本系列文章是一个新系列文章，用于放自己翻译的植田一石教授写的「数物系のためのシンプレクティック幾何学入門」一书，注意，此翻译使用人工智能辅助翻译，本人已尽全力校对，阅读时请留意。全部系列文章可以在categories的辛几何翻訳下找到。下面也列了其余章节的链接供读者参考：

辛几何入门——第五章 动量映射与辛商

辛几何入门——第四章 各种各样的辛流形

辛几何入门——第三章 G结构的几何学

辛几何入门——第二章分析力学

辛几何入门——第一章 序章

• 翻译说明
• 前言
• 第一章 序章
  • 1.1 几何学与物理学
  • 1.2 对称性与守恒律
  • 1.3 可积系统
  • 1.4 动力系统
  • 1.5 量子化
  • 译注

翻译说明

• 这个环境下的内容一般来说都是我个人的一些评述，并非作者所著。
• 本翻译使用AI辅助翻译，本人日语水平并不算高，但已经尽力核对原文，难有纰漏之处，还请读者谅解（工作流一般是我先读一遍，然后AI翻译，然后我再重新读一遍并改善AI翻译）。
• 章节后面都有大量“译注”，这些都是我个人的注解，与原作者无关。
• 本翻译会对一些笔误、错误甚至是我认为描述并不清晰的地方进行更改，更改之处都以脚注的形式注明，故本翻译并非对原文的精确传达。
• 本翻译恕不提供.pdf版本。
• 本翻译未经原作者授权，若有冒犯请联系本人。
• 由于浏览器渲染问题，网络版本和本地版或许有差异（我实在没有过多精力重新仔细检查网络版本的格式问题），如果你觉得网络版本格式存在一些差错，欢迎随时联系本人。

前言¹

本书主要面向学习物理学和数学的本科生及研究生编写。但同时，也考虑了有志的高中生及其他领域研究者的阅读需求，力求以尽可能通俗易懂的方式介绍辛几何的标准主题。

阐述事物的顺序大致可分为三种：历史顺序、逻辑顺序与教学顺序。历史顺序并非抵达目的地的最短路径，且往往伴随非显而易见的跳跃，其必然性未必易于理解；逻辑顺序虽条理清晰、简洁高效，但高度抽象化的定义与定理背后所积淀的智慧常被掩盖，初学者易陷入看似枯燥的符号堆砌中迷失方向。而教学顺序则忽略历史或逻辑顺序，以心理负担较轻、更易令人信服的顺序展开论述。

本书尝试以教学顺序而非历史或逻辑顺序进行阐述。然而，何种论述能作为具有说服力的动机存在较大个体差异，故本书的讨论仅是教学顺序的一个示例。建议读者依据自身兴趣与理解，对本书内容进行个性化重构。

本书部分内容基于笔者在国内外大学及研究所的讲义与演讲，但并未完全按教科书形式重写，而是刻意保留了讲义的轻松氛围。全书内容前后缓相关联，但各章基本可独立阅读，重要概念不厌其烦地多次说明。为便于自学者，计算过程亦尽可能详述。后续章节所需预备知识逐渐增多，但若遇到不理解之处，建议通过其他文献补充学习，或暂时搁置继续阅读。

本书大致结构如下：

• 第1章阐述辛几何的历史与现状及各章背景，无需特定预备知识。
• 第2章从解析力学基础出发，按教学顺序引导至辛几何，力求降低预备知识门槛。本章核心目标之一是理解诺特定理（Noether’s theorem）的表述与证明——该定理内涵深邃，仅此便值得学习解析力学。对称性可表述为群作用，构成本书（及辛几何本身）的核心主题之一。 另一目标是令读者自然接受辛流形（symplectic manifold）的定义。数学定义经历史积淀打磨而成（如拓扑空间定义即为典型），最终需通过具体案例得以合理化。

若第2章代表物理学视角的辛几何导入，则第3、4章为数学视角的引入：

• 第3章从G结构几何视角重新定义辛流形；
• 第4章列举若干辛流形实例。 前四章为导论，第5章起进入核心内容。

第5章介绍辛几何中处理群作用的框架，读者将看到向量场、李群等流形论概念的生动应用。 辛几何虽诞生为解析力学的终极表述，但力学问题不止于建立运动方程——即使求得方程，若不解其解则意义有限。解的性质因系统而异，而最优情形的规范化即完全可积系统（completely integrable system）概念。其一般理论由刘维尔-阿诺德定理（Liouville-Arnold theorem）概括，具体实例则构成代数、几何与解析交织的丰饶领域。第6章从李群分解视角介绍该定理及典型案例户田格子（Toda lattice）。

