冷天气确实让人懈怠，虽然东京似乎不会到零下温度，但是明显最近起床时间变晚且有拖延症。这一个月的学术方面的笔记有些甚至是一个月后我才重新记录的，虽然这些东西和ChatGPT直接告诉你的相差无几，ChatGPT水平的trivial备忘录罢了。
11月一直在本乡校区学习
2025-11-03
今天是文化节，放假大家都不来。我来了办公室看了会书，后面基本上都在修网站的bug，比较舒服的是修复了一个困扰了我快一年的bug。
我之前在处理行间公式的时候是使用的下面的代码：
<style>
mjx-container {
overflow-x: auto;
overflow-y: hidden;
min-width: auto !important; /*带tag的公式无法自然滚动*/
}
</style>
为什么我要对overflow-y设置成直接截断？因为mathjax有一个比较逆天的问题是有可能y方向公式会超出那么0.00001em，然后判定overflow-y，然后就会给y方向加个很丑的滚动条。所以索性就直接hidden掉了，反正差的不多，肉眼看不出来。
但是我后面就发现一个bug，涉及到求和号这种比较大型的符号的时候可能会导致$\Sigma$上面的横线直接变得很薄。当时我没有想到解决方案，不过这并不是一个很大的问题，所以扔去了。但是今天我重读自己辛几何的笔记，发现这个问题其实很严重，比如$\underline{Y}$，就会直接显示成$Y$，把下划线直接砍掉了。但是解决的方法竟然出奇得简单，只需要上下加个padding给他预留空间就好了：
<style>
padding-bottom: 0.2em;
padding-top: 0.2em;
</style>
不过这又会产生一个问题，行间公式和行内公式用的是同一个mathjax的class，所以行内公式也会加padding，但是行内公式实际上y方向是不会溢出显示完全是正常的。所以这样就会导致行间距会稍微变大一点。不过也就0.4em。肉眼可见一点点，但问题不大。。。后面出问题再说。。。
2025-11-04
今天听了关于2506.02110的报告，看标题有quantum gravity准备好好听听，不过有些失望。一是印度学者的口音确实难懂，二是除了introduction以及summary，其他时间基本都是在讲量子模拟量子计算。
问题背景是我们可以用Wigner函数给波函数一个在相空间的对应物，注意我们之前的波函数都只是位置空间的函数。不过可以一对一的对应到一个相空间的函数：
\[W(q,p)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty dy\left\langle q-\frac{y}{2}\right|\rho\left|q+\frac{y}{2}\right\rangle e^{-ipy}=W(q,p)=\frac{1}{2\pi}\mathrm{Tr}\left(\rho\widehat{A}(q,p)\right)\]这里：
\[\begin{aligned}&\widehat{A}(q,p)=\int\frac{dp^{\prime}dq^{\prime}}{2\pi}e^{i(pq^{\prime}-qp^{\prime})}e^{i(p^{\prime}\widehat{q}-q^{\prime}\widehat{p})}\\&\begin{aligned}\langle q^{\prime}|\widehat{A}(q,p)|q^{\prime\prime}\rangle=\delta\left(q-\frac{q^{\prime}+q^{\prime\prime}}{2}\right)e^{-ip(q^{\prime}-q^{\prime\prime})}\end{aligned}\end{aligned}\]如果这玩意儿是处处正的，然后我们用保正性的算子进行演化，那么这样一个量子过程是能用经典计算机高效模拟的（Gottesman-Knill）。转到比较容易分析也容易数值模拟的格点模型：
\[\begin{aligned}&\widehat{A}(q,p)=\sum_{q^{\prime},q^{\prime\prime}=0}^{D-1}\widetilde{\delta}_{2q,q^{\prime}+q^{\prime\prime}}e^{\frac{2\pi i}{D}p(q^{\prime}-q^{\prime\prime})}\left|q^{\prime}\rangle\langle q^{\prime\prime}\right|\\&W(q,p)=\frac{1}{D}\mathrm{Tr}\left(\rho\widehat{A}(q,p)\right)\end{aligned}\]可以定义相应的Wigner negative的概念：
