愚人节写一些拓扑场论，不过这部分Witten的文章还是太数学不是太好读，我只是掌握了大致的框架，具体细节还不是太明白。我就挑我明白的写。这其实不是我第一次接触拓扑场论，上学期我曾学过Witten著名的利用三维Chern-Simons理论计算Wilson圈从而得到扭结不变量的故事。这部分我觉得王宇晨学长有非常好的note👉https://yuchenw.blog/ 。我就不班门弄斧了。

什么是拓扑量子场论？

一般对场论定义，从拉氏量就能看出我们要求直到背景时空的静态时空几何信息，比如最平庸的Minkowski几何$\eta^{\mu\nu}$，那么自然最终算出来的物理量也是与几何有关，也就是说同一个拓扑流形上面赋予不同的几何结构，同一个场论计算结果是不同的。倘若我们能够不依赖于几何，或者说度规，直接凭空构造出一个拉氏量，那么最终计算结果自然只与背景流形的拓扑有关，所以我们就有希望利用场论去刻画背景流行的拓扑信息。这种从拉氏量本身来说就只和拓扑有关的TQFT我们称之为Schwarz形式的TQFT，比如下面的几个拉氏量：

  • BF理论：$S=\operatorname{tr}\int_MB\wedge F$，这个可以定义在任意维数，$F$是$G$-主丛联络上的2-形式曲率，$B$是$D-2$-形式背景场。比如二维YM理论通过引入辅助场$\phi$可以写成下面的形式，当背景流形的面积趋于0时是个BF拓扑场论。
\[S_{\mathrm{YM}}^{D=2}=\frac{1}{4g^2}\int_\Sigma d^2x\sqrt{g}\operatorname{tr}F^2=\frac{1}{2}\int_\Sigma\left(i\operatorname{tr}\boldsymbol{\phi}F+\frac{1}{2}g^2\operatorname{vol}(\Sigma)\operatorname{tr}\boldsymbol{\phi}^2\right)\]
  • Chern-Simons理论：$S_{CS}\sim\mathrm{tr}\int_MA\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A$，这里$A$是$G$-主丛上的联络。不难发现这个理论只能定义在李群上，后面对于离散群的推广得到的DW理论正是本文最后会介绍的内容。

还有一类理论数学家特别喜欢，虽然从拉氏量上看不是TQFT，但是由于类似BRST一样存在一个幂零的对称算符，会导致最终计算得到的关联函数依然是拓扑不变量，这类理论称为Witten形式的TQFT，由于本文作者对这一套理论目前不够熟悉，所以本文并不会过多提及。不过这类理论有个著名的例子是通过四维$\mathcal{N}=2$ SYM理论：

\[S_{\mathrm{YM}} = \frac{1}{g_{\mathrm{YM}}^2} \int d^{4}x \sqrt{g} \, \mathrm{tr} \left[ \frac{1}{2} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - \frac{1}{2} D^{IJ} D_{IJ} - 4 D_{\mu} \tilde{\phi} D^{\mu} \phi + 4 [\phi, \tilde{\phi}]^2 - 2i (\lambda^{I} \sigma^{\mu} D_{\mu} \tilde{\lambda}_{I}) - 2 (\lambda^{I} [\tilde{\phi}, \lambda_{I}]) + 2 (\tilde{\lambda}^{I} [\phi, \tilde{\lambda}_{I}])\right]\]

经过形变后可以得到Donaldson理论：

\[S=\int_{M_{4}}d^{4}x\sqrt{g}\operatorname{tr}\left[\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}\phi D_{\mu}D^{\mu}\bar{\phi}-i\eta D_{\mu}\psi^{\mu}+i(D_{\mu}\psi_{\nu})\chi^{\mu\nu}-\frac{i}{8}\phi[\chi_{\mu\nu},\chi^{\mu\nu}]\\-\frac{i}{2}\bar{\phi}[\psi_{\mu},\psi^{\mu}]-\frac{i}{2}\phi[\eta,\eta]-\frac{1}{8}[\phi,\bar{\phi}]^{2}\right]\]

这个东东在低维拓扑的研究中极其重要，Donaldson有一本关于四维流形的著名书籍The Geometry of Four-Manifold就有关这个。上面的这一套都是物理学家喜欢的语言，因为最终都要回到如何用路径积分计算关联函数从而给出可观测量，显然目前来看这并不是数学严格的做法。这一套基于拉格朗日量的做法是物理文章中对TQFT讨论用的多的。但是TQFT从数学上来说其实可以提炼成一套公理化体系来研究。让我们结合数学家所缺乏的物理直观来介绍这一套数学公理体系。

