这一个月期末真的忙死了，其实研究生课过了就行，但是我还是尽力做到最好，不过在这期间我还是学到了不少东西的，所以并不算白费力气，下个月会回家休息两周，而且连着也有不少报告想参加以及official的事情要办，过完年三月份继续努力💪！

另外我在二月快结束了才整理完一月份的笔记，这个学术日记已经坚持写了半年多了，中途因为懒散加上很忙为借口觉得到底要不要停，毕竟很多人告诫过我写笔记会很浪费时间。不过我开学术日记的初衷就是草草记录，避免我专门写一些笔记，那些确实是大学时期干的事情，除非某个topic对自己研究非常重要，否则还是不要写的好。目前看来对我个人来说这个系列还是很有用，能让我彻底理清思路并且在整理的时候回头看看所学的一些东西，不至于马上忘掉。

几乎一整个月都在与期末DDL战斗

2026-01-01

今天早上六点半就起来出发去浅草寺初詣了。到的时候七点半，竟然没啥人，我感觉比平时游客还少。看来我高估大伙的热情了，可能是大家都去明治神宫或者已经在昨天半夜就排队了？不过今天抽了个凶，哈哈😂。

今天晚上看拓扑弦意外翻到Witten的大作hep-th/0312171，这应该是最早引入twistor到N=4 SYM振幅研究的文章。然后发现原来我在两年前就收藏过这篇文章，估计是当初看Yu-tin的书到twistor的部分没开太懂收藏的¹。不过估计是因为这篇文章标题太吓人，拓扑弦，所以当时也没细看。我对twistor的N=4 SYM的优美之处没有理解一大部分原因绝对是我没有仔细学习Witten的这篇大作，我归类为了伟大作品，希望有机会以后看一下。

晚上看尹希老师的弦论lecture note，妙哉妙哉，弦振幅中非常微妙的地方是如何定下前面的归一化系数，也就是：

我记得Polchinski从弦振幅的Unitary得到的，但是只对torus和sphere的情况进行了讨论。而尹希老师直接根据模空间边界去分析振幅的奇异性给出了任意点的归一化系数的相对关系：

这里$K_{S^2}$的定义是无积分顶角算符（也就是带鬼的，BRST的那玩意）之间的归一化系数：

这个式子本质上是在告诉我们另一件事情，前面是在告诉我们振幅的归一化，这里就是在告诉我们顶角算符的归一化，在选取平面波因子CFT关联函数的归一化之后，我们也就清楚了顶角算符归一化系数要怎么写：

推导也非常非常巧妙我觉得，而且很干净！可惜的是yin老师的讲义这部分技术细节很多，其实不容易读，总是会跳过一些步骤的，不过我觉得还好，自己想想加上有chatgpt夹持，能把中间步骤补个大概。虽然只是玻色弦的推导，不过也算是了解了我很长以来的一个疑惑，感觉对高亏格弦振幅理解深了一步。但是话说回来你让我关上书从头推一遍那我绝对是不会，甚至写出弦振幅公式都够呛。。。。。

睡前刷了下小红书，发现今天我是来早了，估计十点多钟人就越来越多了，人山人海，可惜没有凑成这个热闹。

2026-01-03

起因是看到了Dongmin老师发的这篇文章2512.23122，然后我感兴趣去翻了一下古早的文章hep-th/0308152，文章不长，感觉很有意思就读了读。然后就发现letter的奇妙之处了，为了写letter把文章信息密度极致压缩，其实很多细节没有讲清楚，好在有chatgpt帮我搞懂了。这里记一下。

首先是数学加Kashaev定义了一个新的纽结不变量，不过后来被大家发现其实是colored Jones多项式的极限，这哥们主要是猜想了这个不变量等于knot的补空间的双曲体积（对存在双曲体积定义的纽结，比如torus结就没这个定义）。

首先Colored Jones多项式在物理上很好定义，回忆一下我们是首先对于任何一个主丛上的联络选定纤维上的基点后可以写下闭路对应的和乐群元素$\mathcal{P}\exp\left(\int_\gamma A\right)\in G$，然后对某个结构群的表示可以定义Wilson Loop：

其实就是把抽象的李群元素变成好理解的矩阵然后去计算。物理上考虑$SU(2)$ CS理论

选取$SU(2)$的n维表示，计算路径积分后得到的就是n-colored Jones多项式：

猜想的内容就是：

数学上这个colored Jones Polynomial理解起来稍微复杂一些，一个比较偷懒的图形化定义就是首先去算cabled琼斯多项式，也就是去考虑吧纽结换成n股绳，然后去算对应链环的琼斯多项式，我们记作$C_{K,n}(q)$：

那么对应的colored琼斯多项式就是：

比如：

这是数学上，然后这篇文章就是发现任何一个Torus纽结，colored的琼斯多项式和极小模型的特征标是完全一样的。不过这篇文章有很强的注意力机制，也就是说完全没有说明是怎么来的。就是直接注意到两个函数一模一样。

极小模型$\mathcal{M}(s,t)$的一些data直接摘录如下：[^2]

从上到下就是中心荷，初级场共形权，初级场个数，$\ket{n,m}$初级态对应的共形塔构成的Virasoro左模的特征标，特征标是模形式在模群下的变换以及S矩阵。定义一个新的函数²以及展开之后得到的$\chi$：

然后对这个函数做变换，所谓Eichler积分，我不知道这玩意儿是个啥，反正变完之后不是模形式了，长下面的样子：

有理数取值的时候是这个样子：³

不过我们还是不知道$\chi$是什么，但是$M=1$的时候这玩意儿我们就知道一切求和项了：⁴

然后看colored的琼斯多项式，对于torus knot我们是知道表达式的：

这里$q=\mathrm{e}^{\hbar}$，对应到体积猜想那里的Kashaev不变量，就是

然后作者惊讶的发现

然后就没了。。。怎么说呢，首先这肯定不是纯粹的巧合，因为这是两个看起来在不同的语境下计算的函数，而且都是很复杂的函数。但是你又很难不说他是巧合，因为极小模型有那么多的$n,m$取值，你偏偏只需要其中特殊的一种去得到Jones多项式，你真要解释Jones多项式和Minimal model的对应，那你肯定要告诉我别的$n,m$对应的几何意义。而且通篇论文没有任何从物理上分析为什么会这样，仅仅只是指出了这么一个有意思的对应。这一点不大令人满意。看Dongmin老师文章的摘要感觉像是从物理上构造场论理解了这个对应，最近应该没时间看那篇文章，不过还是很有趣的应该。

