_{a_{1},b_{1}}\sigma_{b_{1},a_{1}}}$就是PT因子：

在$s=2$的特殊情况。

注意相比前面$\mathcal{C}_n$，这里假定外腿更一般为${a_1,a_2,\ldots,a_s}$，而不一定为${1,2,\ldots,n}$

现在引入记号$\tr_i$表示色因子中第$i$个trace里面的胶子指标。$\mathrm{g}=\mathrm{tr}_1\cup\mathrm{tr}_2\cup\cdots\cup\mathrm{tr}_t$。看起来如果我们把$\frac{\operatorname{tr}(T^{I_{a_{1}}}T^{I_{b_{1}}})}{\sigma_{a_{1},b_{1}}\sigma_{b_{1},a_{1}}}$都替换为$\mathcal{C}_{\tr_i}$，就自然得到了正确的色因子结构。$\Psi_n$的Pfaffian不用变，他自然给出胶子的极化矢量贡献，还需要处理的就是引力子的极化矢量部分，他显然是藏在$\mathcal{P}_{\{a,b\}}$里面。

注意现在由于$\{a,b\}\subset\tr_i,\|\tr_i\|\neq 2$，所以$\mathcal{P}_{\{a,b\}}$不再是良定义的，因为你需要选取两个特殊的指标来计算，但这个公式没告诉我们怎么选。一个非常自然的想法是干脆每个$\tr_i$里面的每个$(a,b)$对我都求和一遍就好了。但是注意我们是对“对”求和，也就是说$(a,b)=(b,a)$，毕竟前面定义$\mathcal{P}_{\{a,b\}}$的时候也是按照完美匹配对“对”求和来定义的，所以下面的求和中有$a<b$，避免重复求和：

另外，注意到上面的式子中$a_t,b_t$依赖完全消失了，也就是说我们直接没管$\tr_t$，实际上是因为上式中我们用的不是\eqref{P}里面的reduced pfaffian，而直接就是pfaffian，reduced pfaffian带来一个$1/\sigma_{a,b}$消去了$\sigma_{a_t,b_t}$。而且删去了两行两列，可以证明如此定义和前面定义的一致性。这也是为什么前面求和号要写个$\sum’$而不是直接是$\sum$。

最终我们利用非abel化猜测得到EYM振幅的被积函数：

注意除了外线动量以外还需要额外的输入，就是这里我们实际上计算的是那些$g$被引力子传播子分成$\mathrm{tr}_1\cup\mathrm{tr}_2\cup\cdots\cup\mathrm{tr}_t$的费曼图贡献的振幅（$\tr_i$内部排序需要模掉一个轮换，$\tr_i$之间排序无所谓），真正的振幅应该是所有的分法全部加起来得到的振幅。另外还注意，我们是从具有$2t$个光子的CHY被积函数出发进行非阿贝尔化的，但实际上这里并不是说是有$2t$个胶子散射，而是说考虑有$t$个trace的振幅，散射中涉及到的胶子个数要大于$2t$，如果等于$2t$那就说明每个trace里面只有两个$T^a$，也就是只取了abel部分。然后注意这里$\mathcal{P}$里面的$\Psi$，还是只取g指标集里面的$a_1,b_1,\ldots,a_{t-1},b_{t-1}$这$2t-2$个指标，当然，由于前面有求和，所以实际上所有胶子指标都参与运算了（除了最后一个没多大关系）。

EYM振幅的色因子分解是一堆multi-trace，这些trace内部和trace之间的排序说明了EYM的分振幅可以用下面的形式表达：

做完非阿贝尔化的操作之后，光子的色指标变成了胶子的味指标。也就是说现在从$U(1)^M\toU(\tilde{N})$，对称群从$SO(M)$升级成更大的$U(\tilde{N})$群，double trace的振幅退回到Abel的EM振幅。

Squeezing

现在来引入一个新的对Pfaffian的操作来导出EYM理论，也就是Squeezing。下面我们从GR理论出发，而且是带dilaton和B-field的理论出发利用这一方法，对$\Psi(\tilde{\epsilon})$作用，$\Psi(\epsilon)$不变，来得到EYM理论。