\[\mathcal{N}(\psi)=\sum_{q,p=0}^{D-1}|W_\psi(q,p)|\]这玩意儿越小说明系统越“经典”，越容易进行经典计算机上的模拟。所以我们要问的是什么样的态在演化的过程中才能保持$\mathcal{N}$一直比较小，所以能一直高效模拟。注意到Wigner函数前面我们是在位置表象下定义的，其实我们也可以在任意的有偏序结构的基底下定义这个函数，所以这个的定义是依赖于基底的选取的，所以我们想问的其实是在哪个基地下演化的时候经典模拟最简单？对应Wigner negativity最小。
对于任何的哈密顿量对应的系统，我们有个general的结论是说，在Krylov基底下Wigner negativity最小。
\[\text{Krylov basis}:=\mathrm{Gram-Schmidt}\left(\{|\psi_0\rangle,H\left|\psi_0\right\rangle,H^2\left|\psi_0\right\rangle,\cdots ,H^{D-1}\left|\psi_0\right\rangle\}\right)\]在每个$\ket{N}$前面加个不同的基底，得到的也是最小化的WIgner negativity。
但是这个只是微扰的结果，也就是说只是在一段时间内最小化，后面可能就爆掉了。我理解的是他们的工作在非微扰的意义下证明了，对于高斯矩阵系综描述的量子体系，Krylov下的演化$\mathcal{N}$只是power地增长， 但别的基底下会直接exponential爆掉。
至于他说的和gravity和AdS/CFT之间有关系我持保留态度，到这为止的话作为量子信息理论还是可以的工作。至少让我学了下Wigner函数，之前只是听说有这么回事儿。
另外晚上学QFT又学到些过往学习没注意到的地方。过往学习QFT我基本跳过了所有关于束缚态计算的内容，当然这确实也偏唯象学以及核物理，不过现在来看这些计算其实很精妙的，我就不擅长于这些计算，因为我不擅长于做一些合理的假设和近似。例如你在计算束缚态的产生时，需要假设束缚态本身是可以用非相对论性的薛定谔方程描述的，从而解出波函数后可以把末态束缚态写成散射平面波的叠加态。然后根据振幅的线性叠加得到最终的散射振幅。
所以这一阶段的合理假设就是束缚态看作是非相对论性的。但散射过程本身又需要QFT，因为经典量子力学粒子数守恒，所以你需要QFT来描述粒子湮灭和产生的过程。这种“杂交”的近似手段有其道理但有时无法令人完全相信。其正确性可以从散射$\sigma-E_{CM}$曲线看出来。束缚态对应图上的共振态，也就是peak，其面积对应散射截面，宽度对应衰变率（然而我并不太理解为什么）。这个过程也可以完全处理成非相对论情形，把束缚态看成是散射的中间态，也就是去考虑产生束缚态然后束缚态衰变到原来的态的散射过程。这个时候费曼图的物理意义十分清晰（当然我对外一直与数学系同学讲费曼图不过是泰勒展开图形化操作界面😢😢），中间态会出现在传播子圈里面，我们要做的就是把中间的传播子圈全部求和，上世纪人们已经演算过这其实（在能量阈值附近）等价于求解非相对论性薛定谔方程。
虽然我还是没仔细认真看而且有点懵，不过还算是对真实世界的认知又近了一步。。。。（呼，唯象学的难在于真实世界建模与理论预想的差别之大；形式理论的难又在于人类的想象力确实无边无际。。。😂🤣）
2025-11-06
对于流形上的实函数$f:M\to \mathbb{R}$。其微分就是微分一形式：
\[df_p:T_pM\to\mathbb{R},\quad df_p(X_p)=X_p(f)\]不过我们也可以考虑两个流形（或者他们子流形）之间的映射$f:M\to N$，其微分其实就是推前映射
\[f_*:=df_p:T_pM\to T_{f(p)}N\]这个推前映射是个线性映射，对应的矩阵其实就是雅可比矩阵。如果我们取$N=\mathbb{R}$，注意到自然同构$T\mathbb{R}=\mathbb{R}$，就可以回到之前微分一形式的表述。
2025-11-10
在最近重温纤维丛之后（我看过很多次这个理论，但实际上我发现在没有做相关的研究工作前，我并没有真正理解他，只是我看了一些书并且完成了书中推导，但实际上由于我看的不太仔细所以根本没有充分理解），今天大致是弄明白什么是gauge掉finite的symmetry了。我需要解释的是下面的这个式子：
\[Z^{\prime}[\hat{A}^{(d-p-1)}]=\sum_{[A^{(p+1)}]\in H^{(p+1)}(M^d;G^{(p)})}Z(A^{(p+1)})\mathrm{exp}\left(2\pi i\int_{M^d}\langle\hat{A}^{(d-p-1)},A^{(p+1)}\rangle\right)\]首先何谓gauge？就是我们symmetry，而且可以提升为local的symmetry，然后我们再把这个symmetry对应的gauge field提升为动力学变量，也就是说对所有的gauge轨道上的gauge field求和，这就是gauge的过程。上面的公式后面那个交叉数的部分我们不用管，那个实际上是在定义gauge后的背景场$\hat{A}^{(d-p-1)}$，这样gauge后的理论就有一个对偶群的对称性（但是没有被gauge，$\hat A$是背景场而不是路径积分的动力学变量）。