这文章还介绍了一个有意思的数学定理，明天我再接着写吧，为了理解这个定理狠狠回顾了和乐群。

另外，今天还看了会chi-ming chang的文章，用全息理解黑洞微观态，过几天可能写点感悟，因为组会可能讲讲这个。感觉学这个到能学到不少物理，感觉学到了很多知识。今天晚上花了很多时间看纽结的这个东西，虽然又理解了一些数学，但是很多都是技术，而且看完之后感觉还有点偶然，所以就觉得没学到多少东西。。。

2026-01-04

来继续说一下昨天没说完的有关数学定理的部分。这个定理的来源是10.1007/BF01446898，考虑下面约定的$SU(2)$CS作用量定义的CS不变量：

对于任意Torus边界的三维流形$M$，首先为了计算上面的不变量我们需要选择$A$，CS的经典运动方程就是$dA=0$，所以实际上我们要选一个平坦联络。当我们选定一个联络，底流形以及纤维上的基点之后，任何一个联络根据和乐群定义，用平行提升就决定了一个结构群也就是$SU(2)$中的元素，平坦联络的好处是，这个元素只和道路类有关，也就是说我们有下面的单射：

重点在于三维流形上的$SU(2)$主丛都是平凡的，而这意味着上面的其实是同构，也就是说我们想确定一个平坦联络，可以反过来去考虑基本群到结构群的同态（差一个共轭的意义下），而数学文章证明了一个定理就是说用不同同态，或者说平坦联络，算出来的结果之间有联系：

这里我们考虑$\rho(z)$，且起点为$\rho_0$，终点为$\rho_1$的一簇同态，而且由于$\partial M\cong T^2$，所以我们不妨把基点选在边界上，然后考虑边界上的道路类，对于$T^2$的两个生成元在$\pi_1(M)$中对应的道路类，我们（在差一个共轭）的意义下定义$\alpha,\beta$：

我们讨论的这里$M$是$S^3/T(s,t)$，基本群可以表示为：

注意定理是适用的，因为所有的纽结其实都同胚于Torus，而我们讲纽结的时候并不是用同胚分类的，而是用更subtle的同痕的概念。这个基本群的$x^ay^b$和$x^s$对应边界生成元，这里$a,b$是$as+bt=1$的整数解，这文章就是发现当

的时候确实是一簇同态，代到公式里面一通计算得到：

用极小模型的语言描述就是

这是拓扑上的东西，不过算出来可以用极小模型的量来表达，这当然是有点凑的意味，但是更重要的是这个计算得到的结果在昨天我们说过的$\Phi$里面，或者说在Kashaev不变量这边是在说什么？这文章注意到在大N极限下极小模型的$\Phi$有下面的渐进关系：

剩下的符号约定不重要，论文里面都有，重要的是观察红色的式子，这其实就告诉我们上面那个CS不变量计算的就是Kashaev不变量的振荡相位。因为我昨天说过了，Torus Knot不是双曲的，所以Kashaev不变量肯定不是在算双曲体积，这文章就是用极小模型观察到了可以用CS不变量来解释。当然这部分我承认很牵强，我反正没get到，我只是想作为一个有意思的数学定理陈述。不过昨日提到的对应还是比较有趣的，如果Dongmin的确说明了物理上可以进行解释，那我就觉得酷毙了。

2026-01-05

今天来办公室后草草阅览了一遍Birds and Frogs这本书，这本书的副标题是Dyson的文摘，我以为这本书会和一般的论文选集一样就是为了给牛逼人士祝寿把他的牛逼论文重新印刷一下。后来发现这本书复标题其实是1990-2014年的Dyson文选，Dyson先生在2020年以94岁高龄过世了，所以这个阶段实际上已经是Dyson很老的时候的文献了。这个时候一般来说技术性的文章不太可能再发了，一般都是讲座和一些科普文章，所以书中主要以Dyson的一些讲座和物理思想为主，对于了解量子场论发展史或许有用。在书的最后一章还附有这最后二十年Dyson写的一些还算有公式的文章，都是很有趣的，比如用统计力学算拆分数，比如告诉你为什么$2^{64}+1$不是质数，再比如关于博弈论之类的，总之还算比较有趣，作为休闲读物还是不错。

以及今天有点出糗，我以为日语和中国话一样，说Happy new year就一个新年好，结果日语还要分年前年后，年前是说「良いお年を」，年后是要说「明けましておめでとう」。我之前问Kasamaki是在年前，所以他只教了我前面的，今天早上我碰见日本人就说「良いお年を」，包括早上去Yamazaki办公室也是这么说，引得大家哄堂大笑😂，后来我才知道为什么。

下午听了下Reiko Toriumi的报告，想起来之前申请OIST的暑研的时候还给她发邮件陶瓷过，但她没鸟我，当然OIST的官方的筛选我也是没过就是了。原来他那玩意儿其实就是统计系综模型，但是是把marix换成tensor，也就是从某个群的fundamental表示换成多个fundamental表示的直积。然后这玩意儿和一些量子引力模型有联系，和靶空间是置换群的DW理论有联系，在数学上和PL流形的三角剖分也有关系。里面的公式有点复杂，就听懂了她想干啥。两年前我以为这是狗屎，现在来看并不是狗屎，数学上还是很严肃的，你就理解为随机矩阵模型的推广，开始我还以为目标是量子引力，然后捣鼓出来的什么不切实际的toy model，现在看来似乎就是严谨的随机系综理论。近年来他们组还试图对Wigner半圆定理向随机张量理论进行推广。

2026-01-06

拓扑弦里面关于配分函数的计算涉及到$SU(N)$群张量表示的杨表标记法。以前学群伦看的是A.Zee，他不喜欢杨表就没讲，不过杜老师群论课上我是学过置换群的杨表的，大致规则还记得。其实一样的道理，就是在做张量表示的时候我们希望分解为一对不可约张量和，杨表对应的杨算符就是用来做这个分解的，比如考虑三阶张量表示，$T^{a_1a_2a_3}$，他有三个指标，我们要研究三个指标的对称性其实就是要考虑$S^3$置换群，这个群有下面三个杨图，对应四个正则杨表，杨表里面的数字就代表指标位置： 然后就可以写下对应杨算符，写法就是每行的所有横向置换加起来，然后再相乘。纵向置换也是一样的道理，每列相加再相乘，只是每个列置换前面多个符号，视宇称而定，注意的是单位置换也要算进去，比如第二列底部的杨表：

