NLSM主要是用于低能有效理论，低能强子物理那套，所以属于hep-ph的模型，但是近年来发现其可以用散射振幅这边的技术来研究，特别是其CHY形式可以完全写出来。本文基于1做个简单介绍。
拉氏量
NLSM理论简而言之就是一个$G\times G\to G$对称性自发破缺的标量场论，里面的场是对称性自发破缺后的无质量标量场。$G_L\times G_R$称为chiral group，自发破缺到$ G_V$，其中$G_L=G_R=G$，这里的$G_V$是对角子群，群元形如$(g,g), g\in G$，显然$G_V\cong G\lhd G\times G$。戈德斯通玻色子生活在陪集$G_L\times G_R/G_V$空间中，共有$\phi^a,a=1,2,\ldots,|G|$，将其编码在一个矩阵$U$之中：
\[(g_L,g_R)\to g_Rg_L^{-1}\equiv U\in G\]先然上面的$G_L\times G_R\to G_V$的映射自然诱导了$G_L\times G_R/G_V$和$G$之间的同构。chiral群中的$(V_L,V_R)$在$U$上的作用为：
\[U\to V_RUV_L^{-1}\]NLSM的拉氏量最一般形式为：2
\[\boxed{ \mathcal{L}^{(2)}=\frac{F^2}{4}\langle\partial_\mu U\partial^\mu U^{-1}\rangle=-\frac{F^2}{4}\langle(U^{-1}\partial_\mu U)(U^{-1}\partial^\mu U)\rangle }\]其中：
\[\langle\cdot\rangle=\mathrm{~Tr}(\cdot),\quad U=\exp\left(\sqrt{2}\frac{\mathrm{i}}{F}\phi\right)\]这只是一种参数化$U$的方案，也就是编码goldstone例子的方案，这种方案的好处就是chiral群的作用体现到$\phi$上是线性的。其中：
\[\langle t^a t^b\rangle=\delta^{ab},\quad[t^a,t^b]=\mathrm{i}\sqrt{2}f^{abc}t^c\]所以这里$\phi$是矩阵，也就是群$G$的指标，求trace是对矩阵指标求和，并不是对color factor求和。
Duhamel公式
矩阵李群有下面的Duhamel公式：
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}e^{\mathrm{iX}(\mathrm{t})}=\mathrm{i}\int_0^1\mathrm{ds}\quad e^{\mathrm{i}(1-\mathrm{s})\mathrm{X}(\mathrm{t})}\frac{\mathrm{dX}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}\mathrm{~e}^{\mathrm{isX}(\mathrm{t})} }\]他等价于下面的公式：
\[\boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\mathrm{e}^{\mathrm{iX}(\mathrm{t})}=\mathrm{i}\mathrm{~e}^{\mathrm{iX}(\mathrm{t})}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ad}_{\mathrm{X}(\mathrm{t})}}-1}{\mathrm{ad}_{\mathrm{X}(\mathrm{t})}}\frac{\mathrm{dX}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}}\]如果不追求严格性可认为是从下面的关系来的：
\[e^{\mathrm{ad}}\mathrm{x~Y}=e^{-\mathrm{i}\mathrm{X}}\mathrm{Y}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathrm{X}}\]这里定义：
\[\mathrm{ad}_\chi\left(Y\right)\equiv-\mathrm{i}\left[X,Y\right]\]更改一下convention：
\[\mathop{\mathrm{Ad}}(\phi)\partial_{\mu}\phi=[\phi,\partial_{\mu}\phi]=\sqrt{2}t^{a}D_{\phi}^{ab}\partial_{\mu}\phi^{b}\equiv\sqrt{2}t\cdot D_{\phi}\cdot\partial\phi\]其中：3