来自路径积分的Motivation

考虑$n$维TQFT，也就是说时空是$n$维的，让我们对时空进行分层，类似CFT中的径向量子化，将时空切成一系列类空$n-1$维闭流形1。量子化就是在每个闭流形上赋予一个希尔伯特空间$\mathcal{H}$，其中的向量就是量子态，对于空流形我们自然期望不存在量子态，所以$\mathcal{H}(\empty)=\mathbb{K}$2。而连接两个闭流形$M,N$会扫过一个“世界体”，用数学的话讲就是给了两个闭流形一个配边$E:M\Rightarrow N$。这里我们讲配边讲的是拓扑等价类，从物理上看，我们最终要对所有路径求和，每个配边都会给出$\mathcal{H}(M)\times\mathcal{H}(N)\to\mathbb{K}$的映射：

\[\mathcal{A}(E) = \int_{\phi\in\mathcal{H}(M)}^{\psi\in\mathcal{H}(N)} D\Phi\mathrm{e}^{-S[\Phi]}\]

也就是散射振幅，而且拓扑场论的拓扑性质保证了$\mathcal{A}$确实只和配边属于哪个拓扑等价类有关。用数学的话说这其实是把任何$n$维带边流形$E$看作$\partial E\rightarrow\empty$的配边，告诉我们$\mathcal{H}(\partial E)\to\mathbb{K}$的映射，而且量子力学的线性叠加原理让我们期望这还是一个线性映射。而且从多粒子波函数的角度看我们期望$\mathcal{H}(M_1\sqcup M_2)=\mathcal{H}(M_1)\otimes\mathcal{H}(M_2)$。

从范畴论的角度看实际上上面的TQFT量子化其实给了一个对称幺半“函子”，$\mathcal{Y}:\mathsf{Cob}_n\to \mathsf{Hilb}$。

  • $n$维配边范畴的对象是一个$n-1$维闭流形，$\mathcal{Y}$给对应到了$\mathcal{H}$，而且空流形给到$\mathbb{K}$
  • $n$维配边范畴的态射是配边，$\mathcal{Y}$给对应到了$\mathsf{Hilb}$之间的线性映射，但是注意目前为止只对$\partial E\rightarrow\empty$形式的配边我们给出了定义3，所以$\mathcal{Y}$目前严格来说只是$\mathsf{Cob}_n$的全子范畴上的一个函子
  • 另外幺半性来源于$\mathcal{H}(M_1\sqcup M_2)=\mathcal{H}(M_1)\otimes\mathcal{H}(M_2)$，保张量积结构，当然从范畴上说“$=$”过于强烈，可以放宽到差个同构$\cong$。对称更简单，因为无论是$\sqcup$还是$\otimes$都是可交换的

但是我们还没有完全说完所有的物理限制，配边有个非常重要的特例是对

数学家的公理化总结

数学上可以证明，上面的$\mathcal{Y}$实际上可以唯一延拓到整个$\mathsf{Cob}_n$作为一个对称幺半函子$\mathcal{Z}$，这个函子满足下面的Atiyah公理，这些公理完全刻画了一个拓扑量子场论，所以拓扑量子场论无非就是$\mathsf{Cob}_n\to \mathsf{Hilb}$上的函子：

Atiyah公理

类似于我们利用基本群、同调群构建拓扑到代数结构上的函子，TQFT则是构建了配边这个拓扑对象到线性空间上的函子。而且这种做法还可以推广，在数学上配边不仅仅只有拓扑配边，还可以考虑带各种各样几何结构的配边，如果我们继续构建到希尔伯特空间上的函子，就可以得到各式各样的量子场论。比如配边如果带的是共形结构，配边等价类指的是共性等价，那么得到的就是共形量子场论。当然这只是数学屁话，物理学家真正做共形场论不会用这一套语言，但是由于TQFT更多在数学上有妙用，所以Atiyah公理这一套很重要。从公理形式不难看出，这一套公理就像是在哈密顿体系下做事情，比如明显地对配边的理解，在Atiyah公理下被看作是量子态的演化，这明显就有哈密顿动力学的意味。而路径积分和哈密顿这两套体系在范畴的意义下竟然是等价的！$\mathcal{Y}\cong\mathcal{Z}$。4

一些基本的推论

本文主要还是我作为物理系学生的观点，而且我并不太爱证明，很长的证明我一般习惯抓住重点之后赶紧略过，所以后面我会更加强调几何直观和物理直觉。

$D\leq3$的拓扑量子场论

这一节开始你会看到大量的图片，如果我忘记画的请自行脑部。。。。因为对我来说这很难画。。。。。

一维拓扑量子场论

二维拓扑量子场论

三维拓扑量子场论

具体的模型

Chern-Simons模型

这个模型的作用量如下：5

\[S_{CS}=\frac{k}{4\pi}\mathrm{tr}\int_MA\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A\]

底流形$M$是某个三维流形，$A$是在某个李代数中取值的，而且如果要求上式良定义需要G主丛是平凡的，后面DW理论我们会考虑G是离散群情况下的Chern-Simons理论推广。现在我们就假设李群是单紧连通李代数，常见的$SO(n),SU(n)$这些群。另外注意到这里还有个$k$有关的系数，这个系数其实是十分重要的，并非单纯的归一化常数，可以证明量子化自洽的Chern-Simons理论要求这个$k\in\mathbb{Z}$，一个Chern-Simons理论就可以用李群$G$和整数$k$给出，记作$G_k$。