对应的分解得到的张量（差个overall系数）：

这个张量前两个指标反对称，另外还有些别的混合的对称性，第一个和最后一个杨表对应的指标对称性是大部分情况下关心的全对称和全反对称张量。

今天晚上看Peskin算QED重整化，有个地方和Srednicki不一样，Peskin是从表观发散子图去motivate，只对场进行放缩，得到下面的重整化拉格朗日量（请脑补下面公式中$\partial$的费曼slash）：

其中：

再看一下Srednicki的做法，他是从重整化对电荷，对场强对质量的修正的角度去出发，每一项定义一个重整化参数（请脑补下面公式中$\partial$和$A$的费曼slash）：

乍一看感觉srednicki有四个参数而Peskin只有两个场强重整化的参数，实际上Peskin把另外的两个参数藏到裸量$e_0$和$m_0$里面了，也就是说Peskin把裸量重定义的过程，也就是$Z_m,Z_e$直接吸收到裸量本身里面去了，这俩在Peskin里面也是参数，而Srednicki明显写出来了，在Srednicki里面裸量给定了，Z显式告诉你如何拆分裸量。实际上你继续看会发现Peskin在做重整化的时候是把这些delta当作是独立变量，或者说最基本变量的，而不是把Z当作独立变量计算。我更偏爱Srednicki一点，不过这俩没有本质差别，只是convention上的不同。Actually，其实srednicki的方法更偏向于Wilson时代重整化思想我觉得。Anyway，有点subtle，懒得想了，下班回家！

2026-01-07

今天看环面振幅，想到之前发现的一个疑惑的地方，你去翻其他书，大家基本上对环面振幅模空间测度（这个的确定其实很subtle，如果是puncture位置带来的测度还好，那个beltrami给的就是b的插入，刚好和c的插入抵消把无积分顶角算符变成积分顶角算符；但是真正由复结构带来的测度虽然我们有计算公式，但是其实还是很烦人的），都是用的$\frac{d^2\tau}{\tau_2}$，但是Blumenhagen的书上用的却是$\frac{d^2\tau}{\tau_2^2}$。

但是最后两个得到的结果其实是一样的，这个差异在当时让我十分疑惑，今天认真看了下Blumenhagen的书。其实只要去看Blumenhagen的这个式子你就释怀了：

其他书上都是吧弦上的CFT当26个自由度的free Bose去算，但是Blumenhagen相当于是先用了弦论的光锥条件，我们都知道弦论上的那个free boson其实两个方向的激发要被踢掉，所以只剩下24个激发态，对照着看就相当于上面是$\tau_2^{-12}$而不是$\tau_2^{-13}$。所以两个convention模空间测度不同但是最后的结果一模一样，这就很神奇。

其实在我看来，我更倾向于不带平方的convention，这应当才是正确的用Beltrami微分计算得到的结果。至于Blumenhagen，他的Convention可能是提前凑出来模不变的积分测度吧，毕竟底下平方后的版本才是模不变的。

今天看Peskin计算两圈重整化的一些讨论，Srednicki以及我看的其他一些场论书似乎很少提这个技术问题，实际上，对于重整化的讨论是从表观发散度先进行讨论的，如果表观发散的图有限，那么你就可以用有限个对应的counterterm吸收掉这些表观发散图的发散，而且这些counterterm刚好是可以放到lagrangian bare量重定义的⁵。在一圈图确实很容易看出来，因为发散其实都来源于表观发散，或者谁叫local的发散，而高圈有些发散就无法用表观发散的行为描述，也就是nonlocal的发散，如何组织这些圈图从而证明依旧可以用表观发散的图的counterterm消去这些发散是一个艺术。连Peskin都没有写森林公式，证明表观可重整的理论一定是真正可重整的（BPHZ定理），虽然一月份事情有点多，但是我希望还是能抽时间看一下森林公式。

2026-01-08

今天reading group主要讨论规范反常，里面最重要的应该就是t Hooft anomaly matching。概念上很简单，就是在计算反常的时候我们会涉及到三角图对应的$\operatorname{tr}_R(T^a\{T^b,T^c\})$的计算，而很简单的argue表明这个玩意儿在IR和UV下应该是一致的。不过我没有进一步看还有没有别的类似的anomaly matching，不过从这个三角图的matching上又是物理思想的极致应用。

我又得提一次，我经常听广义对称性那边有些人会分开讲ABJ反常也就是经常QFT课本里面说的手怔反常和所谓t Hooft反常。张翼和Watanabe都跟我说这俩其实定义上就是量子反常的定义，就是经典对称性因为在路径积分测度上不是作用不变的，所以会导致最后配分函数出来个相位。只是ABJ反常是告诉你经典对称性量子水平上不再是对称性，但是理论还是自洽的，而t Hooft反常就是说你没办法把经典对称性提升为规范对称性，也就是说如果你直接naive把对称性gauge掉会导致理论不自洽。不过这都只是概念上的区分，没有在物理本质上有什么区别，不过我注意到t Hooft反常总是和SPT phase一起提的，所以可能要看一些这方面的内容才能理解。或许更好的资料是Yuji最近的弦论反常的讲义，那个我还一直没来得及看。

晚上把Xi Yin讲义里面关于两圈玻色弦振幅计算的章节看了，不过我没有时间细致看他的附录里面关于两圈黎曼面模空间的Period矩阵的表示方法以及用pants分解计算高圈CFT关联函数的讨论。而且正文的一些步骤也不甚理解，总之结论就是二圈真空图CFT关联函数上面就三个Beltrami微分带来的b鬼场插入，然后就是matter field的两圈配分函数。计算都给省略了，最后的结果就是Igusa cusp form的模空间上的积分。我查了一下这玩意儿，想定义清楚都复杂，还涉及到K3的Elliptic Genus的计算。但是当我搜是谁最先算出这玩意儿的，没想到是松尾泰！Modular invariance and two-loop bosonic string vacuum amplitude。这是上世纪八十年代的结果，但是INSPIRE上显示的引用量却只有四十左右。。。因为弦振幅计算太复杂了，我真很敬佩硬算高圈弦振幅的人的。算起来复杂，最后圈子小的可怜。。。大家又不关心。。。