可积系统极为特殊，大多运动方程无法用已知函数显式表示解。对此，庞加莱（Poincaré）创立了动力系统理论。第7章简要介绍处理近可积系统的KAM理论与远可积系统的遍历理论（ergodic theory）——前者受太阳系稳定性启发，后者源于统计力学，二者均与物理学深度关联。

第8章讨论辛环流形（symplectic toric manifold）这一特殊辛流形类，大致定义为具完全可积结构的最优（或最简单）紧致辛流形。该领域基本定理为德尔赞定理（Delzant’s theorem），表明辛环流形与满足条件的凸多面体一一对应，从而将相关问题归约为凸多面体组合论。

第9章探讨二维规范理论（gauge theory）。其与辛几何的紧密联系由阿蒂亚-博特（Atiyah-Bott）发现，并成为后续发展的指导原则。本章目标介绍纳拉西姆汉-塞沙德里定理（Narasimhan-Seshadri theorem）——即黎曼面上全纯向量丛（holomorphic vector bundle）的稳定性等价于存在不可约杨-米尔斯联络（irreducible Yang-Mills connection）——的唐纳森证明（Donaldson’s proof）。该定理的高维推广及规范理论向引力的扩展是微分几何核心问题之一。

第10章转向复几何中的辛结构，其与四元数密切相关，形成与实辛几何迥异的独特体系。紧致实例极少，但非紧致情形常作为场论与超弦理论中的模空间（moduli space）出现。

原计划纳入当前活跃的前沿课题，但因篇幅所限未能实现。后续发展将于后记略作说明。

谨向编辑、同事、恩师及家人等所有助本书问世者致谢。

2015年4月 植田一石

第一章 序章

本章将采用故事性的叙述方式介绍辛几何学（Symplectic Geometry），以此作为本书所涉及各类主题的导论。各主题更精确的内容将在对应章节的开篇进行详细阐述。

1.1 几何学与物理学

据说，在柏拉图（Platon）于雅典近郊设立的“学园”（アカデミア）门口，曾悬挂着一块写有“不懂几何学者，勿入此门”（幾何学を知らざる者はこの門をくぐるべからず）的匾额。在希腊时代，几何学在所有学问中占据着特殊地位。在这个作为理念界（イデア界）之影的世界里，由完美的直线和完美的圆所构成的几何学，想必正是窥见理念界的一面镜子吧。

希腊时代最杰出的数学家无疑当属阿基米德（Archimedes）。尽管生于公元前3世纪，他却远远超越了他的时代，他不仅事实上完成了静力学，在积分法方面也进行了开创性的深刻洞察。此外，在一个极度轻视实用的文化中，他同时也是一位卓越的工程师。然而，他一生最钟爱的仍是几何学。据传，他遗言要求在自己的墓碑上雕刻圆柱及其内接球的图案。

但是，他最终也未能理解动力学。直到16世纪，伽利略（Galilei）才正确洞察到：力与加速度而非速度相关；没有力作用的物体会保持匀速直线运动；以及，在仅受重力作用的情况下，重物和轻物会以相同方式下落。我们基于经验的直觉因摩擦效应而变得模糊，即使在今天的我们看来，羽毛和铅球在真空中同时下落也仍会带来些许惊讶。

然而，尽管走到了只剩一步之遥的地方，伽利略最终也未能理解运动定律。创立他所欠缺的微积分学并完成运动定律的，是当时首屈一指的科学家兼数学家牛顿（Newton）。他展示了与距离平方成反比的力如何推导出关于行星运动的开普勒（Kepler）定律。

牛顿对运动定律的公式化，宣告了近代科学的黎明。其最辉煌的成果当属哈雷（Halley）等人对周期75年的彗星的轨道计算。彗星按照牛顿力学的预言回归，证实了牛顿力学不仅适用于地面物理，对于天体运动也同样具有强大的预言能力。从地球到太阳的距离，即使以每小时4公里的速度每天24小时、全年365天不停地走，也需要4000年以上。然而，在这个与日常经验相去甚远的天文尺度上支配天体运动的法则，与支配我们在地面上投出的球之轨迹的法则是相同的。