所以我们只用关注$[A^{(p+1)}]\in H^{(p+1)}(M^d;G^{(p)})$这个看似有些怪异的求和，其实我们就是要问，为什么规范等价类是用Cech上同调分类的？这个其实就是纤维丛理论的内容，回顾一下主丛里面我们是如何用local的data拼接成一个丛以及上面的联络的？我们实际上是在每一个local patch上有一个联络一形式，然后在patch的交叠处有一个$G$里面的元素用于告诉你两个patch之间的联络一形式的规范变换，然后通过这个交叠处的元素就告诉你怎么粘贴起来了。那么对于finite group，这个联络一形式是trivial的，我们不需要管，我们只需要管这些转移函数就好了，而这些转移函数之间要满足一些自洽性条件，可以证明就是第一个Cech上同调里面的元素。在我们不管联络的时候，其实上面的转移函数就是在分类底空间上的不同的纤维丛，所以我们其实就是在对不同的纤维丛求和。
现在让我们推广到更高的形式，这个其实在数学上并不是trivial的一个东西，我们需要考虑的称做是$p$-bundle，或者说gerbe。我们还是从local的data来看，这个时候比如2-bundle，局部我们会有一个2-形式，也就是这里的规范场，然后规范变换本身是个1-形式，而不是直接就是转移函数给的0-形式，然后1-形式本身又跟之前一样用转移函数粘起来，所以总共我们需要三个元素，2-形式、1-形式以及转移函数。同样的因为是finite group，所以前面两个会直接trivial，同样的我们也是只需要去考虑转移函数。但是更高维的情况那些自洽性方程会复杂一些，只有在Abel群的情况下才能继续使用更高的Cech上同调去分类，所以对于higher form的symmetry，目前大家对于非阿贝尔的了解的还不多。
2025-11-11
今日从CD3那边拿到了ChatGPT Pro版本的使用许可，赶紧试了一下，发现翻译的水平真的强。后面日语书可能就换成用chatgpt来辅助翻译了，或许读者会发现前文的翻译师傅的语文水平比后面差不少。。。。其实原因是日语很多说话的习惯和中文不一样，所以大语言模型很难精确转换，比如日语里面在每个公式后面会加一个となり你要是翻译成成立也行，但是我至少在中文教材上没看到大家在每一个公式后面都跟个成立。但是大语言模型就会出错（至少Gemini如此，而且Gemini在公式排版方面还不如Deepseek，当然Deepseek在年初更新后我觉得变蠢了不少，所以没怎么用过了，而且东大还给了我Gemini的pro版使用权限，但Gemini的翻译水平依然只能说凑合，我还需要人为不断修改）。不过目前来看ChatGPT在意译上做的非常不错。
p-form generalized symmetry 里面的$p$可以看作是对应规范场作为微分形式的rank。一个p-form generalized symmetry对应一个codim p+1时空流形（注意+1是因为我们把时间也给干掉了，毕竟守恒荷是在一个time slice上定义的）上积分得到的作用在p dim的时空object上的拓扑算符，于哈密顿量对易，也就是对称性这一点藏在拓扑里面。比如4d Maxwell电荷是在一个球面（2维）上积分得到的：
\[Q_E(S)=\frac{1}{e^2}\int_S*F=\frac{1}{e^2}\int_S\frac{\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}}{2!\cdot2!}F^{\mu\nu}\mathrm{d}S^{\rho\sigma}\sim\int_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}.\]所以这是一个1-form对称性，对称算符就是由这个李代数生成的李群元：
\[U_E(S)=\exp(i\alpha Q_E(S))\subset U(1)\]可以作用于一个一维流形上定义的object，也就是Wilson loop：
\[W_n(\gamma)=\exp\left(in\oint_\gamma A_\mu\mathrm{d}x^\mu\right)=\exp\left(in\int_\gamma A\right).\] \[\langle U_E(S)W_n(\gamma)\rangle=\exp(in\alpha\langle S,\gamma\rangle)\langle W_n(\gamma)\rangle.\]这里配对是在算交叉数，注意这里的群作用是$UO$，而不是通常的$UOU^{-1}$，这只是一个generalization，对应作用于高纬物体的时候拓扑算符可以形变。3d chern-simons理论比较特殊，其1-form的对称性无论是算符本身还是作用的对象都是1d的东东，而naturally这玩意儿就是Wilson loop，也就是说这个时候Wilson loop同时充当算符和作用对象，Witten早就算过了Fusion Rules：
