这个月笔记几乎是全勤，确实比较认真，因为有了点明确的方向，把Yamazaki的硕士博士论文都找来看了，打算继续看和李微老师合作的哪篇Quiver Yangian。这也是今年最后一年，明年也要继续努力学数学物理！

继续一整个月都在本乡学习

2025-12-01

学TQFT容易有两个误区，首先就是比如chern simons理论这种，如果一个理论作用量不含度规，那么是不是就是说这个理论是一个TQFT？这个问题的回答我觉得肯定是no，不然witten那篇wilson loop与Jones多项式的文章也就不需要大费周章去证明skein relation的存在性从而去证明$Z(S^3,L)$是一个纽结不变量了，就比如knot这个地方，路径积分其实是很依赖于Knot framing的选取的，是Witten证明了你总是有一个natural的framing的选取。总之不含度规只是告诉你很有可能是个TQFT，何况这种TQFT我们是叫施瓦茨type，你还有Witten Type这种构造中明显含度规的，我们是在用topological twist之后构造出来BRST算符，在上同调的意义上只剩下拓扑的一些信息了，相当于用twist把拓扑非平凡的谱砍掉了。

另外，今日☁️了一些公理量子场论，对为啥量子引力那边要求reflection positivity有了一些眉目。

今日晚上回家电车上看完基督山伯爵上册。看的周克希的译本，这书剧情还是比较爽的，不过看起来有些地方很累，第一是有一些文学上的大段细节叙述，显然我看不进去，特别是涉及到很多西方人看起来或许还能接受的比喻，到了国人这边看起来就很困惑，毕竟涉及到很多西方文化俚语以及神话故事。另外这个译本网上评价还是不错的，不过看这种西方小说难免有翻译腔的感觉，动不动就是“我的天主啊”，然后马上脑子里就会有小时候看的译制片的翻译腔的调调。。。

2025-12-02

brane和anti-brane在物理上的区别就是RR charge反号，如果你看耦合项：

这个$C_p\to -C_{p}$也可以解释为你把brane世界体的定向改了。这是这俩几何上的联系。

今天继续看Yamazaki硕士论文，很折磨，不过左查查右查查搞清楚了一个重要的argument。Yamazaki做的那个Brane Tiling的想法是推广probe ALE的做法，很早的时候大家发现我们可以把D3膜wrap到$\mathbb{C}^2/\Gamma$这个被称作ALE的Orbifold上去探测它的奇异性，得到的是一个4维的$\mathcal{N}=2$的SUSY quiver gauge theory。如果你wrap的是$\mathbb{C}^3/\Gamma$得到的就是6维$\mathcal{N}=1$的SUSY quiver gauge theory。总之就是我们可以用D膜去探测一些几何的奇点（注意我们不考虑D膜本身对几何的反作用，就像我们在讨论广义相对论里面的test particle一样），这些奇点会带给我们D膜上的场论。

一个稍微更广一些的描述就是去考虑toric CY3，然后我们把D3膜放到CY3的transverse的方向，也就是延展在CY3 localized 的那四个方向，然后研究上面的场。这个体系有一个NS5-D5的构造，就是把D5 wrap 到T2上，而且NS5 wrap T2的一个cycle。比如这里我们假设D5是012357方向延展的，T2在57方向，NS5在0123方向延展以及在4567方向有个二维超曲面，不过这个二维超曲面必须在57方向和T2相交于一个cycle。一个方便后面想象的方法是我们把这个NS5膜拆分成012345和012367两个NS5膜，各自wrap T2的两个独立的cycle，原先的一个NS5就相当于这两个玩意儿的叠加。

然后我们考虑把T2的两个方向全部取T对偶，D5 对到 D3，NS5的T对偶我们要这么看。首先注意到D0膜可以在M理论下等同于KK0，然后KK0膜有一个电磁对偶KK5 monopole，这是因为D0膜本身有D6膜作为电磁对偶。然后KK0膜在T对偶下会得到F1弦，同时NS5是F1的电磁对偶，所以我们可以预料到NS5是KK5的T对偶。不过如果对偶的不是transverse的方向，那么NS5还是不变的，只是从IIB到IIA的描述了。另外我们应当把KK5看作是一个几何对象，看作是一个纯粹几何上的物体，用Taub-NUT几何描述（这一点很像D6膜，但是D6并非纯几何，其带RR charge 还是一个膜，KK5虽然也带charge，但是那个规范场是KK紧化度规来的，所以本质上还是纯几何的，只是一个极不平凡的场方程的解）。hep-th/9805139，这篇文章的第四节告诉我们对于012345，我们dual 57两个方向之后得到的是6789四个方向延展的几何物体，对于012367dual之后得到的是4589四个方向延展的几何物体，合起来得到的就是一个456789方向延展的一个non-compact的CY3，然而别忘了D5 dual到的D3是在0123方向的，所以这恰恰正是前面吧D3放在CY3的transverse方向得到的几何。所以fivebrane和threebrane的描述从T对偶是联系起来的。不过这里面最关键的是NS5 brane和CY3 geometry根据T-duality是等价的，这似乎和Hanany-Witten brane construction有很大关系，不过我还没那个功力细细琢磨这篇文章。

今日晚上开GSGC交流会，下次这种会应该带电脑来，我以为很快的，结果搞了快两个小时。无所事事一点折磨，而且理学院看不到女生参加，符合我对理工男的想象（但是东大还是有不少本科女生学高能的）

另外今日inspire上随手查了下Simeon Hellerman，想看看他最近在干嘛，结果发现她竟然是Polchinski的学生，这下有Polchinski书里的问题就直接问他了，哈哈。

2025-12-03

今日下午reading group，如上次一样，我画了黑洞形成的Penrose Diagram然后被Yamazaki-san一直追问细节，我实在是忘了那个共形变换，因为Penrose Diagram虽然光线是直的，你确实很容易看这个系统有没有事件视界至少，而且分析因果结构也变得简单不少。但是一定要注意到我们在共形变换之后的体系的坐标和原始的时空坐标之间是差了个coordinate transformation的，稍不注意就会造成误读。而且Penrose Diagram在高维时候更要小心，注意我们有三种不同的无穷远，类空类时类光，这很subtle，第二就是图上的每一个点都是一个Sphere而不是一个真正的点。。。所以很多时候如果你脑子里面始终思考的是原先的coordinate，那你就一定要小心fix time的slice。。。上次Yamazaki san就卡了一会，这次Gi-wan画了一个加上黑洞蒸发的Penrose图，又卡住了，我给Yamazaki san看了梁老师书里面的图，还好Almheiri他们的review上配了time slice的图片。终于给我们搞懂了。

另外一方面是对Hawking Paradox的详细解释，或者说对Page Curve的解释。额这里面一个subtle的地方就是涉及到很多不同的熵。最原始的概念是微观上定义的我们叫细粒化熵，定义就是下面的冯诺伊曼熵：

从定义就能看到这是直接从微观态上面数，另一个熵相当于我们去看重整化之后的有效理论，就是假设我们只考虑整个体系里面的可观测量的一个子集，然后我们就可以选取一些reduce到这个子集上面的$\tilde\rho$，也就是说$\operatorname{Tr} \rho A=\operatorname{Tr} \tilde \rho A$。然后我们对每个reduce后的$\tilde\rho$定义细粒化熵，最后取最大值就是粗粒化熵。显然这是一种宏观有效场论，用黑洞事件视界面积算出来的熵就是热力学熵，是宏观的，其实就是黑洞的粗粒化熵。但是我们要小心，当我们谈论粗粒化熵的时候一定要加上我们是在讨论哪些可观测量子集。不过对于这里讨论的page curve来说我们不必要仔细区分这一点。唯一要知道的就是粗粒化熵一定不小于细粒化熵，这等价于粗粒化过程中我们丢失掉了一些信息。另外细粒化熵是演化不变的，所以对于一个纯态，始终就是0，也就是说始终要辐射的细粒化熵等于黑洞的细粒化熵。然后黑洞的粗粒化熵我们知道一直是递减的，问题就在于辐射的细粒化熵，我们希望这个曲线一直在黑洞的下方，但是Hawking最早semi-classical层面上对辐射的细粒化熵的计算是始终递增的，那么就意味着我们的纯态的要求肯定在黑洞的粗粒化熵以及辐射的细粒化熵（Hawking naive的计算结果，这个时候也尝尝被称为semi-classical熵）相等的那个点之后被破坏了，所以我们期望在这之后量子引力会对Hawking naive的计算进行修正，保证得到的曲线一定是黑洞粗粒化熵的下方，这就是所谓的Page Curve，量子引力最重要的问题就是计算这个page curve。所以在我们的这个讨论中虽然涉及到黑洞的粗粒化熵，但是完全不必谈及辐射的粗粒化熵，我说过，当你在谈论粗粒化熵的时候你一定谈你所说的可观测量子集是什么。硬要说的话我们可以吧Hawking semi-classical计算得到的熵相对于真正的page curve描述的精确的辐射的细粒化熵看作是一种对应的粗粒化熵。