牛顿的工作总结在题为《自然哲学的数学原理》（自然哲学の数学的諸原理）的书中。这本书极具几何学色彩。此处的“几何学”是希腊人的几何学，并且运用了许多关于圆锥曲线的（如今已失传的）各种结果，现代人若无注释则无法阅读。

《自然哲学的数学原理》之难懂并非仅对现代人而言，即使对同时代的人也是如此。然而，在数学中，本应一切都是自明的，其难懂往往是由于描述它的语言不够恰当。牛顿的后继者们背弃了几何学的世界，投身于力学解析理论的建设。其最初的顶点便是拉格朗日（Lagrange）的《解析力学》，他在其中高声宣布已将所有的“图”从力学中驱逐出去。脱离几何直观，进入算式及其代数操作的世界后，力学问题的公式化及其解决，从需要灵感的创造性事业转变为机械性的单纯作业。微积分学和力学成为学生的必修科目，并成为所有工程师的标准工具。

然而，进入20世纪，几何学与物理学之间失落的纽带，以更强大的形式得以复苏。其中之一便是狭义和广义相对论，它们与闵可夫斯基（Minkowski）几何以及伪黎曼（Riemann）几何密不可分。此外，以电磁学和量子色动力学为代表的规范理论（ゲージ理論），也是可用主丛（主束）及其联络（接続）的语言自然描述的、极具几何性的理论。

作为另一股潮流，是解析力学的几何化。认识到解析力学背后拓展着某种几何学世界的这种意识，从19世纪开始逐渐形成，并在进入20世纪后变得更为明确。随后，外尔（Weyl）发明了“辛（シンプレクティック）”一词，而嘉当（Cartan）则以扩展克莱因（Klein）的埃尔朗根纲领（Erlangen 目録）的形式，创始了G结构的几何学。辛流形（シンプレクティック多様体）正是在这个G结构几何学的语境中被自然定义的。

这些各种各样的潮流在反复的分歧与合流中成长，如今已汇成大河，影响着数学和物理学的广泛领域。辛几何学在缺乏明确中心的情况下已成长为一个巨大的领域，因此难以概观，但其主要议题可列举如下：

1.2 对称性与守恒律

当系统具有对称性时，实际自由度会减少，问题就变得更容易处理。为自然地处理系统所具有的对称性而建立通用框架，是辛几何（シンプレクティック幾何学）发展的原动力之一。诺特（Noether）定理断言对称性与守恒律本质上是同一事物，这既是该领域的一个顶点，也是其后发展的起点。诺特定理具备真正伟大定理的两个特征：

• 主张深远，且蕴含许多推论
• 证明不言自明

此外，它显著的特点还在于其成立范围超越了辛几何的框架，同时适用于经典力学和量子力学。从这个意义上说，它与同样超越经典论和量子论框架的热力学等理论一样，可谓代表了人类智慧的成就。

系统的对称性很自然地可表述为关于群作用的不变性。当对称性是连续的时候，出现的群就是李群（Lie群）。李群和李代数（Lie環）可以独立于辛几何来定义，但辛几何为李群和李代数的概念提供了有效运用的具体实例。这在下文将述及的可积系统中尤为显著。反之，李群的余伴随轨道也提供了辛流形（シンプレクティック多様体）的重要例子。

在哈密顿（Hamilton）系统对称性的语境中，特别重要的是李群对辛流形的哈密顿作用的概念。通过考虑辛流形在哈密顿作用下的商，很自然地会到达辛约化（シンプレクティック商） 的概念，这与代数几何中的几何不变量理论有着极为密切的联系。

1.3 可积系统

随意给定一个哈密顿系统时，其运动方程的精确解能具体写出来的情况很少见，大多数方程是“不可解”的。于是，方程在“何时”可解就自然成了问题。

不限于运动方程，问题“可解”的精确表述，自古以来就是数学的重要主题，至今亦然。“不可解”问题的代表例子，恐怕就是所谓的古希腊三大作图问题吧：

• 三等分角问题（trisecting the angle）
• 倍立方问题（doubling the cube）
• 化圆为方问题（squaring the circle）