巧合的是今天Peskin也看到场论的双圈计算了，这就相对来说简单不少了，至少我们有一套费曼图写出积分表达式的工具，剩下的就是怎么计算积分，弦论不仅积分很麻烦，而且怎么写出这个积分也很麻烦。

2026-01-12

这几天竟然又是三连休，今年在周一的假实在是太多了，今天早上本来打算去学校，一看发现今天是成人日赶紧再睡三个小时。最近三天窝在家里学谱序列，基本上就是各个书看一点，看不懂了就让chatgpt解释，目标就是当作黑箱告诉我E2之后可以算及格例子。跟学MV序列一样的，完全懵逼partial得构造，但是在0很多（？）的情况下我可以框框算，谱序列我目前感觉就是个MV-plus，当作计算工具就好。李思老师对谱序列有个从微扰论角度出发的理解。我打算就把代数拓扑的结课report写成谱序列的黑箱笔记了，如果我来得及看懂hep-th/0108100和hep-th/0304018的话就写点D膜方面理解AH谱序列的想法，来不及就算了。

不记得之前有没有在日记里锐评过我打算写cat falling问题，也就是把可变性物体在零角动量下的形变当作纤维丛问题考虑作为report。后来想了想虽然有趣，但是第一是看起来会让你眼前一亮，不过看了看发现只是把SO3整体旋转当作是bundle，然后本体的形变当作底空间，角动量为0的方程自然就是底空间的路径在纤维上的平行提升。所以你要讨论猫为什么在空中可以不断变形最终却能反转一百八十度平稳落地。其实就是和乐群里面有个转180度的元素。我草草看了一遍大致是这个理解。粗看起来确实有趣且惊讶，但是感觉也不过如此，而且学不到真正的东西，这玩意儿和我的研究主线还是太远了，学点谱序列至少还算是真正的支线任务。

也想了下有没有什么别的topic可以写，但是总觉得会耗费大量时间而且不会让自己满意，不如写点我不太懂的数学，这样反正怎么写都是个浅薄的理解，就谈不上让自己不满意了😂。本来我还打算写点adam定理的证明的，现在来看纯属天方夜谭，真的是太看得起自己了，昨天看了看，看到adam谱序列的表述就看不下去了，对同伦论理解的还是太少，勉强看完一些steenrod算符计算这些技术的东西。

我还以为主丛非平凡没有整体截面对比如伴丛也适用，显然这只是主丛的一个特殊性质，重点就在于主丛群作用自由，每一个纤维是一个G-torsor，但是伴丛不要求自由其实。

2026-01-13

今天浅浅看了下昨天提到的D brane与AHSS关系的那篇文章，狠狠回忆了一下Thom同构定理搞清楚了前面几节想说什么，后面实在是跟不上那些argument，无法理解那些用D brane的argue算K group，盯着两面看了两个小时拼尽全力无法战胜。我的理解就是现在最粗略的对D brane的分类就是用同调群，然后再去用Freed-Witten条件，去筛选真正可以wrap的D brane，难点是用另一个条件去筛选哪些D brane其实会湮灭到真空，这个我没看太懂，想法就是吧D brane end到一个更大的D brane里面，那个更大的D brane wrap的全部是spatial的坐标所以是instanton，那自然ending到这上面的原先的D brane就是unstable的，所以会decay到真空，这个decay的过程就是用这个更大的D brane连起来的，但是我并不太懂文章里面的一些细节。为什么某个D brane可以作为instanton干掉几个end在上面的更小的D brane，感觉物理上写的有些少看不太懂。不过文章前面目的就是argue Freed-Witten条件本身就（几乎）等价于AHSS，从这个视角上看再同调群这个K理论的0阶近似下，再加Freed-Witten条件就相当于用AHSS不断去近似得到真正的K group，当然这一段也非常抽象，数学家不可能认同我觉得，特别是他们只对$d_3:E_3\to E_3$这个page之间的微分进行了argue。这篇文章的目的就是给K理论分类D brane一个物理上的解释，从D brane要求的物理上的条件以AHSS为路线讨论，最后还算了WZW model的一些例子，不过我就没看了。总之就是试图告诉你为什么K理论分类D膜是必须的，当然在这篇文章之前Witten已经从bran和anti-brane之间的湮灭给了一个物理上的解释based on Sen关于快子凝聚的讨论，告诉你其实同调分辨不出这个信息。而最早K理论分类D膜这件事是Moore写的hep-th/9710230，是给了D brane上RR charge的公式，数学上strongly suggest D brane RR charge的分类实际上要从K理论看，而不是简单认为RR charge是微分形式所以落在de Rham上同调里面。不过这文章太数学了还没信心往下看，有生之年吧。Moore应该还是对这个数学上的解释不太满意，转过头来和Maldacena以及Seiberg从物理上讨论了一波。

2026-01-18

这一整周基本都在学谱序列，期末Yuji课的报告打算写这个，今天写完数学部分了，还差点K理论和D膜分类的部分没有写完，不过那个应该容易一些，毕竟大头都是argument，没多少计算要写，概念说清楚就行。其实谱序列是我刚入学的时候就打算学学的东西，后来看李思老师的讲义看不太懂，就搁置了，后来发现是我看讲义的方式不太对，现在发现谱序列就是当作黑箱来学，证明啥的都无所谓，那是数学家关心的事情。所以当你明白这一点之后再去找谱序列相关的书和文章读，就会容易不少了，而且现在有chatgpt，极大加快了物理人读数学文章的速度。

2026-01-19

今天康哥来本乡了，我问了一下关于之前谈到的为何在D-brane构造的BPS态计数的时候，我们用D-brane的cycle作为charge区分BPS态的sector。因为D-brane无法完全用上同调刻画，得用精细的K-理论刻画。原来原因是我们考虑的系统要么是只有D-brane要么就是只有anti-D brane（这两个之间的转化会在wall crossing越过chamber的时候通过quiver mutation得到）。也就是说因为我们是计数BPS，注意我们本身要做的就是计数，所以那些charge只是方便我们label，或者说group这些BPS态。那么自然如果存在D-brane anti-D brane的情况，当然上同调确实是无法区分他和真空态的，但是我们本身要做的就是counting，所以我们认为不添加这个态进来就行了。我们需要用K-theory是因为我们在做classification。