\[\begin{gathered} S_\text{3d CS}=\frac{\kappa}{4\pi}\int_{M^3}A\wedge\mathrm{d}A,\quad\kappa\in\mathbb{Z}\\ W_{m}(\gamma_1)W_{n}(\gamma_2)=\exp\left(\frac{2\pi imn}{\kappa}\langle\gamma_1,\gamma_2\rangle\right)W_{n}(\gamma_2) \end{gathered}\]显然这是一个$\mathbb{Z}_k$对称性。
2025-11-12
今天讨论班上Kei讲完了2002.08950的第三章，后面几章或许不会再继续讨论了（下周Yamazaki san没空，所以下下周我们再决定看点什么别的）。这篇文章读起来对我来说还是挺困惑的，首先第二章就很general很抽象，不过这篇文章想干的事情基本上在第二章说清楚了。我觉得他想干的就是用非常Huge的希尔伯特空间去尝试解释为什么在研究量子引力的时候我们会经常碰到随机矩阵，为什么引力的路径积分能很自然地解释成一个可积系统。不过文章着实有些地方解释的不尽如人意，没看太懂。
今天晚上Party之前和Yamazaki san聊了一下这学期以及之后大概的打算，总之就是说我自己想做一些TQFT偏范畴的事情，以及广义对称性，他对我这个决定还很满意，因为这是一个年轻的领域，年轻的领域容易出结果一些。不过他没有给我一些具体的idea或者program，还是得我自己找了看来，希望这学期剩下三个月能有些眉目（我记得上个月我就说过希望这个月有些眉目。。。）
另外，Party除了是迎新我和Gi-wan，不过同时也是Ohmori的告别会，Ohmori 2021年来东大当Matsuo的助理教授，我来的这个时候他刚好去RIKEN拿到正式教职了。可惜了，我在Party之前问了下关于gauge掉finite group的问题，Ohmori解释的非常到位，条理非常清晰（我写在11月10日的随笔里面了）。晚上回去翻了下INSPIRE才发现他最近做的一些东西和我兴趣重合点也比较大，哎，可惜了，在本乡这边确实只能和Yamazaki讨论。
2025-11-13
今天通关了马里奥奥德赛，二周目打算佛系玩玩，毕竟手残，玩不来。大晚上的着实被任天堂恶心到了，我救了快一个月的公主，你告诉我最后马里奥是游戏界最强舔狗？甚至感觉公主还更喜欢酷霸王一点🤣👉🤡
2025-11-14
今天终于收到了Springer上买的书。买的是Mycopy版本，实验室有打印机，但是不能装订成书，特别是我买的还是八百多页的书。网上对于Springer的Mycopy版本的评测似乎鲜有。这个版本相当于是你本身有电子版的版权（可以是学校给你买的），然后你就可以很低价格买到纸质版，相当于是springer官方给你按需影刷。日本这边每本才4999日元（虽然折合人民币还是很贵，但是当你知道国外书籍的平均价格后你就发现这很香了，而且我买的还是八百多面的书，不同的书是一样的价格），而且全球包邮！从德国用DHL发给你，官网上写的时间很保守，实际上从你发订单到收到书过程不会超过十天。（但是地址一定要写英文，我日语地址他那边打印出来是乱码，投递的时候有问题，后来找客服才解决）。
至于印刷质量，由于我没有原版书籍，所以没法比对，但是看起来是不错的，唯一就是开本有点小，所以字有点小，印刷水平以及纸张质量感觉比国内的影印版要好不少，但是和真正的springer书籍比起来纸张光泽度还是差点意思，但是我觉得已经非常非常好了。另外你如果买的是Mycopy版本，相比于真正的书，封面会多一个Mycopy的标。不过我不满意的是包装，从德国发过来的时候就一个纸壳装着的，甚至没有缓冲泡沫，所以不要指望你收到的书一点磕碰痕迹都没有。
结论就是，如果你在国内，那别买，淘宝上可以打印装订，一百块完全可以搞定，多花一点钱甚至还能搞到硬壳装订，而且彩色封面都能给你打印出来，就是纸张肯定就是一般的纸，没有太多光泽，而且印刷质量也没有到springer原版书的水平，但是对于阅读已经完完全全足够了。如果你和我一样在国外，有版权保护意识，不可能给你打印盗版书籍，那我建议买Mycopy版本还是很值的。
另外，Polchinski 第二卷确实难看，很多推导都是省略的，如果你不能逐行理解，那你即便学完了整本书也什么都没学到，不像BBS。感觉又找到了的当年逐字逐句理解Srednicki时候的感觉，我第一次学QFT看书也很认真，这次重看Peskin纯粹休闲了，圈图也难得再算一点了，主要是想看看有什么额外的场论思想没有理解的，重点还是重整化。我总觉得我对重整化的理解还是欠缺一点，虽然学了这么久我还是能讲里面的不少思想。
2025-11-17
今天听康哥的lunch talk，听不太懂，但是听起来很有意思，在数学上对n维杨图的计数是个很复杂的问题，而这竟然能跟CY流形紧致化时的超对称场论联系起来。后面看看这些东西。