首先考虑Single Trace的情况，${1,2,\ldots,r}$仍然是引力子，把${r+1,\ldots,n}$变成胶子。注意到$\Psi_n$是一个$2n\times 2n$的矩阵，其指标集用${1,2,\ldots,n:1,2,\ldots,n}$表示，用冒号分隔两个block。。

Step1: 把第一个block里面的${r+1,r+2,\ldots,n-1}$，行加到第一个blcok中的第$n$行。对列也如此操作，然后对第二个block同样这么操作一下。

Step2: 把两个block里面的${r+1,r+2,\ldots,n-1}$行和列都给扔掉，得到一个$2\left(r+1\right)\times2\left(r+1\right)$矩阵。得到的新的矩阵就像是原先的矩阵对$\mathrm{tr}_1={r+1,r+2,\ldots,n}$的行列被压缩成了一个。明显地写出来就是： 这里$h={1,2,\ldots,r}$。

Step3: 由于引力子变成了胶子，所以${\tilde{\epsilon}_a}$中胶子的那部分自然要扔掉，扔的过程就是：

\[\tilde{\epsilon}_a^\mu\to\sigma_ak_a^\mu \quad \forall a\in\mathrm{tr}_1=\{r+1,r+2,\ldots,n\}\]

这样得到的新的矩阵就叫做$\Pi(\mathrm{h};\mathrm{tr}_1)$。

Step4: 做完上面的所有这些之后进行下面的替换就好了：

\[\mathrm{Pf'}\Psi_n\longrightarrow\mathcal{C}_{\mathrm{tr}_1}\mathrm{Pf'}\Pi(\mathrm{h;tr}_1)\]

后面会解释$\Pi$的Pfaffian怎么定义，先来看下$\Pi$的具体形式： 上面这里用$\underline{1}$这个符号代替了原先的$n$，是为了方便后面向multi-trace振幅扩展。

上面的这个过程可以一直进行下去，比如两个trace的$\mathrm{tr}_{1}=\{r^{\prime}+1,\ldots,n\},\mathrm{tr}_{2}=\{r+1,\ldots,r^{\prime}\}$，著需要在前面Step4的基础上，把$r$换成$r'$，然后继续用上面的四个步骤从$h$中分出$\tr_2$用squeeze成为新的胶子，显然这个时候得到$2(r+2)\times 2(r+2)$的矩阵。类似的继续重复，就能得到$2(r+t)\times 2(r+t)$的矩阵$\Pi(h;\tr_1,\ldots,\tr_t)$。可以明显地写成：

这里$a,b\in h$是引力子指标，$i,j,i^{\prime},j^{\prime}\in{\mathrm{tr}}\equiv{\underline{1},\ldots,\underline{t}}$是压缩后的trace集合。注意上面总共有十二个小矩阵，我们都用$\Pi$或者$\widetilde{\Pi}$表示了，但实际上他们是不同的矩阵，其中八个可以用下式表达：

剩下的四个就是用$\Pi$的反对称性质就好了。但是要注意上面公式中下面一行，求和项中分母是可能等于0的，那时当作为0，也就是不对对角巷求和。

$\Pi$的约化Pfaffian的定义可以用他的kernel看出来，这里直接给出定义形式，以下的四种定义都是等价的：

这里下标$i,j^{\prime}\in{\underline{1},\ldots,\underline{t}},a,b\in{1,2,\ldots,r}=h$告诉我们删去$\Pi$的两行两列的指标范围²⁰。

最终得到EYM理论的CHY被积函数：

与前面我们利用非阿贝尔化猜出来的公式相比的正确性，可以从下式的证明中看到：

Lemma：

\[\mathrm{Pf'}\Pi(\mathrm{h};\mathrm{tr}_1,\mathrm{tr}_2,\ldots,\mathrm{tr}_t)={\sum_{\{a,b\}}}^{\prime}\mathcal{P}_{\{a,b\}}\]