2026-01-20

今天终于写完了数学物理的结课论文⁶，快一周了，最终总共写了三十面，手工绘制十四张图片，果然写文章纯粹是体力活，非常费劲，特别是还得写英语，不过好在有chatgpt。我已经尽可能的找typole，不过应该没时间再完全仔细看一遍自己写的东西，过几天打算就直接upload到网站上了。写的过程中其实还学到了不少东西，看论文的时候以为我懂的证明等写下来就会发现推导是错的。不过again还好有chatgpt，虽然他没办法给一个真正的证明，但是他能告诉你跟这个要证的东西相关的有哪些数学定理，我都是通过chatgpt先知道要用啥数学工具再自己尝试证明的。所以这篇报告虽然是review性质，但是夹杂了我很多个人的私货在里面，而且我也不能保证我的argue完全正确或者最简。所以虽然是按照review写的，但我觉得并非写给初学者看的，当作个人的note比较好。

另外我突然想起来在brane tiling这边，或者说dimer model会用黑白点去编码组合学信息，在振幅那边，$\mathcal{N}=4$的SYM用Grassmannian流形计算Leading Singularity的时候也适用黑白点编码，不过那个时候我印象中不是在环面上的。但是这两边都会出来Square move那些equivalence relation， brane tiling这边是从Seiberg duality来的，振幅那边我真有点忘了。所以这俩会不会有联系是个值得想的问题感觉。目前还没多大头绪，因为振幅那边的事情忘的差不多了。不过我确实看到有人尝试把bi-partite图上面振幅学和brane tiling联系起来1207.0807。我也问了Yamazaki这个事情，Yamazaki是完全清楚振幅上的组合学和这边很类似的，不过他也觉得或许只是个美妙的误会，或许只是这俩恰好都能用这个编码组合学。

当然还有一个也是用黑白点编码的，而且是环面上的黑白点，就是纽结的Grid同调，本质上就是Floer同调的一种离散的组合化实现。优点是能够写一套用计算机计算同调的程序，目前看起来和物理上关系不大。但是纽结本身和拓扑弦关系蛮深，而brane engineering这一套东西本身也和拓扑弦有不少联系。

2026-01-22

今天上课前问了下Yuji，我的结课论文里面用了一个东西，就是对Thom类，有$\tau_{A\subset B}\smile \tau_{B\subset C}=\tau_{A\subset C}$（略去了一些拉回之类的）。我画了一个贼复杂的交换图去说明这一点。Yuji觉得这个命题应该是对的。安心です。

超对称书上讲NSVZ寥寥数笔带过，或者是一对argument我也没弄清来龙去脉，今天看了下hep-th/9707133，终于懂了一点了，对Nima的好感加1。另外，这文章致谢竟然致谢了隔壁的Moroi-san。

首先我们要解决的问题是三个，但是他们之间有联系，首先就是不可重整定理告诉你SYM的最重要的结论就是beta函数one-loop exact，也就是著名的NSVZ beta函数，最早的推导是用instanton的想法来的，反正只需要知道它确实在微扰论的意义下是one-loop exact的。但是大家去真正计算物理相互作用的coupling constant的跑动⁷的时候发现并非如此，依旧存在高圈贡献，而且众所周知beta函数本身是依赖于你选取的scheme的，而NSVZ beta函数没有告诉你scheme是啥。

Idea竟然出奇的简单（但是计算细节其实非常复杂），就是用有效场论，或者说用重整化群的思想重新解释beta函数。就是首先要搞清楚我们在算什么。回看对不可重整定理的讨论，你会发现大家其实是在盯着下面的Lagrangian看：⁸

这里：

而Nima告诉你，在算physics相互作用的时候，coupling其实是用的下面的normalization：

其中超势函数的定义是一样的。你这俩normalization都不一样，自然就不能期望beta函数是一样的，自然就无法期望一个one-loop exact另一个也是如此了。首先随着能标coupling为什么跑动？因为我们要调整coupling使得两个能标下的物理是一样的，这个argument最著名的结论当然是Callan–Symanzik方程。而不重整定理告诉我们的是$g_h$的跑动按照$.1/g_h^2(M^{\prime})=1/g_h^2(M)-(b_0/8\pi^2)\ln M^{\prime}/M$来是one-loop exact的，这也正是规范理论的beta函数，one-loop的beta函数，只是不可重整定理告诉你已经exact了，微扰论意义上没有高阶贡献，实际上对于这里我们讨论的pure SYM，非微扰的贡献也严格是0。看起来我们只需要注意到$V_h=g_cV_c$就可以在两种拉格朗日量之间切换，如果仅仅是这样，那么$g_c$和$g_h$跑动就是一样的one-loop exact的，而关键在于Lagrangian虽然确实等同了，但是路径积分测度这个时候其实有反常，实际上：

所以两个规范化的配分函数由下面式子联系：

所以我们知道了两个跑动耦合参数之间的关系，也叫做Shifman-Vainshtein方程：

再根据one-loop exact的$g_h$的跑动我们就得到了NSVZ beta函数，也就是$g_c$的跑动：

这个对beta函数的解释又清晰而且给出了一个很好的推导方法。顺带的Nima的文章紧接着也讨论了anomaly的在微扰论意义上的计算与不重整定理给的one-loop exact看似水火不容的问题，同样是我们在讨论问题的时候没有分清两种Lagrangian的normalization，同样是dilation会给个路径积分测度的改变，这个我就懒得说了，建议直接看Nima的论文，这篇论文无论从可读性还是精彩程度上来看都非常好我觉得。而且论文写作也非常清楚，即便你不懂背后的技术细节也能完全搞清楚问题的关键。

明天接着写关于Scheme的问题，正好明天是Reading Group，可以讨论之后补充一点内容。另外注意到问题的关键其实就是dilation下路径积分测度出现反常，这个反常具体计算其实很技术，在Nima的论文里面有详细计算，不过我没细看，但是思路是非常清晰的。

好久没看Moore TQFT讲义了啊，还是没坚持下去，主要是到后面Moore开快车，还是得坚持下去，TQFT是近年算比较热门的东西（在广义对称方面）。还是值得关注的领域。