\[D_\phi^{ab}=-\mathrm{i}f^{cab}\phi^c\]得到：
\[U^{-1}\partial_\mu U=-\frac{\exp\left(-\sqrt{2}\frac{\mathrm{i}}{F}\mathrm{Ad}(\phi)\right)-1}{\mathrm{Ad}(\phi)}\partial_\mu\phi=-\frac{1}{\sqrt{2}}t\cdot\frac{\exp\left(-\frac{2\mathrm{i}}{F}D_\phi\right)-1}{D_\phi}\cdot\partial\phi\]注意这里$\phi$并不是矩阵，他是带色指标的，dot表示对色指标缩并。得到简化之后的拉氏量，注意这是在$\exp$参数化下的形式：
\[\mathcal{L}^{(2)}=\frac{F^2}{4}\partial\phi^T\cdot\frac{1-\cos\left(\frac{2}{F}D_\phi\right)}{D_\phi^2}\cdot\partial\phi=-\partial\phi^T\cdot\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\left(\frac{2}{F}\right)^{2n-2}D_\phi^{2n-2}\right)\cdot\partial\phi\]既然NLSM是个带色指标的理论，那么在树图阶就可以考虑其色运动学分离，也就是说其振幅类似于YM理论可以写成下面single-trace的形式：
\[\mathcal{M}^{a_1a_2...a_n}(p_1,p_2,...,p_n)=\sum_{\sigma\in S_n/Z_n}\langle t^{a_{\sigma(1)}}t^{a_{\sigma(2)}}\ldots t^{a_{\sigma(n)}}\rangle\mathcal{M}_\sigma(p_1,\ldots,p_n)\]同样可以得到轮换序图费曼规则顶点$V_n$的定义：
\[V_n^{a_1a_2...a_n}(p_1,p_2,\dots,p_n)=\sum_{\sigma\in S_n/Z_n}\langle t^{a_{\sigma(1)}}t^{a_{\sigma(2)}}\dots t^{a_{\sigma(n)}}\rangle V_n(p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)},\dots,p_{\sigma(n)})\]其它参数化
更一般的参数化长下面这个样子
\[U=\sum_{k=0}^\infty a_k\left(\sqrt{2}\frac{\mathrm{i}}{F}\phi\right)^k\]下面的讨论局限在$G=U(N)$，利用$U^\dagger U= 1$得到：
\[\sum_{k=0}^na_ka_{n-k}(-1)^k=\delta_{n,0}\]显然上式意味着$a_0^2=1$，由于拉氏量是对$U$的偏导，不妨取$a_0=+1$。而且对于上式，$n$为奇数的时候是自然成立的，而偶数下标可以有递推公式：
\[a_{2k}=-\frac{(-1)^k}{2}a_k^2-\sum_{j=1}^{k-1}(-1)^ja_ja_{2k-j}\]不难发现对$a_1$放缩后，只要对其它奇数指标$a$合适放缩，就可以整体将所有放缩因子吸收进$F$中并不保持理论不变。不妨取$a_1=1$，这样可以把$F$解释为Goldstone粒子的衰变率。
考虑${a_k}$的生成函数：
\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\]可以分别定义奇偶生成函数：
\[f_\pm(x)=\sum_{k\in \mathrm{odd/even}}^\infty a_kx^k\]满足：
\[f(-x)f(x)=1, f(0)=1, f^{'}(0)=1\Rightarrow f_+(x)^2-f_-(x)^2=1\]得到：
\[f(x)=f_-(x)+\sqrt{1+f_-(x)^2}\]这也说明了只有一半的自由度就是$a_{2k+1}$，偶数那一半可以递推得到。不同的参数化就是对$f(x)$的选取不同，这里看三种典型的选取：
\[\begin{aligned}f_{\exp}(x)&=\mathrm{e}^x\\f_{\text{Cayley}}(x)&=\frac{1+(x/2)}{1-(x/2)}\\f_{\min}(x)&=x+\sqrt{1+x^2}\end{aligned}\]分别导致下面的${a_k}$：
