在download页面上我上传了相关的手写笔记，这部分内容我学过两遍，一遍是Tong非常物理的讲法，一遍就是听的b站上毛子的一个网课，非常数学的讲法。我这里就按照非常数学的讲法快速把Witten四十年前的想法捋一下。

注意，全篇充斥着“不难发现”、“注意到”等词汇，并不代表你去验证是不难的，但是它们确实是直接的。如果你只是想稍微了解一下Witten的奇思妙想，不必详细弄清具体细节证明。

首先，参考的视频的第一节课如下：

其实这个视频我大二的时候就放在收藏夹了，最近才下定决心完全看完，教授讲的真的挺好的，全程板书而且不带看讲稿的。也感谢搬运字幕君的努力，不然我不可能听得懂俄语课堂。顺带一提，这个教授的父亲是大名鼎鼎的沙发列维奇。

振子近似定理

众所周知$D$维谐振子的波函数和能量谱如下：

这个波函数的具体形式并不重要，后面我们将集中于其半经典近似，所以我们关注其与$\hbar$之间的渐进行为，所以我们把$\psi$重新写成下面的形式：

而且$f_m$在$\xi\to\pm\infty$是以$e$指数趋近于0的，所以比任意阶都要快。现在考虑一个一般的$D$维哈密顿量：

在某一个极值点附近可以将其泰勒展开近似为谐振子：

这无非就是一个谐振子但基态做了个shift，谐振子的角频率由Hessian矩阵的本征值给出，所以其本征值和本征能量和前面对谐振子写出的都一样。当然，我们这里考虑的其实是极小值点，因为这个时候Hessian矩阵才是正定的，否则是反谐振子。为了后面叙述方便，我们假设$x_0=0$，一般情况只需要把$x$换成$x-x_0$即可。下面证明一个泛函分析上的引理：

设$W(x)\in C^\infty$，且$|x|\to\infty$时增速不超过多项式速度，且$x\to 0$时$W(x)=\mathcal{O}(|x|^s)$，则$|W(x)\psi_m| = \mathcal{O}(\hbar^{s/2})$

我们关注的是$\hbar\to 0$的准经典近似情况，证明只需要注意到$f_m$在自变量很大时按照指数趋近于零，所以可以用鞍点近似，有下面的等式：

利用这个引理可以得到局部振子近似定理，这个定理其实就是在做鞍点近似，告诉我们在准经典极限下，$H$的谱可以用$H_0$的谱去近似：

设$x_0=0$是$V(x)$的非退化极小值点，且假设$V(x)\in L^2$在无穷远处增长不大于多项式函数，$\psi_m^0$记为$H_0$本征值，那么$|(H-H_0)\psi^0_m | = \mathcal{O}(\hbar^3/2)$

证明非常简单，泰勒展开的余项$W=H-H_0$在$x_0$附近是一个三次项，所以直接用引理就证明了这一点。这个定理告诉我们波函数用$\psi^0_m$去近似在准经典极限下良好，所以谱也可以用$H_0$的谱近似：

$\forall m,\exists\lambda\in\sigma (H)\Rightarrow |\lambda-E_m|=\mathcal{O}(\hbar^{3/2})$

这里$\sigma(H)$表示$H$的谱，证明这个推论需要一些泛函分析知识：

如果$H$自伴随（厄米）则$|(H-E)^{-1}|=\frac{1}{E}$，这里$d(E)$表示$E$和$\sigma(H)$之间的距离

总之，振子近似定理告诉我们虽然只看极值点的二阶展开得到的谱不是谱，但是可以在$\hbar\sim 0$处良好的近似原哈密顿量的谱，我们称为$\hbar^{3/2}$伪谱。

这玩意儿只是一个局部的版本，如果我们知道的不光是某一个极小值点的信息，而是全部$N$个的伪谱，那其实条件会更强：

假设$V$有$N$个非退化极小值点${x_0^k}$，每个附近的振子近似给出一个伪谱$E_m^k$，这里$k$标记极值点，$m$是量子数，如果$V\to V_0$只会在某个紧集上成立，也就是说不能在无穷远处$V$趋近于他的极小值，那么任取$M$，在$\hbar$足够小时，至少存在$M$个$H$的本征值有：

\[|\lambda_s - \mathcal{E}^s_0|\sim\mathcal{O}(\hbar^3/2),\quad s=1,\ldots, M\]