2026-01-23

今天台大Heng-Yu Chen来报告了。我以为是susskind的那个giant graviton，结果没有详细去讲这个是什么。本身想做的事情是通过M2和M5 brane上的SCFT的指标计算给一个M2和M5 brane之间的connection。用的一个很重要的技术就是giant graviton expansion，我似乎在之前哪里听过，几个日本人的工作。具体计算还是太复杂了听不太懂。晚上本来可以和Watanabe他们一起陪speaker吃饭，不过我一天没吃饭加上很累再加上想今晚做完非平衡的作业赶紧交了，就直接跑了。

接着聊一下NSVZ beta函数，首先弄清楚Scheme重要的点在于我们如果真的想从微扰论上计算physical coupling的跑动然后和NSVZ beta函数对，我们是一定要知道在哪个regularization scheme下才能进行计算的，因为beta函数就是一个shceme dependent的东东（或者人类只能算有限阶截断，所以其实你的整个理论严格意义上来说都是scheme依赖的）。不过在看了Nima的文章之后我失望了，强如Nima也并未在文章中彻底解决这个问题，但是在abstract中又声称解决了。Nima只是通过UV finite的$\mathcal{N}=4$出发加一个soft SUSY broken项把比如pure SYM以及一类$\mathcal{N}=1$的理论看作是$\mathcal{N}=4$理论来的一个低能有效理论。或者说Nima其实就是明显的构造了holomorphic和canonical两种normalization的Lagrangian的cutoff regularization scheme（也就是定义什么是物理的耦合常数，什么是我们测量得到的输入）。然后直接显示计算了在两个sheme下面的beta函数发现依旧会出现holomorphic那里的one-loop exact，这个我倒不惊讶，因为one-loop exact本身就是holomorphic保护的，所以regularization不破坏holomorphic恰恰暗示了依旧有不可重整成立。然后同样发现holomorphic和canonical的coupling之间有Shifman-Vainshtein方程，所以有NSVZ beta函数，所以就验证了这种regularization的正确性。但是Nima没有亲自在这个regularization下微扰论计算证明NSVZ beta函数的正确性，而且这种构造方式只对一些有限的$\mathcal{N}=1$的理论适用。所以我不是很满意，或许Nima有他自己的精髓不过我没太看懂。

2026-01-25

mud感觉这整个月都在和DDL战斗，虽然研究生课过了就行，不过我总是喜欢把事情做到最好，通过Yuji的报告我确实学到了不少数学，虽然和研究不大相关就是了。这两天在写Simeon的习题，八十道题目，我开始看前面的二三十道还很简单的，结果越往后越抽象，看起来是简答题，但是我根本不知道怎么简答，你直接把推导甩脸上感觉又和抄Peskin的书没区别。我打算写个四十道完事儿，最后三个problem set一个是软定理，那个推导太复杂了，但是我又不知道题目到底是想让我简答什么，还说Simeon就是想让我把软定理红外抵消完整推导出来？？？而且还要是Latex版本？？？那太可怕了。另一个是Casimir效应，这个相对来说还比较好做一点，但是我只算过二维的，高维的没算过，还得查论文和书看看算的对不对。最后一个就是Lamb shift的，这可太他妈操蛋了，都说广义相对论里面难计算，那我觉得QFT不服，QFT里面的圈图修正真的是算过一遍就不想算第二遍了，重点是作业还只能交pdf版本，那搞得是真的慢，我打算就把一些概念简答之类的题目写了就不写了，太累了，真不想干了我去。重点是这还只是problem set，下周一还会发布exam，又得写一遭，难绷，不知道我写了四十个题目能不能让我过。

分享一个新发现的网站theorem of the day。这个网站记录了很多有趣的定理，而且似乎是每天更新，简单看了几个还蛮有意思的。

2026-01-26

今天看了下2510.12290，前几天包哥来本乡这边推荐给我的。这文章工作倒是很费力的，就是对dimer model，或者说toric geometry用brane tiling构造的bi- partite图对应的可积系统在toric图只包含一个内点的时候进行了完全分类。并且显式构造了可积系统的一些量。虽然计算看起来是直接的，但是是非常非常累人的。分类的依据是本身一个toric diagram会有几个quiver图（所以总共16个toric最后出来的是30个不同的brane tiling），不过有些对应到同一个toric variety的其实是Seiberg duality联系起来（体现到黑白点这边就是square move）的（顺便说一句，1206.2386中指出其实还有个额外的specular duality，对应的brane tiling出来的SUSY场论的moduli space是一样的），还有一些则会被birational transformation联系起来。

但是这文章我实在不懂和物理上的联系，莫非只是用brane tiling画出来黑白点图然后在上面硬造一个可积系统？因为从这文章写的我看不出来这个可积系统和brane上的东西有何关联。这文章在最前面review brane tiling的时候倒是提了上面quiver gauge theory的moduli space，但是后面就再也没提了。。。还得再详细看看这个可积系统的背景材料。

另外分类本身是只需要seiberg和birational就好的，不需要用specular，specular只会联系已经被seiberg+birational分好的类的内部。

晚上看Polchinski，反常抵消那部分实在是对我来说有些简略，只能看个响，只是把大致逻辑抓住了，重点就是2d CFT这边的反常来源于左右手mismatch的是不能用local counter term消去的，所以只能用GS机制引入CS项来消去，要点就是把反常多项式消去，反常这部分还得看看Yuji讲义学学。不过Polchinski刚好留了技术性的三个习题，就是要推导那些trace恒等式。我当然是不会，所以我找到了这篇文章hep-ph/9802376，可以说是总结了一堆trace恒等式，而且推导也值得说道说道，是从chern character来的。感觉这个回答写的不错。重点就是有下面的关系，物理学家看起来很显然：

而不少群的adjoint表示可以看作是fundamental表示的张量积或者其反对称化之类的，反正就是两个之间有关系，然后就可以转化成chern character之间的关系，然后我们两边展开一项项对就好了。说起来简单做起来还是很麻烦的，不过前面提到的那篇文章用图形化方法给了一个算法。特别是对于例外李群，我们要找的不是adj表示和fundamental表示之间的关系，而是adj表示自己的关系，涉及到对李代数做分解，还蛮麻烦的。

2026-01-27

今天是一个值得纪念的日子，因为他娘的Simeon在UTOL上发布了98个题目作为期末考试题，总共三天时间，do as much as you can！如果没有chatgpt，无法想象这个世界有多么恐怖。。。不过做这些题目还是能学到一点东西的，比如今天就学了下格德斯通等效定理，就是说我们都知道WZ bosons因为对称性自发破缺获得质量，也就是说原先的格德斯通玻色子自由度被吃掉，变成了矢量场的纵向极化自由度。而这个等效定理就是告诉你你在算涉及到矢量场的纵向极化的振幅的时候在高能散射情况下等价于把矢量场全部换成原本应该有但是现在被规范变换吃掉的格德斯通玻色子算的振幅。具体见Peskin的讲义。