另外之前一直不知道量子不变量具体是什么，今天依然不知道是什么，不过略微懂了一些，我想最大的区别应该在于，当我们写下“经典的”不变量比如同调群的时候，如果考虑两个连通分支，那么有：
\[H(M\sqcup N)=H(M){\color{\red} \oplus}H(N)\]但是拓扑量子场论不一样，他给出的不变量是下面的有量子纠缠的意味一样：
\[H(M\sqcup N)=H(M){\color{\red} \otimes}H(N)\]我觉得这也可以从范畴论的角度看成传统的不变量沟通的是拓扑范畴和一个加性范畴，毕竟同调群是一个Abel群（回忆链复形都是自由abel群）。不过在TQFT里面更多涉及到张量范畴的结构。
另外，我初次学TQFT的时候其实有个地方困惑了很久，由于深受弦论世界面传播粒子世界线传播的影响，我一直以为TQFT里面画的图，那个配边，中间的不同配边不同流形对应的是场的不同构型不同路径，就像是弦论世界面一样。后来我自己发现大错特错，我们在TQFT里面画的那些图，都应该理解成场论定义在的空间，或者提醒我们理论是在什么拓扑上定义的。对于一般的QFT，比如我们考虑的场论就是给定生活在闵可夫斯基时空里面，然后对于不同的场考虑不同的靶空间，比如我们考虑scalar QFT，那么靶空间就是实数，考虑规范理论，靶空间就是主丛联络。对于弦论，靶空间就是十维闵氏时空，世界面场论生活的空间就是一根弦上面。到了TQFT这边，我们希望研究的是不同拓扑结构能不能通过TQFT给出一些不变量，那么我们的场论靶空间通常指定，但是场论生活，或者说定义的空间是任意的，一旦场论所定义的空间的拓扑给定，那些路径积分传播子之类的都知道了。从这个语境下看或许我们可以把一个TQFT看作是一簇场论，是在所有拓扑流形上定义的（同一个作用量描述）的场论的集合。所以这个时候再回过头看，一定要注意TQFT画的那些配边图，其实是在告诉我们理论生活在哪个底流形上。
今天稍晚些传来噩耗，早上的健康体检显然没有预知到我傍晚的恶疾。我近乎肯定地认为我博士的五年将是最为痛苦的五年，笼罩在阴影之中的五年，而最痛苦的莫过于在博士阶段刚开始时就告诉我这一点。思绪杂乱，完全没有心情准备明日之presentation。
2025-11-20
需要先试图局限一下所关注的范围了，不能一下子尝试看很多东西，看来最近弦场论刚开头就要先放下了。这个月对时间分配还是做的不够好，刚好最近假期比较多，而且刚好和课程是冲突的，所以不妨先慢慢放下课堂笔记，先重点专攻TQFT，Chern-Simons以及广义对称，不知道Yamazaki的硕士论文这学期能不能读完。。。。真觉得时间不够用。。。。
另外今日重读TQFT发现以前竟然没注意到的问题，当我们用Atiyah公理定义TQFT的时候，注意到我们有两个特殊的映射，ev和coev，然后用这个构造S形状的图类似Zig-Zag方程可以发现ev和coev是非退化的，而且更重要的是希尔伯特空间必须是有限维的（这个要求叫做dualizable）！而显然物理上很多TQFT并不是无限维的，所以这意味着数学上用公理化体系描述的TQFT竟然和物理上所说的构造的一系列TQFT并不完全match。。。。不过我有个疑问是，似乎这一点的证明事先假定了有很好的dual的概念，也就是说其实考虑的TQFT的范畴是s有pivotal结构的，but更一般的你完全可以考虑，就像拓扑序理论一样，点缺陷可以完全分开考虑左对偶和右对偶。
不过我记得幺正结构会唯一诱导pivotal结构，而且是spherical的（左右dual完全一样，没区别，左右分别的ev和coev的quantum dim一模一样），所以从这个意义上来看似乎既然我们肯定是要假定幺正性的，所以看起来似乎假定有很好的dual这一点也有充分的理由。。。
Anyway，我学的应该不够多，这应该只是TQFT数学上最简单的版本，扩展之后应该能描述Chern-Simons理论（他的态空间无限维）。
另外，今日看完Peskin第六章，显然第六章的处理不是太清晰，为了减少篇幅做了大量简化，最终就是导致我看的云里雾里。我建议红外这边直接看温伯格，没有人能写的比温伯格更好了。虽然大部分理论物理研究不需要你懂得红外的东西，但是红外物理在QFT的整个框架里面还是很重要的，至少你得知道为什么红外发散我们不会认为理论失效如何通过软光子发射抵消（说来惭愧，打这段话的时候其实我内心对抵消的细节也记忆的不太清楚了，毕竟上次看红外还是两年前学天球的时候看的温伯格上面的）。
欣闻最近温伯格第二卷译文也已经出版了，待我回国之后立刻买一套收藏，今后一定抽时间好好学学。
2025-11-21
今日看Costello关于Chern-Simons理论的录像：
果然🦅b就是不一样，开头第一节课讲微分形式，让你觉得这一节课真简单，而且Costello虽然是很🦅的数学佬，竟然用非常非常白话的语言，让数学家抓狂的语言讲这些东西。然后第二节课直接不给出主丛的定义讲纤维丛🤣。