另外今日reading group结束后与Yamazaki讨论了oriented配边里面subtle的地方，我已经记在上个月21日随笔里面了。

2025-12-04

昨天其实还问了一下Yamazaki关于为什么数学上TQFT要求Hilbert space是有限维的但是大家在做物理TQFT的时候并没有这个规定，那为什么大家还能在很多时候使用范畴论研究TQFT，例如任意子。答案其实很简单，物理上大家从来不会认为TQFT是真正的实际理论，就像我们不会认为CFT是全部的理论一样，很多时候都是在IR或者说低温极限下，当我们只考虑基态的时候，理论会退化到CFT或者TQFT作为有效理论，而这个时候Hilbert space退化到只有基态了，所以就是1d的有限维，这恰恰解释了为什么我们可以用范畴论做凝聚态！

我昨天还问了为什么NS5膜和CY3之间可以对应起来，他跟我讲了Buscher rule之类的，不过我没太听懂，今天看了一下Buscher rule，原来就是非平凡背景下弦$T$对偶的变换规则，和我之间看BBS知道的是一回事，也就是首先用下面的分解：

然后自然就会出来一个规范场$v_1$，因为在$x^9$方向的坐标变换下度规要保持不变，这个玩意儿必须模去一个恰当形式。我们关心的就是T对偶下非平凡NS-NS背景，也就是几何$G_{\mu\nu}$和NS荷$B_{\mu\nu}$的变换关系，是如何互换的，上面已经对几何进行了拆分，顺势可以对B-field也进行拆分：

Buscher rule就是告诉你在$x^9$方向的T-dual得到的变换是：

这和BBS上面的形式不一样，我是用Yamazaki上面的更加fancy的写法，更一般的讨论还得是看Yin Xi老师的讲义。而toric CY3这个几何背景下几何部分的信息一部分就会转化为B-field的信息，具体来说就是会存在一些类似domain wall的东西，就是T dual之后你发现空间被分成了一堆扇区，跨越wall的时候会带来B-field的突变，这正意味着在某些地方有NS荷，而NS荷显然只能用NS5 brane来承担，所以我们就认为CY3几何T-dual（准确来说是两次）之后就会得到一些NS5 brane的插入。BBS上面会用分量形式写上面的变换规则，能更清晰地看到几何和NS荷之间的转换：

今天reading group结束后和Kei讨论了下关于定向配边subtle的问题，我说服了他。。。另外还和Gi-wan锐评了AdS/流体，而且我才知道原来韩国也过中秋和春节，而且是韩国最重要的节日。不过日本现在是过公历年了。

2025-12-05

最近重温场论看到了LSZ公式，想起来以前提过的一个问题。实际上定义S矩阵是很微妙的（注意我避免使用散射振幅这个词），因为我们需要in和out渐进态，然后LSZ公式告诉我们这个in-out框架下的S矩阵计算可以转化为通过关联函数计算但是外腿on-shell得到的截肢图再乘上LK谱给出的场强重整化因子得到。

But有很多理论没有这种in-out formalism，甚至CFT这种我们都没办法定义渐进态。。。那为什么散射振幅社区还要把比如CFT的$\mathcal{N}=4$ SYM作为研究对象呢？答案很简单，我们只是在计算费曼图拼起来得到的散射振幅，那个$\mathcal{M}$罢了，并不奢望他就真的能解释为体系的S矩阵，毕竟我说了，这个体系是没有渐进态的定义的。。。

今天晚上看完风之谷，还行，不过目前来看还是听见涛声这种最让我看得爽。

2025-12-06

今日晚上看完侧耳倾听，这个爱情故事完全无法让我感受到共鸣之类的，除了图书卡寻人让我想起来情书。豆瓣上这个评分比听见涛声高，可能是因为这个片子对人物塑造的还是不错吧。不过这个爱情故事莫名其妙，科幻，还有点幼稚。（如果我是初高中看的我应该很吃这一套）

额，玩物丧志，今天本来打算学日语晚上，结果打开缺氧直接玩了五个小时，看来明天也去不了学校了，在家里继续看Yamazaki硕士论文吧。有一说一，之前尝试过看这篇硕士论文看不太懂，现在有了AI，而且我还看过BBS☁️了不少D膜的内容，AI的话不能全信但是他至少能告诉我在哪里能找到我想知道的东西，比以前漫无边际搜文献效率高了不少。这文章还是挺好看的我觉得，虽然技术细节不能完全弄懂，不过至少这玩意儿还蛮技术的，找到了学散射振幅时候的感觉。

2025-12-07

我对冯波老师的印象完全停留在散射振幅方面，没想到冯老师早年和Hanany，Vafa，Yang-Hui He等人还做过brane construction的工作。最近看我导师的硕士论文学brane tiling我才注意到这一点。冯老师不愧是MIT高材生，做什么都能做的好。

mud时间过得好快，今天十二月第一周都已经结束了，我原来已经一整个月没有看辛几何做翻译了，重新捡起来感觉有点难了，导致最近网站更新都只能用随笔凑数，希望回国前能把第七章翻译做完。

另外提一嘴，本来我是计划单数天的早上学弦论，双数天的早上学复几何，本来已经度过了第一章非常艰难的复分析的道路。后来我和Yamazaki聊天，他告诉我没必要学那么多数学现在（确实，我不是他这种牛逼人士），毕竟不可能竞争过真正的数学家。我看了他的论文才发现，他真的都是从物理上出发想问题的，只是有些地方用了很数学的表达，不过问问chatgpt大概都能懂在说什么，真正难的是物理这边，是D brane，NS brane这种的理解。所以我目前已经很久都没有碰复几何了，就用看陈省身还记得的一点点东西凑活。弦论学起来对于我来说太费劲了，即便是我看过BBS，真开始读Polchinski第二卷还是有很多句子没办法读懂。所以我目前还是把更多精力放在物理这边，数学不会了相信Yamazaki会帮我。

2025-12-08

放弃挣扎了，之前Polchinski第一卷看到tadpole的消去的时候就云里雾里，今天用了两个小时试图看懂Type I弦tadpole的消去，失败了，mud上面写的对我来说还是太简略了，我还是记住结论然后思考今天吃什么吧。。。

果然Blumenhagen上面的讨论更加细致一些，但我懒得看了，它的convention有点迷其实，我还是直接看Xi Yin的弦论讲义吧。。。

今天晚上无意中发现了竟然还有Noether第二定理这种东西。其实就是告诉你如果对称性不是全局的，是local的，这个时候不会给你任何on-shell的守恒流，而只是告诉你体系实际上是个约束体系，EL方程不独立。比如我们都知道规范理论和广义相对论里面都会额外多一个运动方程之外的Bianchi恒等式，就是这一点的体现。

另外本来打算看一个小时TQFT的，结果查了一个小时文献查来查去回到了Yamazaki的博士论文，mud写的感觉比硕士论文还好。mud越来越觉得他牛逼，等我这几天硕士论文看的差不多了我就去看他的博士论文学crystal melting。不过brane tiling一个联系强耦合和弱耦合的重要的technical detail我还没学懂，就是怎么用untwist从强耦合回到弱耦合，感觉还得看冯老师的原论文，不过他们是用D3放在CY3上去描述的，然后用镜像对称的D6体系去描述，这个我就不懂了，并不是用brane tiling这边T对偶后得到的Fivebrane描述的。

2025-12-09

今天晚上花了一点时间推了一遍海森堡自旋链的Bethe Ansatz。看的是AdS里面可积性相关综述里面的介绍，不过我觉得1606.02950也不错的，而且很简短，今年十月份Cambridge出版了一本Bethe ansatz的教科书，也可以看看做参考。总归来说这玩意儿可以算是一种非常巧妙的构建（猜出）波函数的方法，然后快速求解海森堡自旋链。和bootstrap里面ansatz其实一样的用法，核心的想法就是自旋链在一维圆周上定义，相当于在圆周上放了一圈粒子，然后核心的trick就是假设有一个辅助粒子，然后把所有的粒子全部撞一遍，每撞一次肯定就会得到一个S矩阵给出的东西，但是由于是周期的（非周期的也有Bethe拟设的解法，叫扭Bethe拟设），所以最后乘起来要是1，也就是没变，这个就是bethe拟设的一般性想法，不过得到的是个算符方程，具体问题要具体分析把他化成代数方程，这就叫代数bethe拟设。这里头的可积性体现在前面我说的撞击对应的S矩阵，这里叫做R矩阵，满足YBE。这和2维场论啥的可积性一样的道理。你要说无穷维对称性或者说守恒量在哪里，那就是你用R矩阵乘起来得到的转移矩阵$T$矩阵和$R$矩阵之间满足RTT关系，这不是新的东西，是YBE或者说可积性告诉你的，只是这个方程能更好的看出来实际上等价于不同谱参数的T矩阵对易。然而我们知道谱参数是连续的，这就意味着有无穷多的守恒量。对于XXX海森堡自旋链，Bethe拟设划归为求解下面的方程的问题：