这些问题若使用合适的工具当然能解（例如，使用折纸可以完成角的三等分和立方体的倍积），但若限制工具则变得不可解。古典意义上只允许使用圆规和直尺，从希腊时代起就被研究，但直到19世纪才被证明是不可能的。“不可解”问题的另一个代表例子是关于5次方程求根公式的问题，经由鲁菲尼（Ruffini）、阿贝尔（Abel），最终由伽罗瓦（Galois）彻底解决。方程的伽罗瓦理论经由戴德金（Dedekind）、克罗内克（Kronecker）等人的贡献，最后由阿廷（Artin）作为域的伽罗瓦理论完成，并被纳入大学的标准课程。域的伽罗瓦理论后来与覆叠的伽罗瓦理论相统一，并经格罗滕迪克（Grothendieck）彻底抽象化直至今日。

让我们回到哈密顿系统。哈密顿系统可能具有的对易对称性最多只有自由度的一半，而具有这个极限最大对称性的系统称为完全可积系统。完全可积性是系统“可解”的一种表述形式，而描述此种系统结构的就是刘维尔-阿诺尔德（Liouville-Arnold）定理。该定理从以下三个假设：

• 系统具有一半自由度个数的对易对称性，
• 初始值是守恒量的正则点，
• 水平集是紧致的

出发，导出以下结论：

• 水平集是拉格朗日环面（Lagrangeトーラス），
• 存在称为作用-角坐标的特殊坐标，
• 系统的运动在作用坐标方向上为常数，在角坐标方向上做匀速直线运动。

刘维尔-阿诺尔德定理是关于完全可积系统结构的一个强大且决定性的定理，作为完全可积系统的抽象一般理论，几乎无需再补充什么。因此，可积系统的研究必然转向各具体实例。虽然已知有各种各样的可积系统，但它们并非只是孤立的例子，也有许多是基于不同背景系统构造出来的。其代表例子有户田格子（戸田格子），它与李代数、杨-巴克斯特方程（Yang-Baxter方程式）、拉克斯方程（Lax方程式）等各种话题相关联，十分有趣。

1.4 动力系统

可积系统是优美且重要的主题，但给定的哈密顿系统是可积的情况极为罕见。为了定性研究不可积系统的性质，庞加莱（Poincaré） 创立了动力系统（力学系） 和拓扑（トポロジー） 的理论。此领域的指导性问题曾是太阳系的稳定性，并最终结出了KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理论的果实。将太阳系的稳定性作为质点系力学的问题来讨论，若考虑引入广义相对论效应会有引力波辐射、实际上太阳和行星并非点粒子、即使在牛顿力学中也会因潮汐力发生耗散、太阳有寿命、以及无宇宙常数项的广义相对论中宇宙本身就不可能稳态等事实，会显得有些奇特，但这个问题曾吸引了相当多的兴趣确是历史事实。此外，与此相关，阿诺尔德（Arnold）提出了阿诺尔德猜想，用相空间的拓扑不变量从下方限制周期哈密顿系统的周期解个数，这成为后来促进辛拓扑（シンプレクティック・トポロジー） 发展的原动力。

KAM理论处理的是接近可积系统的哈密顿系统，而对远离可积系统的哈密顿系统发挥威力的则是遍历（エルゴード）理论。在遍历理论中，放弃追踪每个初始值的时序演化，转而研究系统长时间的平均行为。构成遍历理论基石的是刘维尔（Liouville）定理。该定理主张哈密顿系统的时序演化是关于由辛形式确定的自然测度的保测变换，其证明比诺特定理更加显而易见。但是，时序演化的保测性是回归定理和遍历定理等重要定理的前提条件，刘维尔定理绝不是一个无足轻重的定理。不如说，刘维尔定理的证明之显而易见，正是用辛几何描述经典力学之正当性的依据之一，可谓说明了我们对经典力学理解的深度。

1.5 量子化

尽管本书不予讨论，但现代的辛几何若脱离与量子化的关联便无法谈论。辛几何为经典力学提供了优美、精致且实用的描述框架。另一方面，量子力学是超越经典力学、给出自然更根本描述的理论，因此从经典力学向量子力学过渡时，似乎本应舍弃辛几何，采用全新的不同框架。但奇妙的是，现实并非如此。反而，通过量子化的问题，辛几何的重要性日益增大。这或许意味着要超越某个领域，就必须先精通该领域吧。进一步地，到了20世纪后期，随着与规范场论（ゲージ理論） 和超弦理论关系的探索，辛几何的研究愈加兴盛。将来，辛几何或许会消亡，人们将只研究“量子几何学”，仅偶尔将其作为经典极限提及；然而，即便真有那么一天，辛几何完成了它的历史使命，只在数学史书中被后人提及，这一幕的到来也依然是遥遥无期。

译注