还有一个有意思但在这里的讨论并不重要的点，从定义上看Chern-Simons理论是个规范场论，是有规范冗余的：

\[A_\mu\to U^{-1}A_\mu U+U^{-1}\partial_\mu U,\quad U\in G\]

naive你会认为规范变换后作用量不变，但实际上会变：

\[S_{CS}\to S_{CS}+2\pi\nu k\] \[\nu=\frac{1}{24\pi^2}\int_{\mathcal{M}}d^3x\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\mathrm{Tr}\left[(U^{-1}\partial_\alpha U)(U^{-1}\partial_\beta U)(U^{-1}\partial_\gamma U)\right]\]

这个$\nu$在数学上叫做Pontryagin指标，神奇的是对于任意流形这一定是个整数！最终从相位上看规范变换依旧不会改变CS理论。

前面讲拓扑序的那篇文章里面最后提到了Chern-Simons理论对应的拓扑序，那里给人感觉很抽象，但是现在可以直接在Chern-Simons理论中计算这些量，比如我考虑一个Wilson loop，其一般形式如下：

\[W_{L,j}=\mathrm{Tr}\left[P\exp\left(\oint_Ldl^\mu A^a_\mu T^a_j\right)\right]\]

下标$j$表示我们考虑的表示，比如$SU(2)$理论就可以有$=0,\frac12,\ldots,\frac k 2$，也就是$SU(2)$的自旋表示，不同的表示就像是在考虑这个理论中不同种类的粒子。那么一个Wilson loop可以理解成$j$自旋的粒子产生，原来的地方自然留下了一个空穴，然后他们又交汇相互湮灭回到真空。让我们看一下quantum dimension的定义：

\[\dim(x):=\sqrt{(b_x^\dagger\circ b_x)\cdot(d_x\circ d_x^\dagger)}\]

这不就是在说真空产生粒子和空穴然后相互湮灭这件事情么？所以可以从Chern-Simons理论直接出发计算Wilson loop得到里面准粒子激发的性质，比如文献https://doi.org/10.1103/RevModPhys.80.1083 。

更牛逼的地方在于Chern-Simons理论帮助Witten拿到了菲尔兹奖，考虑$S^3$上的Chern-Simons理论，那么上面的Wilson loop在拓扑场论的意义下显然就是$S^1\hookrightarrow S^3$的嵌入，这不就是一个扭结么？！所以如果我们计算Wilson loop，他的拓扑是非平庸的，不是Unknot，那按理来说应当会给我们扭结不变量，当有更多Wilson loop被包含进来时计算的就是链环不变量：

\[\text{Knot Invariant}=\frac{Z(S^3,L_1,L_2)}{Z(S^3)}=\frac{\int_{S^3}\mathcal{D}a_\mu(x)W_{L_1}W_{L_2}e^{iS_{CS}}}{\int_{S^3}\mathcal{D}a_\mu(x)e^{iS_{CS}}}\]

强如Witten考虑了$SU(2)_k$理论，且所有的Wilson loop都取$\frac12$自旋表示的情况（也就是$T^a$是海森堡矩阵的情况）。发现最终得到的扭结不变量给出的Skein Relation得到的就是Jones多项式！6话虽这么说，真正想计算这一点其实是非常subtle且highly non-trivial的，详细的可以去看Witten原文以及Yuchen Wang学长的讲义。

你可以考虑不同的$G$以及不同的表示去构造更多扭结不变量，所以这就是为什么数学家也非常重视TQFT。当然，这只是我们物理学家的算法，用路径积分这一套数学家肯定无法理解且无法接受，但是正如本篇开篇所讲，这种拉格朗日量形式的TQFT总是可以翻译为Atiyah公理，只要我们在物理上给出Atiyah公理中的那些input data，那么后面的计算数学家就是能接受的。

Dijkgraaf-Witten模型

参考

  1. 为什么要求闭流形或许有些不理解，当你考虑所谓extended TQFT是其实可以要求这个是带边流形。从物理上看，闭的要求就是我们考虑物理态都生活在同一个维度的流形上，仅此而已。 ↩

  2. 虽然物理上都默认考虑复数域，不过本篇全部考虑一般的数域$\mathbb{K}$。 ↩

  3. 当然，如果你的物理直觉比较好你应该立刻觉得$\mathcal{H}(\bar E) = \mathcal{H}(E)^*$，而配边和流形定向有很大关联，所以照理说振幅其实已经给出了所有配边对应的$\mathcal{Y}$。不过我打算这部分更加数学严格一些。 ↩

  4. 从这点上看我又越来越相信范畴论不只是抽象的数学黑话了，在一些地方还是出奇的有用 ↩

  5. 熟悉量子场论的同学可能会发现这个很像Yang-mills场论中的$\theta$项$\mathcal{L}\theta\equiv\frac{\mathfrak{g}^2\theta}{32\pi^2}\epsilon{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{~tr~}(F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma})\sim\operatorname{tr} \mathbf{F}\wedge \mathbf{F}\sim d\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}\wedge\mathbf{F}+\frac{1}{3}\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\right)\right)$，只是少了个求外微分 ↩

  6. 以$q=\exp(i\pi/(2(k+2))$为宗量 ↩

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