\[\begin{aligned} a_k^{\mathrm{exp}}& =\frac1{k!} \\ a_k^{\text{Cayley}}& =\frac1{1+\delta_{k,0}}\frac1{2^{k-1}}\\ a_{2k}^{\min}=&\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k-1}}C_{k-1},\quad a_{2k+1}=0 \end{aligned}\]这里：
\[C_n=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\]是Cartlan数。在一般的参数化下：
\[\mathcal{L}^{(2)}=\frac{F^2}4\langle\partial U\cdot\partial U^+\rangle=\sum_{n,m=0}^\infty v_{n,m}\langle\partial\phi\phi^n\cdot\partial\phi\phi^m\rangle\]其中：
\[v_{n,m}=(1+(-1)^{n+m})\frac{(-\text{i})^{n+m}}{4F^{n+m}}\sum_{k=0}^ma_ka_{m+n+2-k}(-1)^{k+1}(k-1-m)\]比如：
\[\begin{gathered} v_{k,2n-k}^{\exp}=\frac{(-1)^n}{2F^{2n}}\frac{(-1)^k}{(2n+2)!}\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)\\ v_{2k,2n-2k}^\text{Cayley}=\frac{(-1)^n}{2F^{2n}}\frac1{2^{2n+1}},\quad v_{2k+1,2n-2k-1}^\text{Cayley}=0 \end{gathered}\]不难发现只有偶数顶点活了下来：
\[\mathcal{L}^{(2)}=\sum_{n=0}^\infty\mathcal{L}_{2n+2}^{(2)}=\sum_{k=0}^{2n}v_{k,2n-k}\langle\partial\phi\phi^k\cdot\partial\phi\phi^{2n-k}\rangle\]这是NLSM非常重要的性质，也就是说，在考虑其振幅时，偶数点的振幅都为0。费曼规则顶点为：
\[\begin{aligned}V_{2n+2}^{a_1,\ldots,a_{2n+2}}(p_1,p_2,\ldots,p_{2n+1};p_{2n+2})&=-2^{n+1}\sum_{\sigma\in S_{2n+2}}\langle t^{a_{\sigma(1)}}\ldots t^{a_{\sigma(2n+2)}}\rangle\\&\times\sum_{k=0}^{2n}v_{k,2n-k}(p_{\sigma(1)}\cdot p_{\sigma(1)+k+1})\end{aligned}\]拿掉色因子之后的轮换序图费曼规则为：4
\[V_{2n+2}(p_1,p_2,\dots,p_{2n+1};p_{2n+2})=-2^{n+1}\sum_{k=0}^{2n}\sum_{i=1}^{2n+2}v_{k,2n-k}(p_i\cdot p_{i+k+1})\]比如：
\[V_{2n}^{\exp}(p_{1,}\dots,p_{2n})=\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\left(\frac{2}{F^{2}}\right)^{n-1}\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^{k-1}\left(\begin{matrix}{2n-2}\\{k-1}\\\end{matrix}\right)\sum_{i=1}^{2n}(p_{i}\cdot p_{i+k})\] \[V_{2n+2}^{\min}(s_{i,j})=\left(\frac{1}{2F^2}\right)^n\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}C_kC_{n-k-1}\sum_{i=1}^{2n+2}s_{i,i+2k+1}\] \[V_{2n+2}^{\text{Cayley}}=-\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\left(\frac{1}{F}\right)^{2n}\sum_{j=0}^n\sum_{i=1}^{2n+2}(p_i\cdot p_{i+2j+1})=\frac{(-1)^n}{2^n}\left(\frac{1}{F}\right)^{2n}\left(\sum_{i=0}^np_{2i+1}\right)^2\]由于很多时候要研究振幅的极点，所以比较好的变量是Mandelstam变量：
