本文章是「数物系のためのシンプレクティック幾何学入門」一书翻译系列的第二篇，其余章节文章链接如下：

辛几何入门——第五章 动量映射与辛商

辛几何入门——第四章 各种各样的辛流形

辛几何入门——第三章 G结构的几何学

辛几何入门——第二章分析力学

辛几何入门——第一章 序章

• 动量映射与辛商
  • 5.1 Hamilton 作用
  • 5.2 辛商
  • 译注

动量映射与辛商

若辛流形 $(M, \omega)$ 及其上的 Hamilton 函数 $H$ 具有李群 $G$ 作用下的对称性，那么很自然地会考虑将 $M$ 替换为商空间 $M/G$ 来减少系统的自由度。然而，一般情况下 $M/G$ 不是辛流形。如果 $G$ 是奇数维的，那么 $M/G$ 也是奇数维，因此根本不可能具有辛结构。

辛几何中正确的商概念是通过注意到若 Hamilton 系统具有对称性，则根据 Noether 定理，相应的动量会守恒而得到的。即，首先取与对称性相关的动量为定值的子空间，然后对这个子空间用群的作用分割。这样得到的商称为辛商。

为了精确地表述这一点，需要李群在辛流形上的 Hamilton 作用及其动量映射的概念。在此过程中，4.4 节中见过的李代数对偶空间的 Poisson 结构会自然出现。

辛商与代数几何中的几何不变量理论商 (geometric invariant theory quotient) 密切相关。要定义辛商，不仅需要辛流形 $(M, \omega)$ 及其上李群 $G$ 的 Hamilton 作用，还必须选择 $\mathfrak{g}^*$ 中的一个元素 $\xi$。这对应于 GIT 商中线丛的 $G$ 线性化 (G-linearization) 的选择。通过改变 $\xi$ 引起的辛商的变化在代数几何中称为 GIT 商的变分 (variation of GIT quotient)，这在理论和应用上都很重要。VGIT 的典型例子可以在第 8 章讨论的环面几何 (toric geometry) 中看到。

5.1 Hamilton 作用

设李群 $G$ 作用在辛流形 $(M, \omega)$ 上：

通过对 $a$微分 可以得到映射 $\mathfrak{g} \rightarrow \Gamma(TM)$， $Y \in \mathfrak{g}$ 的像记为 $\underline{Y} \in \Gamma(TM)$，并称为 $Y$ 的基本向量场 (fundamental vector field)¹。假设对任意 $Y \in \mathfrak{g}$，存在某个函数 $\mu_Y : M \rightarrow \mathbb{R}$，使得 $Y$ 的基本向量场 $\underline{Y}$ 成为与 $\mu_Y$ 相关联的 Hamilton 向量场：

根据 Hamilton 向量场的定义²，(5.1.2) 可以改写为：

对于给定的向量场，以其为 Hamilton 向量场的函数在相差一个常数意义下是唯一确定的³。通过对 $\mathfrak{g}$ 中的每个元素 $Y \in \mathfrak{g}$ 选择并固定这个常数，可以得到一个映射：

进一步，通过适当地选取常数，可以使 (5.1.4) 成为一个线性映射。此时，存在 $M$ 上的 $\mathfrak{g}^*$ 值 $C^\infty$ 函数

使得对任意 $Y \in \mathfrak{g}$ 都有

成立⁴。这个映射由命题 2.8.2, 满足⁵

但由于给定 Hamilton 向量场所对应的 Hamilton 函数有添加常数的自由度，故不一定对任意 $Y, Z \in \mathfrak{g}$ 都满足

定义 5.1.1. 辛流形 $(M, \omega)$ 上的连通李群 $G$ 的 Hamilton 作用 (Hamiltonian action) 是指 $G$ 在 $M$ 上的一个作用与一个 $M$ 上的 $C^\infty$ 函数

构成的组，满足以下性质：

1. $G$ 在 $M$ 上的作用保持辛形式 $\omega$，即对任意 $g \in G$ 有 $g^* \omega = \omega$。

2. 对任意 $Y \in \mathfrak{g}$，由 $Y$ 生成的 $M$ 上的向量场 $\underline{Y}$ 是以 $\langle \mu, Y \rangle : M \to \mathbb{R}$ 为 Hamilton 函数的 Hamilton 向量场；

   \[\iota_{\underline{Y}} \omega = d \langle \mu, Y \rangle \tag{5.1.12}\]

3. 映射 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$ 是一个 Poisson 映射，即对任意 $Y, Z \in \mathfrak{g}$ 有

   \[\mu_{[Y,Z]} = \{\mu_Y, \mu_Z\} \tag{5.1.13}\]