对于一般的XXX自旋链，最后要选取$u_i$全部是0，注意这些$u_i$是人为选的参数，你可以任意选，当然求出来的解也就依赖于你的选取，但是最后回到关注的XXX自旋链模型要选取$u_i\to 0$极限。注意理解这个方程，这个方程是从ansatz然后分析自洽性得到的，也就是说如果这个方程满足，那么任何一个解我都可以对应到一个确实是哈密顿量本征态的ansatz给出的态，本征能量是：

但是这并不代表所有的谱都是从ansatz来的，实际上这一点并没有严格的证明，不过有大量迹象表明对于海森堡自旋链，bethe ansatz给出的应该就是所有的谱，对于加上一些限制条件的情形有严格证明。另外这个方程的求解可以用计算代数几何的方法，详见江云峰老师和张扬老师的工作。

有个比较subtle的地方。学CFT的时候，如果你学2d的CFT，那么你就会发现有local和global两种CFT。首先毋庸置疑，根据Noether定理，这些global的symmetry会给我们守恒荷，所以肯定是ture symmetry。问题就在于2d相比于高维情况下多出来的local的这些变换，似乎按照Noether的说法他们不会给出守恒荷，只是规范冗余。这个其实取决于你的运用场景，如果你单纯讲CFT，这个时候我们注意都是选取一个固定的时空背景度规，共形变换是要作用在时空背景上的，也就是说背景度规并非“规范场”，并不是路径积分中的动力学变量，所以虽然我们有这个局域的对称性，但是我们并没有通过求和规范场认同两个对称性联系的场构型把他给gauge掉。所以确确实实这是系统真正有的对称性，可以给我们更多的守恒荷。实际上这从我们确确实实有Ward恒等式也可以看出这一点。到了高维没那么幸运，共形群本身就是global那一撮有限的，所以我们可以认为是2d很特殊把global的对称性lift到了local的对称性。

但是如果我们把时空背景看成动力学的，也就是说我们是在考虑弦论这种量子引力模型，这个时候我们要对世界面上的度规求和并除去Diff$\times$Weyl，那我们就真正的把这些local的对称性给gauge掉了，他确实成为了我们路径积分时候的冗余，这从我们计算弦振幅需要鬼场消去冗余并除去CKG就能看出来。而且量子化的时候我们确实加了要求世界面上能动张量Vanishing带来的$(L_n+A\delta_{0,n})_{n\geq 0}\ket{0}=0$的Gupta量子化条件。不妨看看这个回答。

2025-12-10

对弦论的扩充一个重要的手段就是考虑对世界面CFT的扩充。我之前经常困惑我什么我们只加一个2d的MW费米子从而让世界面有N=1的超对称去构造超弦，而不是加更多超对称。首先世界面超对称或者说超共形和共形一样都是gauge symmetry，因为度规是动力学变量，我们把对称性gauge掉了。所以我们需要加入鬼场，更高的SUSY会对鬼场中心荷作出改变，倘若我们考虑N=4的最大SUSY，你会发现鬼场中心荷为0（甚至是正的），这意味着我们没有物质场（甚至无论如何都无法抵消中心荷，恒定有Weyl反常）。如果你考虑低一点的N=2超对称，你心中一阵狂喜发现抵消鬼场中心荷这个时候只需要在4d就好了，这正是我们看到的维数！绝望的是这个时候没有Lorenz symmetry，时空signature要么是(2,2)，要么是纯粹Euclidean，反正不会是Minkowski。这一点已经说明了与真实世界相关的可能性微乎其微。雪上加霜的是，由于我们多了超对称，维数反而还降低了，这意味着能用来生成态的算符变少，但是超对称变多了我们需要固定更多的规范，然后你会发现所有的自由度全部被fix了，也就是说没有任何算符能帮助你生成态，这个理论的谱比较平凡只剩下massless的动量mode。所以物理上这个理论看起来没那么有用。

这让我想起来在string-math上我和名古屋的学长有过一些交流，提到了关于N=2超弦的事情，没想到学长博士毕业论文就打算写这方面的内容。他告知我这个弦论实际上会等价于(2,2)signature下的self-dual的SYM/SUGRA（顺便说一下这个记号有点恼火，因为N=2的SUSY在SCFT那边因为可以分成全纯饭全纯两个chiral部分，所以也记做(2,2)）。今天查了一下没想到是Ooguri和Vafa一起做的这个工作，下面是重要的几篇文献，等我哪天有时间了拜读一下。

• $\mathcal{N}=2 (4)$ string theory is self-dual  $\mathcal{N}=4$ Yang-Mills theory
• $\mathcal{N} = 2$ heterotic strings
• Geometry of  $\mathcal{N} = 2 $ strings

Peskin前面讲重整化，很历史顺序只能说，在了解现代QFT的情况下可能有点不习惯。我们一定要把自己想象成费曼施温格这种人（好吧这很假），看看他们怎么想重整化的。我们讲QED的重整化，让我们不扯抵消项这种后面才有的东西，让我们直接从裸微扰论出发，吃原汁原味的重整化。首先最简单的是电子质量和场强修正，也就是电子传播子修正。众所周知，传播子形式上和原先一模一样，你需要做的只是把质量从裸的不可观测的质量，我们认为其实是无穷大的质量替换成1PI图修正后的质量，根据KL谱表示我们知道这就是有限大的物理质量，1PI图的发散和裸量的无穷大抵消掉（虽然我们没有引入抵消项具体说明这是怎么抵消的，但是毕竟是裸微扰论，凑合看吧）。另外就是极点的留数也变了，或者说我们计算出了KL谱里面待定的极点留数。LSZ告诉我们这玩意得乘到S矩阵里面。所以这个重整化其实做了个寂寞，因他告诉我们量子的圈图修正实际上完全等价于把质量和场强重新scale一下，或者说完全等价于你继续只考虑数图，但是把质量换成物理质量，LSZ的时候多乘个因子。那这根本就没可观测效应好吧，这只是告诉了我们圈图发散不用慌，裸量会和他结合得到物理可观测质量。但是振幅形状没变化。

Pesikin随后开始讲真空极化，也就是光子传播子的修正，注意到这里会把传播子的电荷替换成$e_0$。同样的类似前面我们诉诸于物理上的KL谱来解释裸量的变化，我们诉诸于物理，可以知道在低能情况下，观测到的物理电荷等价于$e_0/(1-\Pi(0))$。所以同样的电荷被我们重整化了，但是依旧没有可观测的效应，跟前面一样，这只是重参数了一下。如果理论是这样，那么QFT很trivial了，量子理论没有量子可观测效应！然而注意到即便是我们这样重参数后消去无穷大，依旧还剩下一个依赖于能标的因子$(1-\Pi(0))/(1-\Pi(q^2))$。注意这个因子是没法通过你之前那样重参数化给完全吸收掉的（但是幸运的是他是有限的，在电荷重整化之后，这个因子的出现完全是有限的，这也和可重整理论的发散全部吸收进系数里面了一致），他还和散射的运动学有关，所以这会导致振幅会被真正的物理可观测的修正。等价于观测到的耦合常数随着能标在跑动（就是你假设还是在算树图，用有效的方式描述量子修正，显然这相当于耦合参数多了个运动学相关的因子）是这个因子给的我们影响（当然这不影响我们前面说的物理电荷修正，物理电荷我们是用低能的物理去argue的，所以那个重整化系数是动量为0时候固定的，不像现在是和运动学有关的东西）

这就很有意思了，这说明实验上我们应该就能看到散射截面的形状发生变化了，低能情况下就相当于势能形状发生了变化，而不是仅仅乘上了一些缩放因子。

另外，不知道大家喜不喜欢“量子修正”这个词。我觉得这是裸微扰论的遗留，因为实际上你重整化只是把原先的作用量分成了两个part，抵消项大家叫量子修正。但是我的观点是你作用量本身并没有变成裸的拉氏量加上一些东西，所以修正在哪？你修正后的拉氏量依旧是要算圈图考虑量子效应的，只是你提前加入抵消项把无穷大与有限的可观测效应分离了，所以这时候再算圈图就没有发散。我觉得更贴近量子修正的或许是量子有效作用量，因为这个时候你是真正的把所有圈图全部打包成一个经典作用量，这个作用量考虑经典树图就能得到完整的微扰论结果。

2025-12-11

重新看了一遍no-ghost theorem，证明的技术性细节无所谓，但是结论很重要，终于搞清楚DDF operator了，之前Polchinski由于DDF并不是直接放到no-ghost theorem后面讲的，所以导致我后面再去看DDF的时候没有仔细想其中的联系。