纯纯的线性代数，我不是太想看证明，我已经相信它是对的了。

上面这个形式的CHY被积函数的优点是可以一目了然的看出$\tr_i$之间的置换不变性。

Some Special Cases

比如最简单的单迹情况，按照reduced Pfaffian的定义，我们可以直接把$\underline{1}$对应的两行两列给删掉，留下来的就是$\Psi$的引力子部分了，和纯YM以及纯GR的CHY被积函数很像：

还有一种极端情况是没有外线引力子，这个时候：

最简单的情况是$|\tr_1|=n$，这个时候色因子单迹，说明这时候不仅外线没有引力子，也没有内线引力子传播子。所以可以想象到，这个时候CHY形式应该退化到纯YM胶子振幅，事实也确实如此。

再比如double-trace的情况，根据：

得出CHY被积函数：

这里$(\sum_{c\in\mathrm{tr}_1}k_c)^2=s_{\mathrm{tr}_1}=s_{\mathrm{tr}_2}$。从这些式子也不能难看出EYM振幅特别难以计算，而且CHY形式也不能很好地简化计算量。

General YMS and Extended Dirac–Born–Infeld Theory

gen. YMS

继续用Squeezing的思想，只不现在不是从GR理论出发，假设从YM理论出发进行挤压操作。得到CHY被积函数：

多了一些标量味因子结构，由multi-trace构成，这导致和前面YMS的区别就是多了$\Phi^3$作用项：

这个理论可以看作是把前面的$U(N)\times U(\tilde{N})$群下的$\Phi^3$理论其中一个$U(\tilde{N})$ gauge一下。这里$f^\text{f}$就是在说$I,J,K$还是味指标，$f^\text{c}$就是在说$U(\tilde{N})$被gauge了，$\tilde{I},\tilde{J},\tilde{K}$升级为色指标。这里$\Phi$是处于bi-adjoint表示下的，所以$U(\tilde{N})$部分的色指标，我们用类似$A=A^a T^a$​的矩阵形式隐藏了。

ext. DBI

BI理论中还有个Pfaffian，尝试对他做挤压操作，结果为（省略耦合常数）：

在$h=\varnothing$且$|\tr_1|=n$，也就是取单迹部分的时候，理论退回到NLSM。还可以考虑偶数个标量散射，而且前面的味因子都是$\tr(T^aT^b)=\delta^{ab}$的形式，这正是类似EYM$\to$YM取Abel部分的操作，可以发现理论会退回到DBI理论。

这个理论的拉氏量有下面的形式：

其中$\mathbf{U}$由NLSM那里的\eqref{U}定义。$W$这一项定义为：

总结

这部分的核心就是在找不同的满足$SL(2,\mathbb{C})$协变性和置换不变性的CHY被积函数Block。构造标量场振幅，或者YMS理论的标量振幅部分的时候我们确实是这样，构造新的Block，比如$A,X,\mathcal{X},\cdots$。后面构造带胶子引力子散射振幅的时候，我们不是构造新的Block，而是引入了，compactify和squeeze ，对矢量粒子CHY被积函数的重要组成$\operatorname{Pf}’\Psi_n$进行操作。

非常非常有意思的一点是，从GR的CHY被积函数出发，用这两个操作，以及非阿贝尔化，取单迹部分这些自然的物理想法，可以构造出一堆理论之间的联系：

上面的图中还有“generalized compactification”这个操作。注意这张网不需要引入这个操作就能编织出所有的理论，我们只是引入这个操作来进一步把网编的密一些，对不同理论之间的联系给出更新的理解。上面的这个非常美妙的网最早出现在论文²¹中。

前面的紧致化方法，首先要选取$S\subset{1,2,\ldots,n}$，也就是决定哪些极化矢量紧致化到internal，产生多味标量场，紧致化为：

如果极端情况$S={1,2,\ldots,n}$：

这个紧致化是从任意维数$D$到$d$的约化，而且额外维数决定标量场的味个数，现在要讲的general compactification仅仅是$2d$到$d$维的约化，动量还是相同的约化方式，但是极化矢量全部约化为：