此时，称 $\mu$ 为动量映射 (moment map)。

命题 5.1.2. 动量映射的条件 (5.1.13) 等价于 $\mu$ 的等变性⁶：

证明. 对 $Y \in \mathfrak{g}$，令 $g = \exp(tY)$，在 $t = 0$ 处对 (5.1.14) 左边与 $Z \in \mathfrak{g}$ 的配对求微分，根据基本向量场的定义、(5.1.2) 以及 Poisson 括号的定义，有：

另一方面，在 $t = 0$ 处对 (5.1.14) 的右边求微分得到：

由于 $G$ 是连通的，且 (5.1.14) 在单位元 $g = e$ 处平凡地成立，再根据常微分方程解的唯一性，(5.1.14) 对任意 $g \in G$ 成立当且仅当其微分后得到的式子 (5.1.13) 成立。

下面两个命题由定义直接得出：⁷

命题 5.1.3. 设给定了李群 $G$ 在 $(M, \omega)$ 上的一个 Hamilton 作用，其动量映射为 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$。那么，将 $G$ 的 Hamilton 作用限制到 $G$ 的任意闭子群 $H$ 上，则给出 $H$ 的一个 Hamilton 作用，其动量映射为 $\iota^* \circ \mu: M \to \mathfrak{h}^*$。此处 $\iota^* : \mathfrak{g}^* \twoheadrightarrow \mathfrak{h}^*$ ⁸是由李群的嵌入 $H \hookrightarrow G$ 所诱导的李代数的嵌入 $\iota_*: \mathfrak{h} \hookrightarrow \mathfrak{g}$ 的对偶满射线性映射。

第一个性质是自明的，我们主要看第二个和第三个条件的证明。第二个性质注意到$\forall Z\in\mathfrak{h}$：

\[\begin{aligned} d\left\langle \iota^*\circ\mu,Z\right\rangle = d\left\langle\mu,\iota_* Z\right\rangle = \iota_{\underline{\iota_* Z}}\omega = \iota_{\underline{ Z}}\omega \end{aligned}\]

再来看第三个性质，注意到：

\[\begin{aligned} \left(\iota^*\circ\mu\right)_{[Y,Z]}&=\left\langle\iota^*\circ\mu,[Y,Z]\right\rangle=\left\langle\mu,\iota_*[Y,Z]\right\rangle\\ &=\left\langle\mu,[\iota_*Y,\iota_*Z]\right\rangle=\mu_{[\iota_*Y,\iota_*Z]}\\ &=\left\{\mu_{\iota_* Y},\mu_{\iota_* Z}\right\}=\left\{(\iota^*\mu)_Y,(\iota^*\mu)_Z\right\} \end{aligned}\]

命题 5.1.4. 设李群 $G_1$ 和 $G_2$ 分别在辛流形 $(M_1, \omega_1)$ 和 $(M_2, \omega_2)$ 上具有 Hamilton 作用，其动量映射分别由 $\mu_1: M_1 \to \mathfrak{g}_1^*$ 和 $\mu_2: M_2 \to \mathfrak{g}_2^*$ 给出。那么，$G_1 \times G_2$ 在 $(M_1 \times M_2, \pi_1^* \omega_1 + \pi_2^* \omega_2)$ 上有一个自然的 Hamilton 作用，其动量映射由

给出。

第一个性质自明，第二个性质只需要注意到配对的线性，然后利用$\mu_1$（$\mu_2$）只有在和$\mathfrak{g_1}$（$\mathfrak{g}_2$）配对的时候才不为$0$。我们重点来看第三个性质，这个性质可以利用式5.1.14来得到。只需要注意到下面的等式：

\[\begin{aligned} \left\langle \mathrm{Ad}^*_{g_1\otimes g_2}(\xi_1\oplus\xi_2),X_1\oplus X_2\right\rangle&=\left\langle \xi_1\oplus\xi_2,\mathrm{Ad}_{g_1^{-1}\otimes g_2^{-1}}(X_1\oplus X_2)\right\rangle=\left\langle \xi_1\oplus\xi_2,\mathrm{Ad}_{g_1^{-1}}(X_1)\oplus \mathrm{Ad}_{g_2^{-1}}(X_2)\right\rangle\\ &=\left\langle \xi_1, \mathrm{Ad}_{g_1^{-1}}(X_1)\right\rangle+\left\langle \xi_2, \mathrm{Ad}_{g_2^{-1}}(X_2)\right\rangle=\left\langle \mathrm{Ad}_{g_1}^*\xi_1, X_1\right\rangle+\left\langle \mathrm{Ad}_{g_2}^*\xi_2, X_2\right\rangle \end{aligned}\]