其实就是我们知道no-ghost定理说了一件这样的代数上的事情（下面全部假设只考虑开弦全纯部分）：¹

第一个同构具体构造十分简单，就是：

这里我用$X$上标表示物质场CFT生成的一些算符之类的东西。根据OCQ那边的描述这个$V^X$就是共形权为1的初级场。但是第二个同构的构造不是trivial的，或许是因为第一个等式两边都是用同调定义的，证明的时候也容易一些，不过第二个我们证明需要构造一些中间算符，比如我们证明的实际上是：

其中定义：

然后由此说明BRST上同调中鬼场激发只有$c$带来的真空态的改变，而且物质场的mode也会把光锥方向的激发砍掉。所以并非直接的构造性证明，而证明OCQ和BRST上同调我们是直接用前面给出的对应构造同构，所以能否找到一个直接的从OCQ到BRST的同构映射？这其实是non-trivial的，因为我们企图从一个Lorenz非协变的谱通过类似态算符对应的方式构造一个Lorenz协变的谱，答案是下面的DDF算符构造：

他满足和Virasoro模对易而且有和$\alpha$一样的对易关系$[A_n^i,A_m^j]=\delta^{ij}n\delta_{n,-m}$。那么光锥坐标下的谱和BRST谱就有下面的对应关系：

$k’$可以通过光锥坐标下的$k$以及质量，或者说level反解出来：

superstring也有no-ghost定理，不过那个时候我们都是考虑OCQ和BRST，那个对应关系也是trivial的，我似乎没见过在世界面上用光锥去处理superstring的，毕竟这个时候如果在世界面上写下GSO投影也是一个难题或许。要说在光锥坐标下那就是直接用GS弦去讨论，但是GS弦又只能在光锥坐标下量子化，我目前还不知道超弦有没有玻色弦这样类似的DDF算符。

瞎几把逛Youtube发现了专门关心SUSY场论膜构造的频道@QuiverMeetings，搜了下发现竟然是鼻祖级人物Hanany组织的，quiver meetings。

另外今天晚上吃完饭去组里图书角闲逛，意外发现在00年左右竟然有日本所有高能方向的研究组的名目，翻了下东京大学的。泰山，Yuji，高柳匡以及Hamaguchi赫然在目。里面有不少老熟人了。有趣的是不少人都会在后面注明自己的兴趣爱好。Hamaguchi写的是喜欢午休和喝酒，这确实从party上能看出来，哈哈😂。我还看到有的人写$E_8$、妻的笑颜，甚至还有些临死体验的😂。可惜组里最晚的也只有02年的名目了，不知道现在还有没有这种名目，想看看剩下的一些当代大佬年轻时写的爱好😂。

2025-12-12

今天下午reading group结束，超对称的计算还是太复杂了。碰见苗原和康哥，就索性聊会天然后去上野聚餐，聚餐时聊到Yau，顺而聊到Fukaya，然后聊到物理系这边的辛几何专家Ueda，我知道Ueda是Yamazaki最早的一批合作者，今天才知道他的名字原来就是植田一石，而我正巧正在看他那本辛几何的书并且翻译（当然已经一个月没看了。。。）。非常开心的周五啊！

晚上回家看完起风了，电影名的意思或许是想表达男主的“虽有疾风起，唯有梦不离”的一生。我觉得这应该算是少有的宫崎骏的片子里面结局不完美的片子了。我看的过程中觉得这是宫崎骏的片子，女主或许还有机会抢救一下，高原吸氧信一手。不过结局女主还是死了，里面的一些台词还是罗曼蒂克令人动容。比如女主说会传染，男主只是不停的说你真美（当然这也是一个伏笔，男主对女主的评价一直是“美”，而女主确实一直是美的，直到因为化妆也无法掩饰病情带来的不美后主动离开）后接吻，女主最后知道自己大限将至回到山里等死，管家说只把自己最美的一面留给最爱的人。最后再来呼应主题，总之就是想描述主角因风而起的梦想，因风而起的爱情，最后得到了梦想却又失去了自己的挚爱，确实，追逐梦想总是要放弃一些东西。

不过中间看的还是很不舒服，毕竟中途真有点“老婆在咳血我还在房间里抽烟的工科屌丝男的故事”的感觉。虽然确实女主的病肯定就治不好，确实我们客观来讲确实不上山直接一起生活会让两人都舒服一段时间。男主让女主别治疗了一起生活，同时男主还不需要放弃梦想，在旁人看来确实就非常自私。我只能说女主绝世大好人，男主碰上这样的女主就偷着乐吧。Anyway，我只能说如果是我的话肯定就直接上山陪老婆了。只能说去感受老宫想表达的意思吧（或者说重点是去关注男主追求梦想的过程，而不是像我这种脑残CP粉一样过度关注这俩之间的爱情）。看起来还行，不过中间有一些情节我看的不舒服（因为每次看这种片子，我就会觉得太悲哀了，要是我是男主，碰见这种和龙与虎里面一样的不辞而别，我直接心碎不想活了。他妈的虽然这种女主的病的故事确实老套，但是就是会觉得很悲啊）所以只能给到四星。另外附上宫崎骏本人对男主的解释：

「自分の夢に忠実にまっすぐ進んだ人物を描きたいのである。夢は狂気をはらむ、その毒もかくしてはならない。美しすぎるものへの帰れは、人生の罠でもある。美に傾く代償は少くない。二郎はズタズタにひきさかれ、挫折し、設計者人生をたちきられる。それにもかかわらず、二郎は独創性と才能においてもっとも抜きんでていた人間である。それを描こうというのである。」

最后男主的配音竟然是庵野秀明我去，这他妈后期调音师的工作量我都不敢想。另外这电影有很多批评说是在给设计飞机的二战罪犯招魂，我不想讨论这一点，这个电影的细节无处不在强调男主设计飞机单纯只是为了飞机的“美”，多次强调如果飞机不用于战争会更好，但男主为了梦想只能与军方妥协。所以我觉得肯定不算是招魂片。

关于这个电影其实还有一个背景，首先主角的经历原型确实是零式战斗机设计师堀越二郎，但是现实生活中他的感情经历没有那么传奇，倒是有一本书「風立ちぬ」，这本书并不讲战斗机之类的，但确实是作者堀辰雄写给得了结核的亡妻的，不过这俩人都得了结核，都在高原吸氧养病，最后双双离世。宫老头属于是把这俩人经历结合了。

2025-12-13

我一直天真的以为NS5由于不带RR charge，所以不会有RR耦合出现从而完全不会在拉格朗日量里面看到这个玩意儿。事实证明我错了。我觉得完全可以从其S对偶D5膜来看，我们来看一下D5膜有哪些东西。首先因为D5膜上面有F1膜的终止，所以上面世界体方向上会有$A^\mu$场出现，然后根据D膜带来的边界条件，或者说从T对偶的想法上看transverse的方向是紧致化了的，所以我们可以预料到collective坐标，也就是transverse方向会出现$\Phi$标量场 ，这就是经典的DBI作用量低能的YMs的配置。But D膜可以带RR chage所以Dp膜可以和$C_{p+1}$通过CS term进来$\mu_{p}\int C_{p+1}$的耦合项。然后我忘记了一个关键的事情就是如果背景非平凡，有$B\neq 0$（其实世界面上F也可以），那么CS项会扩展为：

也就是说D膜完全是可以允许更低形式的RR场进来的。但是他只带$\mu_p$荷，所以前面只会乘一个单独的系数，也就是说比如D5膜只能作为$C_6$的源，你把其他的guage field都关掉之后，D brane不会作为那些field的源出现。这是关键。同样的D膜上面虽然不会有NS的charge，但是这并不意味着他拉格朗日量不会出现$G_{\mu\nu}$以及$B_{\mu\nu}$的项，DBI作用量里面那么明晃晃的背景里面的这俩玩意儿到世界面的拉回。

同样的，根据对偶，我们应当预期这些场也会出现，比如NS5上面的$U(1)$规范场$A^{\mu}$以及$C_2$，你可以用D1膜在上面的终止来看，但是NS5不会有C2的charge，所以你关掉这些gauge field他不会作为源出现。另外如果背景完全平凡的话，也就是没有D1膜作为源提供背景的$C_2$的话，那么NS5膜上就会有$dA=0$。Anyway，通过T对偶，更低的RR场还是可以进来作用量的。这部分感觉还是有点不太懂，等我看看Johnson写的D-brane至少学一下玻色弦的D膜有效作用量具体怎么来的，感觉BBS还是写的太简略了有些地方没学太明白，另外1209.6056上面总结了弦论里面的brane的表，1110.2422总结了D膜以及M膜的有效作用量，不过没有NS膜的。文献hep-th/9806169倒是把type II的NS5的作用量总结出来了²。