注意是全部约化，不是像前面一样先分成两个指标集，然后决定约化到internal还是external。这样$\Psi$会被约化为对角阵：

然后你除掉两行两列去计算Pfaffian会得到0，这时候就要新定义Pfaffian：

或者说，这个时候计算Pfaffian需要在前面一个block和后面一个block中分别去除两行两列，总共去掉四行四列。所以这个操作说简单点就是把$\Psi$的Pfaffian变成$A$的Pfaffian的平方。这三个操作的作用总结如下：

挤压操作里面又有两类特殊操作，一个是取$\mathsf{tr}_1{=}\{1{,}2{,}...,n\}$单迹，这个时候色因子就变成pure YM一样的简单PT因子形式；第二类是$\forall i,|\mathrm{tr}_i|=2$，这就是在取理论的Abel振幅部分。

最后还需注意，上面的网中没有包括EMS理论，这是因为前面说过，紧致化第一个GR的Pfaffian将一部分引力子变成光子，然后为了得到标量场，需要继续紧致化第二个Pfaffian，但是根据理论局域性的要求，第二个Pfaffian在紧致化的时候不能随便紧致化，必须要在已经变成光子的指标集里面选取一部分来紧致化，把光子进一步变成标量场。为了避免歧义，表明GR并不是随便两次紧致化可得到EMS理论，EMS理论没有包含在上面的网中。

CHY形式更详细的证明

n=3,n=4

这两种情形散射方程都只有一组解，而且只有MHV振幅，胶子散射的MHV可以写为：

文献²²把无质量QCD的$N^pMHV$振幅树图完全写出来了，放在这里感受一下：

里面的每个符号都很复杂，但是只需要知道，目前无质量QCD的树图计算已经不是问题，已经有MMA程序包可以做符号计算和数值计算。

n=3

这个情况下雅可比矩阵消三行三列的时候就直接消没了，所以无论你被积函数是啥，振幅都是$0$，或者是直接就是个与运动学无关的耦合常数，比如$\phi^3$理论。这一点根据三点的特殊运动学关系：

可以看出来的确如此。

n=4

虽然看起来计算非常简单，这只是因为只有一项需要求和。实际上就YM理论而言我们依旧需要计算一个$8\times 8$行列式的约化Pfaffian，也就是一个$6\times 6$的行列式计算。这过于麻烦，不过好在已经有很多CHY形式被积函数计算的相关MMA程序包可以直接调用。这里我们退而求其次，计算$\phi^3$理论的四点函数，这个时候被积函数只是两个PT因子，相较而言比较简单。

雅可比

色基

$\tilde{\mathbf{c}}$同样类似定义。

散射方程解

注意到这个时候散射方程只有一个解，而且散射方程的每个解都是有$SL(2,\mathbb{C})$冗余的，所以最后把解带进去只需要带$SL(2,\mathbb{C})$变换下等价的任意一组，最常见的选取就是把前面三个定成${0,1,\infty}$：

这里定义Mandelstam变量，$s_{12}=s,s_{23}=t,s_{13}=u$。

最终结果

这里$P\equiv(1324)$，最后一个等号利用了雅可比恒等式：

任意点

证明的思路就是树图的任意点振幅都可以用BCFW递推的方式用低点的振幅去构造，那么我们只需要证明CHY公式满足振幅的BCFW递推，联合上面的$n=3,4$的证明，证明就完成了。证明步骤follow文献²³。

但是需要注意，目前而言CHY被积函数不少理论只是猜想，但是数值和理论计算均表明其成立的希望非常大。不过GR、$\Phi^3$、YM(S)和EM(S)理论的正确性是毋庸置疑的。

附录A：Kaluza-Klein理论

有点懒得写了。。。其实没多少东西，蛮trivial的。。。

附录B：计算代数几何在CHY中的应用

主要参考文献arXiv:1509.04483²⁴。CHY形式出来之后围绕的技术分两波，一拨人研究怎么快速计算CHY被积函数，进而从中提取出有用信息，另外一拨人研究怎么高效计算散射方程。首先要明确，散射方程的一般解析解不可能找到，因为都是高次方程了，伽罗瓦告诉我们没一般求解公式了。