这里$\hbar$具体要多小和$M$有关，这里$\lambda^s$是$\sigma(H)$记重数升序排列，$\mathcal{E}^s_0$是{E_m^k}$这些所有的伪谱记重数升序排列。

这个定理告诉我们可以用谐振子去近似最低能态，这是后面证明Morse定理的基本出发点，我们其实就会去用这个定理去数基态的个数。所以可以看到我们无非是在玩鞍点近似，你去看Tong的讲义他也是在玩这个，就是写的更加物理一点，并非Lemma-Theorem-Proof的数学家独有的写作风格。

一些数学上的记号约定、

众所周知物理人的微分几何是广义相对论（天文学）老师教的，所以我有必要澄清一下后面使用到的记号，额，只是澄清，所以不会说定义证明来历之类的，这些东西陈省身书上都有。

首先就是后面讲外微分形式的内积分两种，一种是某个点上的，这种我们用尖括号表示，因为流形上整体的微分形式都是局部余切丛粘起来之后的光滑截面。回忆黎曼几何引入度量其实就是在切空间上引入了一个内积，自然根据里斯表示定理也会导致余切空间上有个内积：

把这一定义推广到$k$外形式空间，而不是一形式的余切空间即为：

还有一种内积就是全局的，顾名思义就是局部内积之后积分一下，为了不依赖于坐标卡需要和体积形式乘一下消去Jacobi，这种我们用圆括号表示：

这个被积函数其实就是$\alpha\wedge\star\beta$，这里$\star$是Hodge星算子：

这个内积顶一下可以考虑$d$的共轭算子$d^\dagger:\Lambda^p(M)\to\Lambda^{p-1}(M)$，其实有下面的等式：

定义如下的Laplace-Beltrami算子：

这个算子有两个性质后面会用到：

$\ker\mathcal{D}\cong H^k(M;\mathbb{R})$

这里$H^k$是de Rham上同调，这个性质写一个不严谨的证明。考虑$\mathcal{D}:\Omega^k\to\Omega^k$上的算子，首先注意到$\mathcal{D}$自伴随，所以：

这也就是说$\forall\omega\in Z^k\subset\Omega^k$，有$\omega=\omega_0+\mathcal{D}\alpha$的分解，其中$\mathcal{D}\omega_0 = 0$。取$\phi:Z^k\to\ker\mathcal{D}$，使得$\phi(\omega)=\phi(\omega_0)$，下面要证明两件事情：$\operatorname{im}\phi =\ker\mathcal{D}$且$B^k = \ker{\phi}$。

第一个满性不难证明，因为$\forall \omega\in\ker\mathcal{D}$，$\phi(\omega_0) = \omega_0$。第二条根据$\omega\in Z^k$做如下推导：

这里第一行利用了$\mathcal{D}\omega_0 = 0\Rightarrow d\omega_0=d^\dagger \omega_0 = 0$。那显然如果$\omega\in\ker\phi$，则$\omega_0=0$，立刻得到$\omega =d\beta\in B^k$。反过来如果$\omega\in B^k$，则：

证明完毕，不严谨的地方在于证明的第一个“注意到”，\ref{1}其实是非常不显然的，因为$\mathcal{D}$是一个无限维空间中的算子，和有限维大不一样。

第二个要用到的性质是在平坦度规下$\mathcal{D}$退化为$\Delta$，所以有希望作为谐振子的动能项出现，这个定理就是暴算，这里不证了：

$g_{ij}=\delta_{ij}$时有：

\[\mathcal{D}\left(a(x)\bigwedge dx\right) = -\Delta a(x) \bigwedge dx\]

Witten算子

Witten的聪明之处在于他对$d$做了一个形变，考虑Morse函数$f$，也就是流形上取值为$\mathbb{R}$且所有极值点都是非退化极值点¹的函数：

\[\begin{gathered} d_f:=\mathrm{e}^{-f/\hbar} d \mathrm{e}^{f/\hbar},\quad d_f^\dagger:=\mathrm{e}^{f/\hbar} d^\dagger \mathrm{e}^{-f/\hbar}\\ \end{gathered}\]