另外今天想起来一个神奇的结论，根据Poincare对偶，奇数维的闭流形的欧拉示性数始终是0。Mud今天看论文要用这个结论，想起来之前自己还看过这个定理证明，另外把两个边界相同的流形沿着边界粘起来Euler示性数满足：
\[\chi(A\cup_KB)=\chi(A)+\chi(B)-\chi(K)\]另外有个subtle的地方我又回忆起来，想要记个ref，关于TQFT我看过很数学的文献1705.05734，这篇文献让我惊讶的地方在于，我曾经在物理学论文中看过TQFT的公理，但大家都是从路径积分motive的，但是如果你看数学家的论文会很不习惯，你会发现他们的公理其实不一样，有一些差别，而这篇文章告诉你范畴论的角度上看两个公理定义的是一个Functor，所以是等价的定义。
还有一个subtle的地方，数学上的配边（幺半）群和配边范畴是不是一个东西？TQFT显然用的是后者。额，显然这俩不是一个东西，我觉得最大的区别是数学上的配边群的目的只是给可以配边的两个流形之间建立等价关系，然后再看这些等价类在不交并下构成的群结构。但是TQFT不一样，物理上的motivation告诉我们我们必须区分配边的时候哪些流形是in态哪些流形是out态，所以这个时候有了箭头，或者说这个时候我们把配边看成两个流形之间的态射，显然态射就包含起点和终点对象，所以就顺利区分了in/out态。
哎，又纠结了定向配边范畴好久好久，无论学多少遍总感觉这个地方是最subtle的。
比如上面图片描述的2d TQFT，描述理论的时候我们需要上面三个态射作为生成元。但我们不会有右边三个态射，我个人认为是我前面说的，TQFT研究的是配边范畴，范畴上看我们描述态射需要区分哪些in哪些out，而有向情况配边根据$\partial M =\bar{A}\sqcup B$，自动决定$A\to B$，也就是$A$是in态$B$是out态，这样来看的话右边的三种配边显然就不存在了，也就是没有这样的态射，从物理上看似乎很显然，我们能够描述$V\otimes V\to \mathbb{C}$，也就是内积这种演化，但是似乎$V\to V^*$这个是个反线性的，量子力学的演化，至少你把态射解释成路径积分演化似乎自然避免了这种过程。Anyway，我可能理解错了，你或许可以解释右边三个图里面的圆柱给出的就是内积诱导的$V\to V^*$，但是我无法说服自己为何这个态射必须是内积诱导的对偶映射，原则上看我们似乎能够把他作为一个新的data作为TQFT的定义。或许需要画一个自洽性的图来说明这一点，我目前还没get到。
2025.12.03更新： 我和Yamazaki san讨论了我上面说的这个问题，他同意我的观点，就是你没办法用一个connected mfd去构造$S^1\sqcup S^1\sqcup\cdots \sqcup S^1\to \emptyset$的配边，你至少需要一个$\bar S^1$去make sense。至少在数学家定义配边的语境下是这样的，自动用定向确定in和out state。物理学家的那就有时候众口难调了，因为你需要用time slice区分in 和 out。。。虽然time slice很直观，而且用Moorse theory可以证明你在glue的时候不依赖于time slice的选取，but很多时候用这个我感觉会出一些sunbtle的事情，需要仔细一点。
2025-11-22
上周看完了龙猫，一个半小时，觉得太短了，龙猫出场时间也特别短，不过我觉得故事性不强。这周看天空之城，两个小时，mud还是感觉太短了，因为太他妈好看了。除了一男一女刚见面就爱上了让我很酸以外😄😄。另外说一句，我印象中我在初二时候才开始有听歌这个爱好（当然我直到现在听的歌也就局限于自己收藏的一些歌曲），而在我听的曲子里面排头几个的肯定有天空之城，今天终于把对应的作品看了。
2025-11-23
今天看完了幽灵公主，在动画片刚开始的时候就被字幕（我下载的是诸神字幕组的字幕）提醒道Kaya实际上是主角的未婚妻，后面主角离开村子去冒险的时候还送了信物。所以我看到后面就很吃惊，没想到又是一见钟情，主角还把Kaya给的信物直接送给了公主😄，一句“そなたは美しい”直接让公主态度180度大转弯。最后男主直接治好伤了村庄也不回了（不是，大家等着你当族长呢，你们村庄老龄化也很严重啊），直接抛弃未婚妻和公主生活在了一起。。。。摘录一段宫崎骏访谈的片段：
Q：为什么不回村子呢？
A：他不能回去。就算他回去了，又能怎么样？那里确实与世隔绝，但是最终，也许过不了多久，Tatara发生的事就轮到那边了。所以，如果伤治好后他说”回村子吧”，就什么都没有解决。而且怎么把San带回去也是个很头痛的问题。
Q：那个叫Kaya的女孩，既然去送别Ashitaka，应该是喜欢他吧？
A：那当然。她叫他”哥哥”，只是他们部族里对年长男生的称呼罢了。
Q：所以他们并不是亲兄妹。
A：是的话就不有趣了。日本以前有很多近亲结婚的习俗，我想Kaya就是将来要嫁给Ashitaka的。但是Ashitaka选择了San。不用奇怪怎么能跟兽类习惯的San呆在一起，这就是生活