今天晚上看完红猪，我怎么感觉宫崎骏的电影的好看程度和知名度是成反比的？这片子我觉得应当算冷门了，但是我觉得这片子是真的不错，可能知名度高的是给小孩看的。冷门的反而是宫崎骏真正想做出来表达自己内心思想给成年人看的。结尾是开放性的，和起风了一样，算是宫崎骏的结局里面不那么完美的了。如果你想让你内心好受一点，你可以选择相信结尾的这张图右边的红色飞机是猪哥的飞机：

然后选择相信最后结尾女主不再出现在亭子里面是因为猪哥确实来找女主了，女主打赌成功了。而菲尔说的那句红猪不再出现是因为红猪变成人形生活下去了。当然你也可以认为主角变成猪是为了逃避和吉娜的情感，想自由的活在这时间，到结尾他不在逃避也就变回了人类。这确实逻辑上也能解释的通，可以看作是隐藏结局来接受，让这个不完美的故事变得完美。

不过不完美的结局确实看起来有感觉一些，虽然到最后都是看得难受。。。

2025-12-14

去新宿看了疯狂动物城，英语太渣不能完全听明白，不过笑点还是把握住，动画片而且迪斯尼的动画片，剧情无所谓的，主打个欢乐就是了。另外日本人似乎都会等演员表完全播完电影到最后一秒的时候电影灯才会亮大家才往外走（与东京焦点访谈说的一致🤐）。

2025-12-15

还有一些细节没弄懂，不过算是看完Yamazaki的硕士论文了，接下来打算看看博士论文并且马马虎虎学一点拓扑弦，不一定用拓扑弦真正算东西，不过我得知道是什么，学的过程中顺便还能进一步加深对Chern-Simons的理解。Yamazaki这篇硕士论文两个应用，一个是用于AdS5/CFT4的检验，另一个是同调镜对称的检验。其实我觉得第一个和brane-tiling本身关系不大，其实还是在做场论。第二个是确确实实用brane的观点做事情，不过里头的数学我还没有真正理解，但是AdS5/CFT4那边的检验还是很有意思而且场论上也很general的事情，所以这里还是记一下（似乎这部分并不是Yamazaki做的事情）³

其实想法很简单，就是根一般的AdS5/CFT4一样，只是原始的时候我们是考虑那些D3 brane在平直时空里面，所以附近的背景是AdS5$\times S^5$，D3 brane上面的场论就是$\mathcal{N}=4$的SYM。现在我们就要考虑并非平直时空背景，比如这里我们就考虑的是D3 brane放在toric CY3 cone的锥顶上面，几何形状由下面所示：

这个CY3 cone的构造是以一个Sasaki-Einstein流形作为底给出的cone，也就是：

首先几何这边一侧，或者说bulk一侧，我们考虑的背景就变成了AdS5$\times S$，五维球面就是一类特殊的Sasaki-Einstein流形，那我们bulk这一侧就是这个背景下的type IIB弦的量子引力理论。而boundary上面也就是说我们要去考虑D3膜上的规范理论，由于背景流形现在比较丑，所以可以预料到会打破一些超对称，这其实也是AdS/CFT工程的一个非常重要的方向，就是AdS5/CFT4成立是不是依赖于其最大时空对称性，如果丢掉一些对称性，考虑超对称更低的理论还存不存在这种漂亮的对偶？brane tiling在这个验证中最重要的是在setup验证阶段，就是告诉我们D3 brane上面的场论是quiver gauge theory，这很容易想，因为D3 brane的描述T-dual两次就得到等价的fivebrane的描述了，这就是brane tiling上面给任意一个toric几何我们可以得到对应的quiver gauge长啥样。后面要做的就是给一个背景toric CY3，研究其与boundary的quiver gauge 的联系。完全验证对偶肯定难度很大，大家做的实际上是验证下面的事情：

左侧很好理解就是Sasaki-Einstein流形的体积，先解释右边，右边的$a$是gauge theory的中心荷，这玩意儿就类似于Zamolodchikov的二维QFT的c-theorem的在四维的类似物，大家一般叫a-theorem。定义就是在弯曲背景上考虑4维QFT，会出现trace anomaly，前面的系数就定义为中心荷：

那我们肯定要计算$a$，不过这个证明的聪明之处是把求a的问题改成一个泛函最优化问题，可以证明就是要在下面的约束条件下：

第一个条件是对每个quiver的面上面的edge，也就是我们给每个规范场一个R-charge，但是我们事先不知道R-charge具体是多少，这是一个d.o.f。然后每个面实际上是告诉我们，而第二个是对每个顶点上面连的edge，这个要求是会让NSVZ beta函数为0。这告诉我们理论（只考虑规范场和bifundamental 物质场时）在IR不动点附近是强耦合CFT，而我们考虑的quiver gauge就是这个CFT在加上超势的微扰。总之，最后我们要做的就是在这个约束下最大化下面的泛函：

这里$N_G$是规范群的数目，或者说quiver的顶点个数。但是我其实对这个式子是抱有疑虑的，因为原则上这个$a$应当是和规范群的rank $N$有关的，可以见Yuji的$\mathcal{N=1}$动力学的讲义，里面就明确以SQCD为例子告诉了你中心荷的计算。而反过来你看bulk-boundary对应的公式，全然看不到规范群的rank是怎么进来的，所以这里我其实抱有疑虑，上面的这个式子我仔细推敲觉得之能在$N=1$的情况下成立，或者说只有一个D3 brane。

然后是bulk那边，虽然这个式子好理解的多，但是实际上我们对Sasaki-Einstein流形是知之甚少的，首先Sasaki的意思就是说以这个为底边构造出来的cone是凯勒流形，Einstein就是进一步要求是Ricci平坦，那显然合起来就是要求cone是CY。话是这么说，但是给你一个toric CY3，写下他的Sasaki-Einstein底流形的度规是特别困难的一件事情，而$Y^{p,q}$和$L^{a,b,c}$这两类研究的最清楚，其度规我们都知道，我们可以one by one计算出体积，然后再去对，但是证明的艺术并非如此。Yau与其合作者在hep-th/0603021里面把任意Toric CY3对应的Sasaki-Einstein流形的体积写成了泛函问题：

$b$是作为自由度的向量，$v$是完全由toric diagram给定的。我们要做的是极小化这个泛函。这是个泛函问题来源于Sasaki-Einstein流形本身其实也是Einstein流形，就是作为Einstein场方程的解，所以其度规求解本质上是在边界条件下极小化EH作用量，而EH作用量又正比于体积。再利用Sasaki-Einstein流形的性质可以把无限维的度规信息转换为只依赖于有限维的一些向量场（Reeb 向量场）信息。进一步对于Toric情况向量场可以简化为一个向量，也就是这里的$b$。而且toric情况下的CY好理解正是以为内他是toric fibration，上面自带一些toric的作用，而这些作用又会继承到Sasaki-Einstein底上，这些对称性能帮助我们直接从localization计算体积，从而精确的找到这个泛函。

那问题就清晰了，我们下一步就是要针对quiver diagram进一步研究a-function，既然两边都是极值问题，那我们只需要证明两个泛函问题本质上等价就好了，这就是证明的大致思路。不得不说还是很聪明的。而且一劳永逸，当然实际上里面的技术细节是非常麻烦的。

2025-12-16

今天看了Polchinski才发现Heterotic弦的内容真的丰富，远远不止$SO(32)$和$E_8\times E_8$。我们关注这两个纯粹是因为他们是tachyon-free而且SUSY的。有趣的就在于那些左手$SO(32)$内禀对称性的费米子，我们可以对他们进行不同的分组，给不同的边界条件，从而进行不同的GSO投影，其实就是在对不同的twisted sector进行组合，但是组合的结果给出的一圈配分函数还要有模不变性理论才自洽，才能认可这确实是合理的GSO投影。右手由于那些费米子是被时空的$SO(9,1)$联系起来的，所以一整个就是不可拆分的group，所以可玩性比较低。除了上面两个看起来和物理世界更加有关系的理论，我们还可以构造$SO(16)\times SO(16)$的tachyon-free但是没有SUSY的理论，以及剩下的六个tachyonic而且没有SUSY的理论，见论文Classification of closed-fermionic-string models里面的图：

比如这个$SO(16)\times E_8$和$E_8\times E_8$一样都是把32个费米子group成$16+16$，前面那个16的费米数算符我们记为$F_1$，剩下的记为$F_1’$，以及右手的$\tilde F$。$E_8\times E_8$我们是要求：

但是对于$SO(16)\times E_8$我们是要求：

显然这比之前那个要多下面的谱：

这个谱是tachyonic的也很容易看出来，注意到RNS弦的正规排序常数是：

左手的排序算符计算根据下式进行：

对于这里我们知道：

显然可能产生tachyon的只有第一个，而且根据level match，只能是：

显然这个是在$SO(16)\times E_8$的$(16_v,1)$表示里面的16个tachyon自由度，我们看一下满不满足GSO投影。首先因为右边有鬼场，所以$\mathrm{exp}(\pi i \tilde F)=-1$。由于$\lambda^B$的插入，而且注意到左边的费米场是没有鬼场的，鬼场仍旧是左手玻色子对应的bc鬼场，对fermion真空没影响，所以$\mathrm{exp}(\pi i F)=1$，$\mathrm{exp}(\pi i F’)=-1$，这正好是多出来的那个sector，这也说明原先的$E_8\times E_8$ GSO投影干掉了tachyon。再比如$SO(24)\times SO(8)$，就是把费米子分成24+8，同样定义$F_1$和$F_1’$。这个时候我们要求GSO投影同样是：