这里$g_i\in G_i$，$X_i\in\mathfrak{g}_i$，$\xi_i\in\mathfrak{g}_i^*$。也就是说：

\[\mathrm{Ad}^*{g_1\otimes g_2} = \mathrm{Ad}^*{g_1}+\mathrm{Ad}^*{g_2}\]

这个是真的不难“注意到”，其实就是乘法在求微分之后由于莱布尼茨法则变成线性关系。

另外，下面这个命题的证明也是很简单的：

命题 5.1.5. 在余伴随轨道 $\mathcal{O} \subset \mathfrak{g}^*$ 上的余伴随作用 $G \curvearrowright \mathcal{O}$ 是一个 Hamilton 作用，其动量映射由嵌入映射

给出。

证明. 只需对任意 $Y \in \mathfrak{g}$，证明在 $\mathcal{O} \subset \mathfrak{g}^*$ 上成立如下 1-形式的等式：

对任意 $\xi \in \mathcal{O}$，$Y$ 的基本向量场 $\underline{Y}$ 在 $\xi$ 处的值由

给出。此外，任意 $\eta \in T_\xi \mathcal{O}$ 用某个合适的$Z \in \mathfrak{g}$表示为⁹

取 (5.1.24) 右边与 $\eta$ 的配对，有¹⁰

而这显然等于 (5.1.24) 左边与 $\eta$ 的配对。

下列命题在构造 Hamilton 作用的例子上非常重要：

命题 5.1.6. 保恰当辛流形 $(M, \omega = d\theta)$ 上的$\theta$ 的李群作用是 Hamilton 作用。

证明. 当李群 $G$ 在 $M$ 上作用并保 $\theta$ 时，对任意 $Y \in \mathfrak{g}$ 有

成立。令

由于它关于 $Y$ 是线性的，故存在某个 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$，使得任取 $Y \in \mathfrak{g}$ 有 $\mu_Y = \langle \mu, Y \rangle$。对任意 $Y, Z \in \mathfrak{g}$，有

且¹¹

因此，$\mu$ 是该 $G$ 作用的动量映射。

在余切丛上的群作用是命题 5.1.6 的一个典型应用实例。

命题 5.1.7. 李群 $G$ 在流形 $N$ 上的作用，可以自然提升为在余切丛 $(M, \omega) = (T^*N, d\theta)$ 上的一个 Hamilton 作用。

证明. 根据余切丛上 Liouville 形式 $\theta$ 的定义 (4.1.2)，$\theta$ 在 $G$ 作用下是不变是显然的¹²，即对任意 $g \in G$ 有

成立。

命题 5.1.6 的另一个典型应用例子是辛向量空间上的线性群作用。

命题 5.1.8. 酉群 $U(n)$ 在辛向量空间 $(\mathbb{C}^n, \frac{\sqrt{-1}}{2} \sum_{i=1}^n dz_i \wedge d\overline{z}_i)$ 上的自然作用是 Hamilton 作用，其动量映射由

给出。

证明. $\mathbb{C}^n$ 上的标准辛形式

可以通过 $\mathbb{C}^n$ 上的 1-形式¹³

表示为

酉群 $U(n)$ 的元素 $g = (g_{ij})_{i,j=1}^n$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上的作用由

给出，因此对于 $Y = (Y_{ij})_{i,j=1}^n \in \mathfrak{u}(n)$，令 $g(t) = \exp(tY)$，其基本向量场为

其中 (c.c.) 表示复共轭 (complex conjugate)。因此，

其中，最后一个等号使用了由

导出的

以及

现在，使用内积

将 $\mathfrak{u}(n)$ 与 $\mathfrak{u}(n)^*$ 等同，则由

可得

关于动量映射，有下面的基本定理：¹⁴

定理 5.1.9 ¹⁵¹⁶¹⁷. 设环面 $T^n = (S^1)^n$ ¹⁸在紧辛流形 $(M, \omega)$ 上具有 Hamilton 作用，其动量映射由

给出。那么，动量映射的任意纤维¹⁹都是连通的，并且其像是一个凸多面体，由 $T^n$ 作用的不动点的凸包给出²⁰。

证明需要使用 Morse 理论，此处省略。

5.2 辛商

给定紧李群在辛流形上的 Hamilton 作用，可以如下定义与之相关的商：

定理 5.2.1. 设紧李群 $G$ 在辛流形 $(M, \omega)$ 上具有 Hamilton 作用，其动量映射由 $\mu: M \rightarrow \mathfrak{g}^*$ 给出。进一步假设 $0 \in \mathfrak{g}^*$ 是 $\mu$ 的正则值²¹，且 $G$ 在 $\mu^{-1}(0)$ 上的作用是自由的²²：