最后说一下配乐，这个音乐我之前听过，没想到是这个里面的，我之前刷油管经常刷到「Bar Centifolia」里面用武士刀切冰块耍帅的调酒师的小视频，就用的这个配乐😂😂😂。
2025-11-24
我承认自己对超弦量子化理解的并不透彻，今天看Polchinski的二卷才醍醐灌顶，懂了Schlotter讲义上不少让我迷惑的操作。至于我的毕业论文，我承认这一部分我自认为写的很差，后面也不打算改了，去看Polchinski把，我觉得就算让我写也就是抄一抄Polchinski罢了。
另外今天对no-ghost theorem写了个评注，感觉终于弄懂了这三个formalism构造出来的顶角算符是如何放在S矩阵里面的，是如何等价的。我觉得我的困惑都是写在polchinski书里面的，只需要看得更加仔细一点就好了。另外今天查到原来最早弦振幅在光锥坐标下的计算是Mandelstam做的，对其人了解还很少，仅仅知道有Mandelstam变量，以为是场论的大家，没想到还是弦论的先驱。虽然我不喜欢李淼老师的为人（众所周知的原因），不过我还是想读一读李淼老师写的弦论简史了解一下弦论发展脉络（不知道QFT除了温伯格书的第一章以外有没有比较好的简史）
2025-11-25
有点意思，我之前买springer的书，地址填的日语然后担心没办法送达，因为快递单上全是乱码。但是我手机号码是对的，邮政编码也是对的，所以找DHL的LINE客服就直接解决了。不过在这之前我找Springer的客服问了下能不能改，他们那边极其草台班子，开始说改不了，后面说可以改，但是后面发邮件问我的时候已经发货了，然后又跟我说改不了了。在我收到书之后过了一周马上又来个德国的包裹，感情他们因为发货了改不了，担心包裹送不到，就干脆重新免费按照新的地址已发了一本给我，现在我花5000日元买了两本书。。。而且后来发的那本成色明显比第一好，基本没有什么磕碰，打算过年带回家收藏。这真赚大发了。
2025-11-26
什么是TQFT的张量积？这个比较简单。就是把$d-1$维流形对应的态空间直接tensor起来，然后把配边得到的演化算符也直接tensor起来。简单的原因就是对于两个张量函子我们很容易定义他们的张量积。
什么是TQFT的直和？今天花了一些时间试着定义这个理论，很多TQFT讲义都把这个当作习题了，我目前没有发现详细讨论定义细节的讲义，我写一个自己的理解。由于不交并的Object的希尔伯特空间用的是张量积，所以相对来说讨论直和要subtle一些。实际上我们首先要对连通的$n-1$维流形定义态空间为$Z_1\oplus Z_2$，而$n$维配边得到的演化算符写成矩阵形式是这样：
\[(F_1\oplus F_2)(M_n):=\begin{pmatrix}F_1(M_n)&0\\0&F_2(M_n)\end{pmatrix}\]如果是disconnected的怎么办？这个时候我们应该根据oplus之后仍旧是一个TQFT，然后通过$Z[\Sigma_1\sqcup \Sigma_2]:=Z[\Sigma_1]\otimes Z[\Sigma_2]$来构建理论。这时候就会出现交叉项，理论的描述其实很复杂。不过文章q-alg/9505026说明了TQFT如此定义的直和在二维和Frobenius代数的直和是一样的。
相比于直和，直积的物理意义其实感觉更明晰一些，对应的就是振幅factorization，路径积分乘起来，就是两个理论没有interaction耦合起来也就是$S_{1\otimes 2}[\Phi_1,\Phi_2]:=S_1[\Phi_1]+S_2[\Phi_2]$。
为什么我们说anyon或者说拓扑序里面的拓扑激发我们认为可以用UMTC描述？如果你看孔良老师的讲义，他其实对这部分的物理描述的比较少，往往是通过一些直观的例子反复强行跟你灌输这个要求，但是你仔细一想又会觉得很多地方没多大道理，或者说我们只能believe。我之前在学这部分的时候想到了可能和TQFT有关系，最近看Moore的讲义，证实了这一点。其实我们描述的gapped quantum liquid描述的是零温附近红外的物理，这部分的物理，或者说anyon的激发，可以用Chern-Simons理论描述，这是一个3d的理论，提现到2d的拓扑序上面会dual到（或者说holographic到）一个2d的RCFT，而RCFT早在上个世纪我们就知道是可以用MTC描述的（有的RCFT不一定幺正）如果你学CFT看的是Blumenhagen的教材，第二章的结尾就会告诉你Conformal Block满足pentagon等式，YBE之类的。从这些也能略窥一二。But我对Chern-Simon理论如何描述任意子以及如何dual到一个RCFT了解的还不是太多，先mark一下。
今日与Chatgpt激烈辩论，依旧没有完全弄明白Oriented Corbordism Cat里面我觉得比较subtle的地方，本来打算明天问问Yuji，结果发现明天调课了不上课，Yamazaki不知道去哪里开会了，Watanabe去台湾玩了，Gi-wan主要是学quantum gravity。。。看看周五能不能和Kei-san讨论一下试试。