这个形变的重点在于他不会改变上同调，也就是说：

证明直接带定义验算就好了，从物理上想就是对算符做了一个变换，为此波函数空间要变换为$e^{-f/\hbar}\psi$。但是对$\ker$和$\operatorname{im}$都做了一个变换，模掉之后上同调是不变的。

同理用这个形变之后的算符$d_f$去定义$\mathcal{D}_f$，得到Witten算子：

由于这个$d_f$形变不改变上同调，所以不难想到：

依旧类似$\mathcal{D}$成立，证明是平凡的²。这里我们把Witten算子用$H$表示，明牌了要用它作为哈密顿量，但是请注意，一般的哈密顿量都是$L^2$空间的算符，这里作用的是$\Omega$外微分形式空间，所以和量子力学里面看起来有些不一样，但是是等价的，我说过我这篇文章重点是数学上的讲法，你如果去看Tong的讲义他会告诉你波函数是如何与外形式等价起来的，非常物理的讲法，其实就是费米子波函数是全反对称的对应奇数外形式，玻色子波函数是全对称的，对应偶数外形式。这一点我们后面还会提到。

现在来看一下$H$和$\mathcal{D}$³之间的关系，注意这俩都是局部的算子，内积用的是尖括号那种：

\[H = \frac{\hbar^2}{2}\mathcal{D}+\frac{1}{2}\langle df,df\rangle+\hbar R\]

其中：

\[\begin{gathered} R:=\frac{1}{2}\left(\mathcal{K}_f d^\dagger+\mathcal{K}_f^\dagger d + d^\dagger\mathcal{K}_f + d\mathcal{K}_f^\dagger\right)\\ \mathcal{K}_f\alpha:=df\wedge\alpha,\quad \mathcal{K}_i\alpha:=dx_i\wedge\alpha\Rightarrow\mathcal{K}_f = \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathcal{K}_i\\ \mathcal{K}_i^\dagger\alpha = \sum_s (-1)^{s-1} g^{j i_s} dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge \hat{dx_{i_s}}\cdots\wedge dx_{i_k},\quad \alpha:=\bigwedge_{j=1}^kdx_{i_{j}}\\ \mathcal{K}_f^\dagger = \sum_i\mathcal{K}_i^\dagger\frac{\partial f}{\partial x_i} \end{gathered}\]

这里$\hat{\bullet}$是消失帽

上面的每一句话证明都是非平凡的，但是是直接的，只需要一步步计算就好了，我的手写笔记里面有完整计算，这里我不打算进行证明，只打算做一些argue，因为这些计算都不是证明的核心，完全可以假定成立，毕竟这些计算相比于广义相对论里面的微分几何计算都是幼儿园水平。

首先上面对$\mathcal{K}$的定义只是对局部定义，或者说是在某一点处定义的，和$d$不同，这些算符是不包含微分的线性算符，这里不包含微分的意思是如果$\alpha$是一个张量丛上截面，比如$fdx$，那么你把$\mathcal{K}$作用上去可以把$f$直接提到外面去，也就是说不会像$d$一样你还会出现$df$这种项。这里$R$有个很重要的性质就是不包含微分，虽然从定义上看会有$d,d^\dagger$这些，但实质上不包含微分，就是个一般的线性算符，或者说一个矩阵，这一点很重要，这使得$R$作为$V_0$这种“常数项有所可能”。

另一个比较重要但是我这里也不会验算的式子是在局部平坦坐标系下，有：

具体计算在我的手写笔记里面都有。

弱Morse不等式

证明Morse定理的第一步和数学上的是一样的，需要用到Morse引理，这个可以在Milnor那本Morse理论的书中开头找到：⁴

总存在局部坐标${x_i}$，使得$f$在临界点$x_0$处：

\[f(x) = f(x_0) + \sum_{i=1}^n \epsilon_i x_i^2, $\epsilon_i=\pm 1$\]

且$f$在$x_0$处的指数，也就是Hessian矩阵的负惯性系数的个数等于$\epsilon_i=-1$的个数。

这个定理告诉我们总是可以选取一个坐标把Morse函数截断到二阶（谐振子）。那么我们可以在每个临界点附近都取这种chart $U_i$，而且由于临界点是孤立的，所以这些chart可以相互不交，并且在这些chart上定义度规使得