今天陈老师来报告的文章贴出来了2601.17114。

2026-01-28

文献库有两千多篇文献，导致今天早上想找之前看见过的一篇综述，有一个章节讲scherk-schwarz紧致化，但是死活翻不到，问了半天AI也没找到这文章是啥。。。

今日下午与康哥聊天，突然聊到knot-quiver对偶，我还以为是我没看懂他们的那些argue，原来大伙都觉得是狗屎一坨，这玩意儿只是发现了刚好对上，但是没人知道他们在算什么，只是知道这个东西看起来很有意思。实际上是狗屎一坨，第一是他们说是quiver diagram，不如说实际上是在找个对称矩阵构造的函数刚好等于knot，你没有发明任何新的算法，而是用一些已知的算法算了两边的生成函数然后发现某些情况可以对上，但你没有一个好的算法告诉你一个quiver到底对应到哪个knot，这个领域那帮人做到现在，没有任何深层次的联系发现，而且我印象中他们也承认了有些knot是找不到一个quiver的，需要修补，或者说让我们不说的这么高大上一点，找不到对应的一个对称矩阵。

康哥今年申请教职情况有些严峻，就算是Hao Y. Zhang学长做的方向目前很热门而且做的也非常好引用非常高，到最后申请二期博后申请教职拿到的offer也并不太让人满意。哎，只能说做高能，天才很多，真的是如果没有超人智力能做的只有坚持到底，熬下去，最后熬出头。我显然是智力来讲差不少，比我聪明的同时期学生我见到的听到的过多，所以只能花时间想办法在大佬堆里面挤出一点生存空间。

另外晚上和泰国老哥聊天，本来他接了Chicago的offer，蛮好的，不过他告诉我今天他决定不去了，回泰国工作quit了，工资待遇还不错。主要原因是他有女朋友，本来女朋友已经决定放弃泰国很好的工作陪他去美国了，不过泰国老哥还是觉得或许要在梦想与生活之间做平衡，而且觉得可能做完一期博后之后还是quit的命，所以还是决定牺牲一下自己了。虽然我不了解他做的工作，不过和他相处短短一学期（准确来说上个月我们才搭上话）就觉得是个很不错的人，祝福他在泰国过得开心。（不过似乎目前为止我听到的找博后或者教职的消息都很消极。。。）

2026-01-29

我记得在之前哪天的日记里我说过我更喜欢Xi Yin对弦振幅的处理方式，也就是把世界面的点的插入位置也看作moduli去做。Polchinski的做法恰恰相反，或许是出于教学法的考虑。第一点是虽然Xi Yin的讲法从几何上看清晰不少，但是实际上大家做弦振幅还是用Polchinski那一套插入点不是所有点都固定看成moduli参数。其二是Polchinski的讲法或许更利于物理人从FP鬼场方向去理解，先直接naive不考虑moduli去告诉你弦论固定diffxWeyl需要用鬼场，给你把鬼场的CFT搞出来。然后再告诉你我们搞错了，实际上还有moduli，所以这等价于FP行列式里面，或者说振幅里面要插入Beltrami积分，然后又告诉你实际上没完全固定规范，实际上还有个conformal变换给我们漏掉了，所以还要考虑CKV的作用，除去CKV你当然可以naive直接在球面或者环面上把这个群的体积算出来，更统一的想法就是CKV会fix一部分世界面上的puncture的位置，然后在FP鬼那边等价于FP行列式插入一些c鬼场，也就是把fix的那一部分的顶角算符变成无积分的顶角算符。这样就更加系统化了。这么一套下来刚好和几何上面干脆把世界面的puncture位置也当成moduli parameter是一样的。

如果这么想的话确实似乎Polchinski的想法更加容易教学，特别是后面涉及到超弦振幅，虽然完整的描述肯定是绕不开几何语言，但是完全可以先用玻色弦的想法过渡，比如玻色弦为了干掉CKV我们插入c场，落到路径积分上最后是在看zero mode的贡献，不过好在c是格拉斯曼的，所以只要把三个顶角算符（球面上为例）从$V$换成$cV$就好了，这些$c$和$\int\mathcal{D}c$里面的零模部分$\int dc_{-1}dc_0dc_{1}$会直接相互抵消完美well-define振幅。到了超振幅这边有super CKV要干掉，对应的就可以想成$\gamma$有零模，但是坏就坏在你跟之前一样插入$\gamma$是抵消不了的，因为这个时候$\gamma$是正常的玻色统计，所以你插入$\gamma$反而更快发散，所以你得插入类似delta函数一样的东西$\delta(\gamma)$，在玻色化那边就是$\ket{0}_{\text{NS}}$对应的算符$e^{-\phi}$。有一说一当时Polchinski直接把NS真空对应的算符写成$\delta(\gamma)$还看不出来为啥，现在从振幅这边看才看得清楚，核心就是定义的时候用OPE来的$\gamma(z)\delta(\gamma(0))=O(z)$这个筛选性质恰好就跟delta函数一样。所以说超弦复杂的一个地方就在于，玻色弦你因为是费米鬼场所以$c$本身在路径积分里面插入就相当于$\delta(c)$去抵消零模发散。但是超弦里面你$\delta(\gamma)$真的是不一样的算符要引入。

还是得看Peskin，byd我发现我以前看的场论书，仔细回忆了一下似乎都只在经典层面上把势能画出来，然后告诉你连续性对称自发破缺有个goldstone boson，但是都没考虑量子效应会修正这个V，你应该用1PI有效作用量画势能函数。要命的是goldstone boson并非先验的一定没量子对质量修正，跟光子那样。光子没质量修正是因为ward恒等式对称性保护了。而goldstone boson没修正其实也是被对称性保护了，需要argue量子有效作用量的对称性还是完完整整和classical的一样保留原来的Lagrangian的所有的对称性的。