同样多了一个sector，唯一的不同是正规排序：

前面两个sector都可能产生tachyon，给出的态是：

这里$a$是$\mathrm{Spin}(8)$的Majorana表示，16维。第一个态有$\mathrm{exp}(\pi i \tilde F)=-1$，$\mathrm{exp}(\pi i F)=1$，R-sector可以分成$\mathrm{exp}(\pi i F_1’)=\pm1$的两部分$8\oplus 8’$，也就是Majorana表示到MW表示。GSO投影自洽的就是$8’$那一部分，给出了$SO(24)\times SO(8)$的$(1,8’)$表示下的8个tachyon自由度。而剩下的一个态$\mathrm{exp}(\pi i F_1’)=1$，不满足GSO投影。⁴

甚至可以最极端，把左右手的费米子总共$42$个（当然有两个是横向的非物理分量）全部看成一体，要么一起NS要么一起R，然后要求：

在Polchinski书上这叫least twisted，其实就是上面表里面的$SO(32)$，而$SO(32)$杂交弦是增加了一个$\exp(\pi i \tilde{F})=1$的要求，可以看到这俩的区别就在于有没有massless的费米子，没有的那个显然是不具有SUSY的。

不过$SO(16)\times SO(16)$的理论构造起来麻烦不少，我还没完全弄懂。hep-th/9112006声称证明了上面的这九种理论就是Heterotic弦的完全分类，不会再有别的了。

接着12-02日的讨论，今天看到fivebrane体系的D6膜的描述。需要把NS5在transverse的方向dual一次得到CY3。不过按照前面的描述，看起来似乎dual一次后得到的是剩下的transverse方向得到的TN度规描述的KK monopole，也就是说在剩下的四个方向延伸，比如原先NS5的配置是在012345延伸，得到的KK monopole就是在6789延伸，但是Yamazaki论文里面写的是456789多了两个维数，毕竟这样才能构成一个CY3。本来构成CY3是要跟前面D3的description一样T dual 两次，现在我怀疑，是因为NS5本身是wrap在一个紧致的环面，也就是D5的cycle上的，然后应该是把这个紧致化的环面和6789和起来看作一个CY3。

晚上终于整理完了明天要讲的Almheiri的information paradox的review。纯纯折磨，故事书，我很怀疑是否有人真的能从这个纯纯只提名词和概念而且一堆不明所以的argue的文章中学到东西。对量子引力圈一个刻板影响就是很多类似susskind的隐掉所有技术细节的argue，这我可太不喜欢了。本来最后一节东西不多，或者说东西太多但是极度压缩成几个名词，我也没看懂，随便糊弄感觉时长不够，感谢陈一鸣老师暑假的讲座，我可以用Maldacena paradox糊弄一段时间。另外想起来我好久没看JT引力了，自从学完他的经典互部分后面一直没机会学量子部分。我还是更喜欢我老师这种技术细节多的，D膜的argue我能接受，但是我们并不是在用argue尝试证明或者说明一些事情，真正的计算依旧是完全严格的数学物理。

2025-12-17

今天的reading group又是被Yamazaki拷打的一天，本来都要结束了我非要去讲Maldacena猜想，结果准备的不够，临场推导结果我发现全息字典我都忘的差不多了。结束后Yamazaki说今后reading group自己讲自己感兴趣的话题。我不可能真讲他的硕士论文吧，mud他的硕士论文我都全负荷看了二十天才弄懂一些，讲他的论文对他来说太boring了吧，我也讲不出什么花样，都是些很老的东西了。晚上打算看看有没有什么值得看的东西，找找文献，其实有点想看Young图计数之类的，但是对自己的N=2 SUSY不太自信，mud不知道要学多久才能学懂，更别说research了。吓晕过去了，遂椅上小憩一小时，然后回家迎接痛苦的明天。（霍格沃茨之遗变成公立学校了，不妨耍一会再说）

另外今天碰见了Okada，他来交博士论文，和他聊了下为啥他要quit，我觉得他做的非常好。得知原因很简单，并非每个人都和Yamazaki san一样在任何年纪都始终对新知识的接受有强烈的兴趣和欲望，而且科研确实也太累了，所以他就打算去享受生活了。希望Okada san之后一切顺利吧！据说是去世嘉工作了，期待有一天能在玩的游戏通关后的致谢里面看见Okada的名字。

2025-12-19

今天reading group，我主要是一个地方很困惑，就是在分析SUSY的超对称真空的时候，作者提了一句要对IR free的理论下面的描述才是对的。Watanabe和Gi-wan觉得IR free的要求是为了让我们在IR附近可以用微扰论去描述，所以我们才能用求解F方程D方程，分析vev这些方法去微扰论意义下研究这个理论。但是这不足以说服我其实，因为你完全也可以考虑有IR非平凡固定点，但是只要coupling constant在那个fixed point很小，你依旧可以做微扰论展开，所以我目前持怀疑态度。

稍晚一些时间遇见Watanabe，我和他再次argue，他同意了我的看法，就是确实存在一些非平凡红外不动点依旧是满足可微扰展开的。另外Hellerman也在，他告诉我他是美国人，并跟我讲了他的名字其实是很像德国人名的毫无意义的假名字（就像是Watamaka这种，哈哈😂）另外和他激烈argue了一些💩，我和他提到了pure spinor，他不懂pure spinor，但是他觉得是纯狗屎。后来才发现原来他说的是更早些Berkovits发现的所谓hybrid形式hep-th/9404162，从这篇文章就能看出Berkovits一直想manifest时空超对称，这篇文章并没有那么大胆，依旧是保留了worldsheet的超对称，但是假设一些时空蜷缩在CY里面，所以只去manifest剩下的时空超对称。对于一些简单的态的散射过程，他是和RNS吻合的。但是Witten意识到这个形式其实算一些复杂的态就会得到完全不自洽的结果。所以这完完全全是错的，Hellerman在这上面浪费了不少时间，让他很失望。所以他不再相信berkovits后面发明的一些东西，我告诉他pure spinor formalism确确实实能保留时空超对称，而且至少我了解的树图阶是对的。他给我提了一个非常重要的事情，就是我们无所谓有没有RR flux，这玩意儿RNS虽然我们不知道怎么处理，但是至少RNS我们会处理Orbifold上的弦，而Pure spinor在这些情况下能不能给出自洽的结果？特别是对于一些时空超对称破缺的Omega背景，还对不对？这我确实没想到，我告诉他pure spinor在最简单的平凡背景下计算就已经相当复杂了（而且有些微妙的zero mode我还没弄懂，还没完全懂理论的细节），确实，期待pure spinor能有更多的检验（特别是非平凡背景，突然想起来我本科毕业论文打算看这个，现在看来幸亏没看这个，不然我学个一年估计都写不完毕业论文，平直时空的计算已经够复杂了，特别是紧致化，大部分即便是RNS的研究也只停留在谱的分析的阶段）。顺便我还给他安利了一下B-GSS-RNS形式，是Berkovits最近发现的结合时空和worldsheet超对称的形式，他说他会看看。

2025-12-20

晚上看了「君たちはどう生きるか」，宫崎峻都八十多了，这总是真正的封笔之作了吧。我觉得挺好的，这片子里能看到宫崎骏几乎所有过往作品的影子。不过这片子似乎评级不算太高了，可能是习惯了过去宫崎骏片子的观众虽然能接受奇幻叙事，不过应该主要对剧情还是有期待，不过这片子主要是宫崎骏自嗨，想在动画片里融入不少个人思想，剧情则只是载体，所以剧情设定肯定是很多地方没办法自圆其说，而且前面大半段都是真实世界，到后面突兀发现纯纯是一个奇幻故事或许让大多数人看的比较懵。不过我个人从来不会去想电影逻辑上会不会出错之类的，不从这方面批判电影（除非电影本身就是强剧情，重逻辑设定。。），如果你接受这一点，单单去感受故事本身并且乐意思考背后想传达的观点，那我觉得还是不错的。由于事先知道这是宫崎骏最后一部作品，所以期待非常高，不过看完发现很好，但是并没有让我感觉到“最后一部”这样期待高的程度。可能原因就是宫崎骏只是想自嗨罢了，总之还是不错的，只是因为没达到我对最终话的预期所以打个四分（另外有一点是里面有个设定是太舅公传位只能传后代而且极大可能还必须是男的，搞封建来的）。