\[\begin{gathered} s_{i,j}=p_{i,j}^2,\quad p_{i,j}=\sum_{k=i}^jp_k\\ s_{2n+2,2n+2+k}= s_{k+1,2n+1},\quad s_{i,2n+2+k}= s_{k+1,i-1} \end{gathered}\]这里$1\leq i<j\leq2n+1$，因为接下来考虑的是$2n+2$顶点的费曼规则，利用：5
\[\begin{aligned}(p_i\cdot p_i)&=s_{i.i}\\(p_i\cdot p_{i+1})&=\frac12(s_{i,i+1}-s_{i,i}-s_{i+1,i+1})\\(p_i\cdot p_{i+k})&=\frac12(s_{i,i+k}-s_{i,i+k-1}+s_{i+1,i+k-1}-s_{i+1,i+k}),\quad k>2\end{aligned}\]得到$V_{2n+2}$：
\[\begin{aligned}V_{2n+2}(s_{i,j})=(-1)^n\left(\frac{2}{F^2}\right)^n\sum_{k=0}^nw_{k,n}\sum_{i=1}^{2n+2}s_{i,i+k}\end{aligned}\] \[\left\{\begin{aligned} &w_{0,n} \begin{aligned}&=(-1)^n2F^{2n}\left(2v_{0,2n}-v_{1,2n-1}\right)\end{aligned} \\ &w_{k,n} =(-1)^n2F^{2n}\left(2v_{k,2n-k}-v_{k-1,2n+1-k}-v_{k+1,2n-1-k}\right)\quad\text{for}\quad k<n \\ &w_{n,n} =(-1)^n2F^{2n}(v_{n,n}-v_{n-1,n+1}). \end{aligned}\right\}\\ \Downarrow\\ \boxed{w_{k,n}=\frac{(-1)^k}{1+\delta_{kn}}a_{k+1}a_{2n+1-k}}\]前面三个例子的$w$可以写为：
\[\begin{aligned} w_{k,n}^{\exp}& = \frac{(-1)^k}{1+\delta_{kn}}\frac{1}{(2n+2)!}\left(\begin{array}{c}2n+2\\k+1\end{array}\right) \\ w_{k,n}^\text{Cayley}& =\frac{(-1)^k}{1+\delta_{kn}}\frac1{2^{2n}} \\ w_{0,n}^{\min}& =w_{2k,n}^{\min}=0 \\ w_{2k+1,n}^{\min}& =\frac1{1+\delta_{2k+1,n}}\frac{(-1)^n}{2^{2n}}C_kC_{n-k-1} \end{aligned}\]最后需要强调一点：
并不是所有的理论的参数化都是任意的，可以证明，对于$SU(N),N>2$的理论来说，只允许$\exp$参数化，但是$U(N)$就相对自由很多。 不过考虑到$SU(N)\to U(N)$只需要添加一个正比于常数的生成元$t^0$，多一个$U(1)$场$\phi^0$：
\[\begin{aligned}U=\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{F}\sqrt{\frac{2}{N}}\phi^0\right)\widehat{U}\end{aligned}\]这里$U\in U(N),\hat U \in SU(N)$，拉氏量可以写成：
\[\mathcal{L}^{(2)}=\frac12\partial\phi^0\cdot\partial\phi^0+\frac{F^2}4\langle\partial_\mu\widehat{U}\partial^\mu\widehat{U}^{-1}\rangle\]所以$U(N)$相比于$SU(N)$而言只是多了一个不参与相互作用的场，也就是说：
\[\mathcal{M}^{a_1a_2...a_n}(p_1,p_2,...,p_n)=0,\quad \exists a_i =0\]这其实就是在研究胶子散射的时候常说的$U(1)$解耦公式。即对于$SU(N)$ NLSM有：
\[\mathcal{M}(p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n)+\mathcal{M}(p_2,p_1,p_3,\ldots,p_n)+\ldots+\mathcal{M}(p_2,p_3,\ldots,p_1,p_n)=0\]所以我们可以通过研究$U(N)$理论，然后取$a_i\neq 0$来得到$SU(N)$理论中的振幅，QCD里面我们这样做不会更简单，但是NLSM里面这样做能让我们更加自由的参数化。因为费曼规则是离壳的，不同的参数化会有不同的费曼规则，但是最终得到的在壳结果相同。