微分流形最好的性质就是存在单位分解，所以这样定义的度规实际上是可以延拓到整个流形上定义的，前面有说过平坦度规下$\mathcal{D}$是拉普拉斯算子，所以在每个临界点附近的这种chart上，Witten算子都有如下形式：

前面两项就是个标准的谐振子，而且是各向同性的，$\omega = 2$。现在来具体看一下$R$项，我们说过这一项是没有微分的，所以他其实就是一个$\Omega^k$里面的矩阵，我们不妨假设$\alpha$是其在临界点处（即$R(0)$）的本征值为$\mu$的本征矢。我们来仿照给一个Witten算符的振子近似定理，也就是说$E_n+\hbar\mu$是$H$的$\hbar^{3/2}$伪谱，这里$E_n$就是谐振子的谱。

证明并不复杂，我们取试探波函数为：

我们试图用这个来近似Witten算符的本征矢⁵：

注意这里我们其实用了$R$中无微分让他只作用于$\alpha$上，因为前面的厄米多项式总可以提出去。然后注意到$R(x)-R(0)$在$0$处至少是一阶零点，直接说明余项是$\mathcal{O}(\hbar^{1/2}\hbar = \mathcal{O}(\hbar^{3/2})$。不过我们不需要这么强的条件，我们后面只需要知道余项随着$\hbar\to 0$不会慢于$\Omega(\hbar)$就好了。⁶

同样可以有全局振子近似定理：⁷

考虑在每个临界点处的Morse坐标下展开Witten算子，其伪谱为：

\[E_n^{(s)} = \sum_{j=1}^d\hbar\omega_j^{(s)}\left(n_j^{(s)} + \frac{1}{2})\right)+\mu^{(s)}\]

注意这里每一个临界点处当然可以有很多个不同的$\mu$，后面我们会把他具体算出来，把伪谱记重数从低往高排列得到$\mathcal{E}^{(j)}$，而Witten算子的精确的本征值记重数从低往高排列成$\lambda_j$，那么任取$M$，存在$\hbar$使得下式对至少$j\leq M$成立：

\[\lambda_j = \mathcal{E}^{(j)} + \mathcal{O}(\hbar)\]

现在具体求$\mu$的取值，假设$f$在$p$处的指标为$m$，不失一般性，假设$\epsilon$前$m$个取值是$-1$，后面谈到$R$，除非特殊指名都是在说$R(0)$。取：

利用$\mathcal{K}$的定义不难得到：

联合这俩式子立刻得到$\mu$的显示表达式：

这里$\bar{\bullet}$的意思表示对指标全集${1,2,\ldots,k}$取补集。非常非常凑巧对吧，在这个${x_i}$局部坐标下，其对应的外形式的基底也刚好把$R$对角化了。那么现在对于伪谱我们有两个量子数，一个是$n$，也就是谐振子的量子数，一个是$\alpha$的指标集$\mathcal{I}$，而且这俩的取值还是互相独立的。

所谓弱Morse不等式：

这里$M_k$表示$f$的指数为$m=k$的临界点的个数。而Witten算子有个很重要的性质是：⁸

也就是说我们需要去找Witten算子的基态（$0$本征值的）个数。观察伪谱：

显然我们需要寄希望于$n=0$且$\mathcal{I}=\mathcal{J}$，同时这个时候$\mu$取最小可能值$-n$。考察$\Omega^k$空间，对于某个临界点如果$m\neq k$，这种情况下肯定不会发生$\mathcal{I} = \mathcal{J}$，所以对$\ker H$没贡献，另一方面如果$m=k$，这个时候有且只有一种可能的$\alpha$使得$\mathcal{I}=\mathcal{J}$。也就是说伪谱为$0$的本征值的个数就等于$M_k$，剩下的谱根据前面的分析肯定是大于零的，既然这是伪谱，根据全局振子近似定理，那自然后面的谱更加不为$0$，前面的谱有可能会受到修正偏离$0$，所以$\dim\ker H\leq M_k$，但是前面又说了左边就是$b_k$，所以Morse弱不等式得证。