2025-12-21

今天下雨，但是去逛了三鹰的美术馆，可惜比我预料的小很多，所以我不放过任何一个细节逛了四个小时。美术馆看着很大，但实际上真正能看的就三四个展厅，一个还是电影院，别的那么大的空间是商店和餐饮店之类赚米的，我肯定是消费不起。买了一本红猪的书和龙猫玩偶就溜了。之后又去了附近的乡下逛了下国立天文台，发现是东大的附属机构，不过也没啥好逛的，里面的设备都是古董级别的了，不知道还是不是真的有科研人员。最后快晚上了赶着回家就匆忙逛了下深大寺，看起来还是个当地很有名的景点，本来想求个朱印结果告诉我只有写好了的，不知道是不是我去的时候太晚了不能写在书上。我隐约听到跟我说「休み」，所以可能是因为快下班了。这个周末没有我预想到的美好，因为去的三个地方都和我心目中的想象有比较大的差距。但是为了去吉卜力美术馆我把吉卜力电影几乎看完了，不亏。

2025-12-22

我知道可以用K理论分类D brane，准确的说是分类D brane上的RR charge。但是问题就是为什么我们需要D brane来分类？直观上看wrap在X上的D-brane上面的RR charge就是X上的微分形式，所以分类应该由上面的上同调类来完成，为什么我们需要K-theory去描述D brane 上面的RR charge？上同调丢掉了什么信息？对于这个问题我还不是很清楚，不过我猜测一个重要的motivation是D brane上面含有U(1)规范场，或者开弦的激发。单纯的上同调本身记录不了这个规范场带来的vector bundle的信息。这在RR charge上意味着，我们考虑D膜和对应的反D膜，他们的RR charge相反，但是上面的规范场会相互湮灭，或者说一根连接他们的弦会出现Tachyon Condensation⁵。既然会湮灭，那么这样的D brane system就应该和真空看成一样，但是在cohomology中显然他们被看成了带不同的RR-charge。所以要用K brane 进一步把这些看似不同的态放进同一个class里面。

另一边是D-brane 本身又应该如何分类？一个比较naive的想法应该是根据他wrap的cycle去分类，也就是用homology去分类，但是显然这样的拓扑信息不足以记录D brane上的规范场之类的种种信息，一个尝试是用homology的精细化K-homology分类：hep-th/0108085。

目前我的一个问题就是为何在BPS计数的时候我们又是只需要用cohomology的信息给BPS态分成带不同电荷的组？

另外今天看SUSY，发现SUSY moduli space和几何不变量还有蛮大的关系。一个重要的Argue就是$F$-term的解一定是D-term的解，或者说，对于super potential为0，也就是说我们只需要考虑D-term的解的情形，Moduli space就是：⁶

右边就是数学上的一个推论，很fancy的形式，代数几何的一些语言，不用管这些，反正对于搞物理的来说只需要知道括号里面的东西是仅由$\phi^i$生成的$G_\mathbb{C}$不变的多项式环，也就是说不包括共轭的变量。说白了就是找出所有满足$G_\mathbb{C}$不变的多项式环，然后找出一组最小的基底来生成，就跟有限生成群一样，这些基底不一定独立，可能有一些关系$R_\alpha$。取$\operatorname{Spec}$之后得到的就是：

2025-12-23

规范场论之前一个notation上的细节没太注意，想起来杜老之前讲Gelis的时候其实提到过了，今天看SUSY的时候看到类似的讨论，这里我给一个完全自洽的符号约定。

首先规范不变的规范场论的Lagrangian可以最一般的构造为：

其中$h^{ab}$是李代数上的内积$(T^a,T^b)$，规范变换作用在曲率，或者精确点说是曲率2-形式在$T^a$上的分量是adj作用的，所以规范不变需要内积选取必须是adj不变的，也就是满足：

注意这里我特意把$f^{abc}$的第三个分量写成${f^{ab}}_c$，就是为了提醒结构常数定义上看只要求前两个反对称，所有物理文献上写成全反对称，其实都是因为我们事先选了这样的一个adj不变的内积，adj不变正是在说用$h^{ab}$升第三个指标之后结构常数变成全反对称的张量。这样我们构造的Lagrangian看起来依赖于内积的选取，而且数学家看起来或许不太满意，因为我们是在李代数的分量上做事情，依赖于基底的选取，大家更喜欢的显然是不依赖于基底的$F=F^a T^a$。我们考虑单李代数，首先注意到对于任意表示，我们有：

$C(R)$是一个只和表示以及归一化选取有关的常数，或者反过来我更喜欢说在选定了基底之后，内积就完全被确定到只差一个比例常数了。如此，前面的Lagrangian就可以写成：

写成这个形式之后应该更让人信服确实与选取的内积基底之类的无关，不过相比于前面的形式，一点不好是原先的形式让我们直观看到与表示无关，现在直观看起来似乎与表示有关。但是所有表示相关的自由度其实都在我们前面加上$C(R)$因子的时候给去掉了。前面说过$h^{ab}$只和我们选取的基底有关，选了一组基底之后就只剩下一个常数乘的自由度了，另外一方面，$C(R)$本身显然也不是不变的，也差个常数，但是各个表示之间的比例是固定的，也就是说：

是不变的，这里$\square$表示fundamental表示⁷。为了公式写起来简单，显然大家会事先选一组基底使得$d^{ab}=\delta^{ab}$，而$C(\square)$大部分的物理书还是选的$1/2$或者$1$（对SU群基本上选前者，对SO群基本选后者）。这就到了一半书上常常看到的：

的符号约定了。上面说的这些这只是李代数层面的，进一步你可以吧微分形式层面写成不依赖于坐标的$F\wedge\star F$。不过这就没有什么好说的符号约定之类的了。总之只要是公式里面出现trace你就要想一下是在什么表示下，如果要与表示无关， 那肯定是有个$C(R)$的factor，然后你注意看书中选取这个factor的normalize是什么。

晚上做了一下超对称讲义上习题11.1，还真有点麻烦的，对称性破缺找谱的核心就是在VEV附近展开场，然后带到Lagrangian里面看看有哪些项。多说一句，我们在做SSB的时候是因为势能不平凡，但是我们依旧是在真空背景下展开的，因为我们考虑的展开点是与时空点无关的VEV。这很容易理解，因为真空啥也没有，哪个地方激发都一样，只是因为势能不平凡，所以会自发掉到一个非平凡的VEV，但是我们依旧是在真空附近看量子涨落。一种对立的情况我觉得是比如你考虑背景里面你已经加了一个拓扑缺陷，比如加了个孤子构型之类的，然后把这玩意儿当成经典背景，然后在附近展开场做量子涨落，其实就类似弯曲时空量子场论了。但是SSB的时候我们完全是纯粹的真空背景，VEV也完完全全是平移不变的。不过当然还有一种情况，我从来没遇到过，但我觉得应该有就是理论的EOM的解一定是非平凡依赖于时空背景的，也就是说仅仅恒等于一个常数的场构型不可能作为EOM的解进而作为能量最小真空构型。但是这种情况显然很坏，他说明真空破坏了洛伦兹对称性，就对应我前面说的加了拓扑缺陷的情况。我真没遇到过这种情况的分析，凝聚态体系里面估计还挺多的。

本来弦论tadpole消除的计算就一直马马虎虎，雪上加霜的是我发现我没有理解弦论为什么一定要消除tadpole，在QFT里面我们消tadpole的一个实用性的观点就是你选的真空不满足LSZ公式要求的条件，也就是VEV是0，所以要把真空shift或者说场linear变换一下，就出来了tadpole消去的线性抵消项。弦论里面tadpole的消除要深刻一些，毕竟弦论的tadpole的消去就讲type I里面的，并非QFT这么简单直接shift一下真空，而是离散的消去，而且只能通过在时空里面加32张D9膜让理论变成SO(32)的来做到这一点，而且看了blumenhagen的叙述如果tadpole不消去理论会不自洽。Polchinski上面似乎没有讨论为何要消去tadpole，待我再学习学习，理解一下。

2025-12-24

今天reading group由我主讲，我主要其实就是把讲义上关于FI模型的对称性破缺完完全全分析了一遍，模型是考虑下面的拉式量：⁸

解答如下：

结束之后闲聊，吐槽了一下日语里面片假名实在是太泛滥了。Kei-san也有一样的想法，我跟他吐槽「ツアー」这玩意儿竟然是tour，而他表示最让他抓狂的是smartphone，用假名写应该是「スマートフォン」，不过大家觉得太长了，所以很多时候大家直接简写成「スマホ」，不过书上教我的手机是「携帯電話」这个单词，Kei和Gi-wan告诉我这原来是翻盖手机，诺基亚那种。看来课本也要与时俱进。当时我刚来日本，日本店员跟我说「レシート」，我完全不懂这是啥玩意儿，后来给我一张小票，但是我想小票这单词不应当是「領収書」吗？后面和Kasamaki聊天才知道原来官方一点的收据用「領収書」，不过非官方的时候「レシート」显然说起来更简单。