那么，在 $M/!/G := \mu^{-1}(0)/G$ 上存在唯一的辛形式 $\omega_{\text{red}}$，满足

证明. 由于 $0 \in \mathfrak{g}^*$ 是 $\mu$ 的正则值，$\mu^{-1}(0)$ 是 $M$ 的子流形²³。由于 $G$ 在 $\mu^{-1}(0)$ 上的作用是自由的，$M/!/G := \mu^{-1}(0)/G$ 构成一个流形。 (5.2.2)换句话说就是对任意 $p \in \mu^{-1}(0)$ 和任意 $X, Y \in T_p\mu^{-1}(0)$ 有²⁴

由于 $\pi$ 是满射，满足此条件的 $M/!/G$ 上的 2-形式若存在则唯一。为证明存在性，需说明对任意 $q \in M/!/G$ 和 $\overline{X}, \overline{Y} \in T_q(M/!/G)$，选取满足 $\pi(p) = q$ 的 $p \in \mu^{-1}(0)$ 以及满足 $\pi_*X = \overline{X}, \pi_*Y = \overline{Y}$ 的 $X, Y$，并按下式定义

时，该定义是良定义的（即不依赖于 $q \in \pi^{-1}(p)$ 和 $X, Y \in T_p(\mu^{-1}(0))$ 的选取）。换言之，需证明对任意 $p, p’ \in \mu^{-1}(0)$ 和 $X, Y \in T_p(\mu^{-1}(0))$，$X’, Y’ \in T_{p’}(\mu^{-1}(0))$，若 $\pi(p) = \pi(p’), \pi_*X = \pi_*X’$ 且 $\pi_*Y = \pi_*Y’$，则有 $(\omega_M)_p(X, Y) = (\omega_M)_{p’}(X’, Y’)$。首先，由 $\pi(p) = \pi(p’)$ ，存在 $g \in G$ 使得 $p = g \cdot p’$。令 $X’’ = g_*X’, Y’’ = g_*Y’$，则有²⁵

又因为 $\omega$ 在 $G$ 作用下不变，所以²⁶

$X, Y$ 和 $X’’, Y’’$ 都是 $p$ 点处 $\mu^{-1}(0)$ 上的切向量²⁷，且由 $\pi_*X = \pi_*X’’$ 知 $X - X’’ \in \ker \pi_*$。由于 $\pi: \mu^{-1}(0) \rightarrow \mu^{-1}(0)/G$ 是由自由的 $G$ 作用得到的商，这意味着存在某个 $Z \in \mathfrak{g}$ 使得²⁸

此时，对任意 $W \in T_p(\mu^{-1}(0))$ 有

其中最后一个等号使用了由 $W \in T_p(\mu^{-1}(0))$ 导出的关系²⁹

因此，

同样可得

故 $\omega_{\text{red}}$ 是良定义的。

由 $\omega_M$ 的非退化性和³⁰

可知，$\omega|_{\mu^{-1}(0)}$ ³¹的核的维数至多为 $\dim G$³²。另一方面，由 $G$ 作用的基本向量场张成的 $T(\mu^{-1}(0))$ 的子丛的维数为 $\dim G$，且该子丛包含于 $\omega|_{\mu^{-1}(0)}$ 的核中。因此，$\omega|_{\mu^{-1}(0)}$ 的核恰好由 $G$ 作用的基本向量场张成，从而 $\omega_{\text{red}}$ 是非退化的。³³

更一般地，对于余伴随轨道 $\mathcal{O} \subset \mathfrak{g}^*$，若考虑将其上的 Kostant-Kirillov 形式取反号后得到的辛结构，则动量映射变为包含映射带上负号。此时，其³⁴与辛流形 $(M, \omega)$的直积 $(M \times \mathcal{O}, \omega_M - \omega_\mathcal{O})$ 具有对角型的 Hamilton 作用

其动量映射由³⁵

给出。此时，记

并称之为 $M$ 在 $\mathcal{O} \subset \mathfrak{g}^*$ 处关于 $G$ 的辛商 (symplectic quotient) 或 Marsden-Weinstein 约化 (Marsden-Weinstein reduction)。通过改变 $\mathcal{O}$，可以对同一个 Hamilton 作用考虑各种不同的商。理解这些商之间的关系，无论在理论上还是应用上都是一个有趣且重要的问题。

译注