强Morse不等式与指标定理

为了证明这个需要给数学家讲点超对称量子力学。这玩意儿在量子场论中或许很复杂，但是在量子力学中就是要求$H$可以写成下面的形式：

然后Tong就会告诉你$Q$和$Q^\dagger$就会用来联系费米子和玻色子云云，这里我打算遵循Witten原始论文的思路来讲，其实是一样的，核心就是$\Omega$有个自然的分次，偶数和奇数外形式，因为众所周知两者的$\wedge$是完全不同的行为，一个交换会出来个负号，一个则不会，所以就很类似超对称里面的玻色子和费米子分次希尔伯特空间。那么类似上面的公式，核心就是去找$H$的“平方根”：

设$\Omega^+$是所有偶形式空间直和，$\Omega^-$是所有奇形式空间直和。显然$T$会把一个偶（奇）形式分解成两个奇（偶）形式加起来。前面说了$H$有$b_k$个基态，有$M_k$个伪谱基态，那么有$M_k-b_k$个伪谱基态，但是会受到$\mathcal{O}(\hbar)$的修正变成激发态。这些激发态张成一个子空间记作$\mathcal{M}^k$。这个子空间的特点是$H$的作用下是$\mathcal{O}(\hbar)$的(而且在$\hbar\neq 0$时绝对不是$0$)，而剩下的伪谱激发态，在$H$的作用下会出来$\mathcal{O}(\hbar^0)$的项。

由于$[T,H]=0$，那么$\forall \ket{a}\in\mathcal{M}^k$有：

这说明$\mathcal{M}^k$在$T$的作用下不变？对了但没完全对，因为要注意$T$作用之后从$k$形式变成$k+1$和$k-1$形式的和了，所以实际上应该是：

而且这是个单射，否则$\exists\ket{a}\in\ker T$，使得$T^2\ket{a} = H\ket{a} = 0 \neq\mathcal{O}(\hbar)$，做如下定义：

$T$把$\mathcal{M}^\pm$映射为$\mathcal{M}^{\mp}$，而且$T$在两边映射下都是无核的，线性代数立刻告诉我们这意味着$T$是同构！这立刻得到：

稍作整理就是Morse指标定理：

最后再考虑：

这里假设$k$是偶数，显然

但是注意这个时候$T$是单向的，除非$k=d$（先假设$d$是偶数），这意味着虽然$T$是单的没有丢失$\mathcal{M}^+_k$的信息，但可能没有完整映射到$\mathcal{M}^-_k$，也就是说：

按照证明指标定理那样去做，直接得到$k$为偶数时的强Morse不等式：

对于$k$是奇数的情况也可以一样的去做，总之，我们用量子力学的技术证明了Morse定理。

一些讨论

这部分最好的参考资料就是Milnor的书，那本书的起点很低，另外姜伯驹的同调论上也有一小节讨论了这一点。首先Morse定理在CW复形上有个把Morse函数的指数为$q$的临界点个数$m_q$换成$q$维胞腔的版本。这个的证明基本上是白给的，用一些胞腔同调的基本技术，分析正合列就能给出了，姜的书上给了一个很简短的证明。而流形都是可以CW逼近的，而对Morse函数的临界点所提的Morse不等式这些的证明实际上就是对每个Morse函数都可以用来构建一个CW剖分，而且最终剖分的结果是$m_q$恰好等于$q$维胞腔的个数，也就是说指数为$q$的临界点和$q$维胞腔有个一一对应。这样就证明了Morse定理，详细的构造过程在Milnor的书里面有，我计划之后详细看一下Milnor那本书，毕竟这是拓扑里面非常深刻的内容，把局部的性质和整体的性质联系在了一起。

另外提一下物理上的思考，从物理上看，这个量子力学的证明过程就是在流形上利用Morse函数写了一个势能构建了一个非线性西格玛模型，然后对基态进行计数。本身这就是在超对称里面非常重要的议题，在超对称量子力学里面就是Witten指标，在场论里面就是Elliptic genus。Tong对为什么需要量子力学来证明Morse理论给了一个很物理的argue，我觉得这种东西或许听听就好。大意是经典力学其运动总是局部的，而量子力学的波函数是弥散在全局的，每一点处都有概率幅，所以可以用波函数来探测流形的整体拓扑结构。而为什么需要超对称？我想是因为超对称的localization，重点在于fermion测度只会在一些local的点处取值，所以这导致超对称里面的很多路径积分其实是可以精确计算的，并非想象中的那么吓人。

参考