2025-12-25

弦振幅的计算涉及到黎曼曲面模空间，这是一个真正理解的重灾区。Polchinski的讲法是循序渐进，首先不跟你提模空间的任何事情，就naive的直接进行FP ghost方法去做，而且并不把puncture看成模空间的一部分，而是只看度规的固定。然后后面再告诉你其实前面的分析是错的，我们其实度规的规范等价类不只有一个，而是根据模空间定的。但是这里讲的模空间也只是度规的moduli space。然后再告诉你即便是这样我们依旧没有固定全部的gauge，因为还剩下一些变换他们只改变某几个插入点的坐标而对度规全然没有影响，也就是CKG，CKG就告诉你要固定几个外腿位置。到了最后的最后再点题，其实我们一开始就可以把外腿位置以及度规一起看作是模空间，考虑的模空间其实是带puncture的黎曼曲面，这样的话我们就可以把振幅写成全部外腿都固定然后模空间积分的形式，只是不同于前面先固定g再用CKV固定外腿，那里的模空间是$\mathcal{M}_{g,0}$，现在的模空间是$\mathcal{M}_{g,n}$。而且外腿的固定和g的固定并非独立，其实很复杂，外腿的固定点以及fiducial度规其实都会依赖于模参数$\hat\sigma(t)$，$\hat g (t)$。但是其实正因为这样才合理，因为其实我们这里做的无非就是对没有固定的外腿的世界面坐标积分其实只是被隐藏到模空间积分去了，不是真的世界面坐标全部固定完全不用积分了。我们只是换取成了更大的模空间罢了。本质上依然还是对模空间有积分的。

让我现在总结一下，弦振幅里面我们需要路径积分$X,g_{ab}$以及通常积分掉世界面坐标$\sigma$，我们不去管物质部分，重点是看下面的积分，因为规范冗余在这里面：

这个积分有两个方向，一个是guage的方向，就是规范变换轨道，第二个就是选不同的代表元，选代表元相当于在考虑带有n个puncture的黎曼面的模空间上取值，也就是给出$(\hat g(t),\hat\sigma(t))$。我们用$\delta t$标记模空间上的移动，也就是代表元截面上的移动，用$\delta v,\delta\omega$表示垂直于代表元上的gauge变换，也就是diff和weyl变换，从而我们得到最一般的变换：

然后我们定义$\Delta_{\mathrm{FP}}$：

代入到前面的路径积分，经过FP鬼惯用的FP determinant是规范不变的可以得到：

只是要特别注意这里还有个moduli的积分，垂直于moduli的那两个gauge变换积分和规范群体积抵消了。剩下的就是求这个FP determinant了，比较烦人的是$\sigma$和$g$都有模参数变换那一项，不过我们可以把这玩意儿吸收到$\delta v$里面去，反正上面的$\delta g$里面是$\nabla \delta v$，没有$\partial_t \delta v$的项，然后就会到一般的讨论了。

下面是Polchinski习题11.8的相关计算，最烦的还是符号约定导致的系数差异，计算耗的时间反而其次：

取符号约定 $\mathrm{Tr}\,T^A T^B=\delta^{AB}$，取 $T^A$ 在 $SO(N)$ 基本表示下，则 $T_{AB}=-T_{BA}$。

则 $Q_{\square}=\dfrac{N-1}{2}$，$\dim \mathfrak{g}=\mathrm{Tr}(T^aT^a)=\dfrac{N^2-N}{2}$，$\psi^2=2\Rightarrow \hat{k}=k$。

首项说明 $k=\hat{k}=1$，即 $SO(32)_1$，李代数。

末项在 $z_2\to z_1$ 由于 $\lambda$ 的费米性为零，故

2025-12-26

突然想起来我们在用FP鬼方法分析QED的时候其实是用的下面的式子：

这个时候行列式是真的可以直接算的，QED比较简单，这个行列式trivial，就是个常数，所以只有规范固定项来自于$\delta(G(A))$，没有来自于这个行列式的鬼。到了QCD就有鬼了。不过注意搭配弦论我们其实是取$G(g)=g-\hat g$，然后对所有可能的$\hat g$求和，这是因为$\hat g$是黎曼曲面模空间，我们至少数学上还能进行分析，你QED这玩意儿就分析不了了。而且注意这里的$\delta(g-\hat g)$其实是把$\int \mathcal{D}g$完全干掉了的，只剩下模空间积分，所以弦论没有规范固定项，反而是FP行列书麻烦一点所有鬼场麻烦一点。

另外其实YM场论还有一个比较subte的地方，就是存不存在一个$G$完全控制规范？其实这就是所谓的Gribov歧义问题。一个比较简单的情况就是QED里面你取Lorenz规范，实际上只要$\partial^2 \Lambda=0$就依然还是可行的规范变换，所以其实Lorenz规范没有完全固定规范，而大部分情况下能用是因为求电磁场的时候我们有一些边界条件会让$\Lambda$对这个harmonic方程只有平凡解。那既然我们没办法找到一个全局固定规范的玩意儿，为啥路径积分还能用FP鬼处理？其实是因为我们在玩微扰论，在$A=0$的真空附近完全固定规范的函数还是很容易找到的，所以只要你承认在用微扰论计算，那么所有的这些技术就不出问题。

我初次知道这件事情是从Gelis的场论书的一个角注，之前确实从未想过这个subtle的地方。

2025-12-28

我一直以为背景中多了wilson line参与模空间是开弦多的东西。确实type II弦没有这玩意儿，因为wilson line本质上需要的就是背景有规范场，而弦论的谱本质上和背景是相干态的关系，所以type II都没有gauge boson的谱，自然就不存在说Wilson line的问题了。而且你从弦的耦合上讲是因为开弦有端点，你从自由度上讲是也是因为开弦有端点端点上可以加入Chan-Paton因子，fancy点讲就是开弦端点附着于D brane上，而Wilson lian，或者说背景规范场其实是在告诉你toric紧致化的时候紧致化方向D brane locate在哪里。那么想想开弦挂在两个D brane之间，D brane之间的距离肯定就会对弦的激发谱有影响了，这是直观的看法。

不过我竟然忘了还有Heterotic弦这一茬。Heterotic弦的精妙都在于26紧致化到10维的左膜，或者说左手费米子的32个分量的激发态，Heterotic弦是closed string理论，但是却因为左手部分很特殊所以天然有gauge boson的激发，所以在考虑moduli的时候也要额外考虑背景规范场的wilson line。

今天晚上看完基督山伯爵，最近加班加点看，故事性在当今看来仍是不错的，在那个时代估计更牛逼。除了文化差异导致一些比喻之类完全觉得莫名其妙，不过我看这书肯定纯粹是为了情节，所以很多文学描写也就直接跳过了，加上翻译腔一堆天主啊确实难绷。

2025-12-31

今天是2025最后一天，本来打算直接去浅草寺听新年敲钟顺便求个朱印，结果被小红书骗了，原来通宵运营的只有JR，地铁最早班也是五点。这个计划泡汤了，亏我早上狂睡十个小时为晚上熬夜做准备。遂打算去学校附近吃鳗鱼饭，结果被谷歌骗了，查了下发现早就正月休み了。看来新年夜又只能和过往的二十年一样待在家里了。明早起来去浅草寺排队一整天！初詣！

晚上睡前，马上就要新年了，结果今天依旧是沉浸在论文里面的一天，新年这几天我依旧每天都工作，只不过可以睡到中午，不用挤早班地铁。而且时间也相对自由懒散一些。感觉没啥年终总结好写的，因为我记忆力不好，学过的东西很快就忘，尽然不是我真正掌握的，而只是一时间为了好玩而学的一些东西，看的时候确实爽，看完之后对科研就毫无意义了，所以写下来记录也没啥意义感觉。又是一年过去，希望明年能更加努力，最近看一些清朝的历史，有不少官员是偶然的机会得到皇帝赏识人生实现大飞跃的。而这些官员大多，或者说至少在一段时间内都是勤勤恳恳，兢兢业业。这实际上就是在告诉我们当一个人觉得他配不上自己得到的东西的时候就会愈加努力证明自己。我其实来日本这三个月一直有这样的感觉，我一直很急着去做出一些成果来证明自己，因为我来东大纯粹感觉是自己运气好。而最近读了Yamazaki论文之后释然了，我没有我导师那么聪明，所以只能花更多的时间去学习，去尝试弄懂一些东西，才能做出一些新的东西来，既然短时间内做出新东西的可能性不大，最近也就沉下心来认真学习弦论了。希望能有机会先做一些trivial点的东西，再慢慢往non-trivial的新东西上靠。

额，和过往的二十年一样又是平平凡凡甚至还在学习的一天（想起来之前在武大的时候好像生日或者跨年有时候都是在图书馆过的）。明天去初詣，看看能不能抽个大吉，哈哈.