比如对于五点，散射方程在$z_1=\infty,z_2=1,z_5=0$的规范固定下等价于：²⁵

这把一个原先的分式方程变成了一个多项式系统，注意这很重要，因为计算代数几何处理的就是多项式系统。实际上不止对于五点，文献arXiv:1402.7374中说明了任意点的散射方程都等价于下面的多项式系统：

这里求和是对所有$A={1,2,\ldots,n}$中取$m$个数形成的子集$S$求和，总共$C_n^m$个。$k_S=\sum_{b\in S}k_b$，$z_S=\prod_{b\in S}z_b$。如果选取$z_1=\infty,z_2=1,z_n=0$的规范固定，上面的多项式系统变为：

注意，这个多项式的系数都是$s_ij$的有理多项式。关键点来了，这个多项式系统生成的理想是一个零维理想，因为我们都知道散射方程的解是$(n-3)!$个离散的点。第二我们并不关心散射方程的单个解，我们实际上关心的是下面的式子：

注意观察被积函数乘上FP行列式之后其实上面的式子有下面的形式：

这里$P,Q$都是关于$s_ij$的有理多项式。也就是说一个极为复杂的多项式系统生成了一堆解，但是我们对单个解并不关心，我们关系一个多项式分式在解集上的值只和。这就非常适合使用计算代数几何。假设前面的散射方程构成的零维理想为$I$，多项式环$R=\mathbb{C}[z_1,z_2,\ldots,z_n]$，考虑商环$R/I$，他继承了多项式的加法和数乘，所以实际上是$\mathbb{C}$上的线性空间，又由于他也继承了多项式的乘法，所以商环实际上是一个代数，那么$R$中每一个多项式$f$，也就对应$R/I$中一个函数类$[f]$，$[f]$作用在商环上的每一个元素就诱导出了商环的自同态，然而商环又可以看作是一个线性空间，所以在特定的基底下我们可以定义$[f]$对应的矩阵，叫做Companion Matrix。其中$[z_i]$对应的矩阵比较特殊记为$T_i$，因为其它的矩阵都可以用他们的多项式组合出来，也就是说$M[f(z_i)]=f(T_i)$

Stickelberger在十九世纪末就告诉我们下面的定理：

设 $I $ 为一个理想，其复数根 $z_i $构成伴随矩阵 $T_{i=1,\dots,n} $ 的同时特征值向量。即，对应的零维代数簇由以下形式的点构成：

\[\mathcal{V}(I) = \{ (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{C}^n \mid \exists v \in \mathbb{C}^n, \forall i, T_i v = \lambda_i v \}\]

翻译成人话就是下面的更紧凑的式子：

$r$是多项式的有理函数，$z_1,z_2,\ldots,z_N$表示$N$个解。也就是说我们现在不需要求解任何方程了，我们只需要计算出$T_i$，然后把矩阵代入到CHY被积函数里面求trace就好了！看起来似乎极大的简化了计算，其实并没有。。。完全输给同时期的其他一些技术。。。因为虽然上面的这些矩阵计算都是纯粹的线性代数的计算，而且计算代数几何有一套成熟的算法，但是也非常难算。

不过我们还是举一个五点$\phi^3$理论看下怎么运作的。回到附录一开始给出的式子，理想由$f_1,f_2$生成，第一步是计算Groebner基底，取$z_3\prec z_4$的字典序：

然后是计算$R/I$的基底，这个可以用$\mathrm{Singular}$的 kBase 命令求解，得到$\mathrm{B}={1,z_4}$。剩下的就是计算$z_3 B,z_4 B$在$GB(I)$上的 PolynomialReduce 从而得到伴随矩阵了：

然后代入CHY被积函数，

$z_3{\to}T_{z_3},z_4{\to}T_{z_4}$求trace，得到振幅。

值得注意的是，如果你直接去解散射方程，你得到的解长下面的样子：

其中：

丑的不能再丑了，而且解本身还不是Mandelstam的有理多项式，但是最后把这些解加起来得到的振幅居然是有理多项式，从代数几何这边可以很直观的看到因为有理系数多项式的理想构成商环上面的那些伴随矩阵矩阵元只能是有理的，所以最终求trace得到的结果必定是有理的。我认为这就是计算代数几何最大的魅力所在吧。。。