最后一日在IPMU听seminar

2026-01-30

今日在IPMU参加seminar，讨论的是冯诺伊曼代数那些玩意儿，大概是下面这四篇论文里面的东西https://arxiv.org/abs/2112.12828 , https://arxiv.org/abs/2206.10780 ,
https://arxiv.org/abs/2303.02837 , https://arxiv.org/abs/2308.03663。我之前听过刘洪老师的科普性介绍，不过刘老师物理一些感觉，我们这边这次主要就是直接讨论冯诺伊曼代数本身了。感觉还是不错，下周应该还有，不过快过年了不知道咋搞（能线上吗？中国听众其实很多的😂）。印度老哥的口音倒是没问题，不过有物理人讲数学的一个惯性，就是不如数学家那样调理清晰，首先就是简化很多定义，这是基本上能接受的，毕竟物理学家也不太关注数学证明，但是物理学家不好的地方在于他们很多时候会在陈述定理的时候才发现自己忘记了定义。。。

Hilbert空间是完备的内积空间，完备的定义是从内积诱导的范数来的。而Banach空间是一完备的赋范空间，也就是说跳过内积这一步。不过剧透一下我们关注的不是量子力学态构成的希尔伯特空间，而是量子力学的算符看作最基本的东西，也就是说我们把可观测量的空间作为基本的东西来研究，那么由于算符之间可以乘法所以得到的实际上是一个Banach代数，更进一步算符上面有$\dagger$，数学上这玩意儿叫定义了一个Banach$^*$代数，这个$*$你就可以理解为$\dagger$差不多的性质，只是数学家叫$*$，更进一步物理上我们知道$\dagger$是满足$\|A^\dagger A\|=\|A\|^2$的⁹，这种特殊的$*$算符对应的我们就叫$\mathbb{C}^*$代数，这些数学概念都是GPT水平的，不多讲了。但是对于无穷维的空间有个很诡异的事实，就是当我们对其取中心（实际上应该叫commutant），按理说再取一次中心¹⁰应该回到原来的空间，但实际上无穷维的空间我们只能得到$S^{\prime\prime}\supset S$这个很显然的结论，而冯诺伊曼代数的要求就是$\mathbb{C}^*$代数并且恒有$S^{\prime\prime}=S$。后面我们提到冯诺伊曼代数都用$M$表示。

用这一套语言来描述量子力学最大的区别是我们把算符看作最基本的，所以态反而生活在算符空间的对偶空间也就是$M^*$里面。不过量子态是里面比较特殊的一类，要满足$\omega(A^*A)\geq 0$，也就是正性，而且要范数是1，也就是可归一。$\omega(A^*A)$这个玩意儿就可以在态空间上定义一个偏序关系，也就是一些态是可以比大小的，如果对于任意的$A$，$\omega(A*A)\geq\rho(A*A)$，那么我们就可以说$\omega\succ\rho$，英文应该叫majorizes，不过我使用量子信息那边的语言，下面就随意点直接说超优了。而量子态作为纯态的条件就是只能超优自己，也就是说如果$\omega=\lambda \omega_1+(1-\lambda)\omega_2$那么一定有$\omega=\omega_1=\omega_2$。额剧透一下，实际上用算符作为基本语言来描述量子力学，量子态实际上就是密度矩阵，或者精确点说是$\operatorname{Tr}(\rho\cdot)$，那么前面的条件就是说密度矩阵不能分解成直和，回到量子力学的讨论。¹¹

如果我们知道了算符空间$M$，还知道了他的作用的量子态空间$H$，而且算符在$H$上的表示$\pi$也是知道的，那么对于任何一个$H$上的态，就可以对应到一个$M^*$里面的态$\omega_\Omega(A):=\braket{\Omega,\pi(A)\Omega}$。这么说涉及到很多空间有点抽象，你可以想成$M^*$是密度矩阵在的空间，$H$是一般的量子力学里面的ket在的空间，而$M$是可观测量在的空间，而上面这玩意儿就是量子力学告诉我们的用态的语言和用密度算符的语言描述量子力学是等价的。不过上面我们只是告诉了你一个态对应一个密度算符，或者说是$\{M,H,\pi,\Omega\}\to\omega_\Omega$。现在反过来，$\{M,\omega\}\to\{H_\omega,\pi_\omega,\Omega_\omega\}$其实也是可以的，数学上叫GNS构造。

GNS构造做法就是先用$\braket{A,B}=\omega(A^*B)$定义一个内积，然后定义理想$I_\omega=\{A|\omega(A^*A)=0\}$，内积在商掉理想的情况下是不变的，这样我们其实通过$M/I_\omega$可以定义一个内积空间，里面的态我们就定义为理想$\psi_A=A+I_\omega$。这样实际上我们定义了一个pre-Hilbet space $\tilde H_\omega$，完备化数学家是会做的，完备之后就是我们要的$H_\omega$。第二步就很简单了，直接定义$\pi_\omega(A)\psi_B=\psi_{AB}$，$\Omega_\omega=\psi_\mathbb{1}$。这样定义得到的$H,\pi,\Omega$我们叫canonical cyclic ¹² represent，简称为CCR。

一个定理是说如果这个构造时输入的的$\omega$是态，那么当且仅当$(\pi_\omega,H_\omega)$是不可约表示。比较重要的推论是，如果$M$是Abelian的，那么$\omega(A)=\omega(A)\omega(B)$。最后讲了俩定义，下次可能要用。一个是normal state，就是positive但是不一定可归一的$\omega$，如果对于任意的一簇$\{A_\alpha\}$¹³，我们有$\omega(\operatorname{lub}A_\alpha)=\operatorname{lub}\omega(A_\alpha)$¹⁴。我们前面不是说了$\omega$我们关心的很多时候就是密度矩阵吗？有个定理就是说如果$\omega$是态，那么他进一步是normal state当且仅当存在一个密度矩阵$\rho$，他是一个positive trace class¹⁵的$H$上的算符，而且$\operatorname{Tr}(\rho)=1$。那么$\omega(A)=\operatorname{Tr}(\rho A)$¹⁶，这下就和量子力学的全部联系起来了。

另外今日还认识了一个Yuji的M2学生Ibo，以及Nakajima竟然还来IPMU办公，而不是仅仅挂职。晚上Yamazaki快要回家的时候他同意了我觉得knot-quiver对偶是狗屎，而且dimer model上面的可积系统没太多D brane的联系之类的批判。所以好的数学物理学家的taste一定是从物理想，如果你不关心物理，你只关心你那可怜的toy model，那不好意思，数学家完全可以替代你，而且做的比你好。