今天看完了萤火虫之墓，看完电影之后应该会有两拨人，第一拨人是觉得战争好惨，觉得导演是在刻画两个小孩的死来反战；另外一拨人就纯粹是觉得日本被轰炸完全活该，认为这部片子是反战败。后面一种观点我觉得没有任何谈的必要，这片子显然是反战而不是反战败，那么导演想表达的是不是第一个意思了？有一说一当我第一次看完这片子的时候我确实有点同情这两个小孩，但是在看的过程中我又不断地厌恶男主，导演一次次刻意塑造社会对这两个小孩的冷漠从而让人心生怜悯，我觉得我的同情主要来源于此。但是我转而思考，如果导演仅仅只想表达这一点，那就太low了，重新回忆了一遍影片中的细节，我发现和这篇文章说的一样，我提前带入了导演对主角一定是持肯定态度的这种看法。实际上从主角的出身就能看出导演对主角的定位就是军国主义上脑的产物，这从男主明明没有上战场，但是始终带着海军帽，经常提起父亲的军舰唱起军歌甚至直到妹妹要死了才取出剩下的三千块钱买吃的，因为男主一直坚信战争会进行很长一段时间，取钱的时候才知道日本投降了而且不敢相信就能看出一二。你带入这个视角来看导演其实有点想描写主角该死的味道，刻画被军国主义洗脑的人物的悲剧来反军国主义，就算你没看懂这一层你也能从不断的战争对比描写看出来反战的味道，当然你如果悟出了我说的这一点，你会发现这电影真正的奥妙。然后你会发现确实姨妈非常刻薄，但是反而姨妈是无辜的百姓，男主被军国主义洗脑整天想着大日本帝国，姨妈是真正的平民百姓因为战争导致生活拮据。男主恶心就恶心在他支持军国主义但是他他妈的不用上战场啊！因为他他妈的只需要动动嘴皮子，他家里是军官，生活优越，底下士兵当炮灰就行了，你再细想姨妈对主角说过的一句话：“整天不去救火，反而第一个跑去防空洞”。初听起来对于失去双亲的孤儿确实很冷漠，但是放在主角身上可太他妈的合适了，这不就是主角这种被洗脑狂热支持军国主义但是到了真正战争来临总是贪生怕死躲在最后面的人吗？最后快饿死了去偷东西发国难财，汽油弹砸下来还要说烧的好，回去的路上还装成军官耍军威。听到这里你还同情主角吗？出于人性，我想是同情的，而电影就是要告诉你罪恶的军国主义对民众的洗脑，而这些信徒最终都会自取灭亡。
2025-11-27
对于弦振幅，或许不少人存在一个疑惑就是为什么在计算环面配分函数的时候一定有trace这一步？如果你和我一样是先学的CFT再学的弦论，可能更加无法理解这一点，虽然从物理上看似乎很直觉，大家会跟你讲想象一根弦作为环面世界面的一个cycle，然后绕着环面世界面转了一圈，环面的复结构自然给你一个phase $e^{-2\pi\tau_2H}e^{+2\pi\tau_1P}$（注意这里是欧式时间，后面会用），由于回到原处，所以要和之前的态粘起来，所以我们用trace。如果是不可定向的曲面，那么还得反转一下定向站起来才能得到Klein瓶等拓扑，所以不可定向曲面前面还得加个世界面宇称算符$\Omega$。
但是为什么？为什么会出现trace？也就是对所有态的求和？回忆我们无论是计算QFT里面的关联函数，还是球面的CFT关联函数，都不涉及到对所有态的求和，路径积分的观点到了哈密顿这边就是真空关联函数$\bra{0}\cdots\ket{0}$。就像是我们只考虑了零温对应的基态，但是为什么到了环面这边我们就要对所有态求和了？这其实要回归头看弦论振幅的定义，注意弦论振幅我们不像QFT振幅，先计算off-shell的关联函数，然后根据LSZ公式给一个in-out的on-shell的S矩阵定义。对于弦论振幅，我们就是直接把下面的on-shell的Polyakov路径积分定义成S矩阵：
\[\begin{aligned}&S_{j_1...j_n}(k_1,\ldots,k_n)\\&=\sum_{\text{topologies}}\int\frac{[dXdg]}{V_{\mathrm{diff}\times\mathrm{Weyl}}}\exp(-S_X-\lambda\chi)\prod_{i=1}^n\int d^2\sigma_ig(\sigma_i)^{1/2}\mathscr{V}_{j_i}(k_i,\sigma_i)\end{aligned}\]注意我使用了定义这一个词，就是说我们应该把这个式子看成是微扰弦理论的定义，他没有与QFT一样的in-out的formalism的表述形式，这个定义是对的是因为再弦长极限下，高激发态decouple，这个S矩阵恰好对应QFT的S矩阵。重点就在于，这里的路径积分是没有边界条件的！唯一的边界条件其实就是非平凡世界面的monodromy给的约束。对于球面，或者说平面，这个时候monodromy平凡，这就回到我们一般的QFT，$i\epsilon$-trick会把所有的无穷远的态自动投影到真空态，也就回到经典结论，无边界条件的路径积分对应的是（相互作用）真空关联函数。
我们仔细看一下这个trace，先假设没有$P$，而且假设我们是在minkowski时空里面做这个trace：
\[\begin{aligned}\mathrm{Tr}\left(e^{-\beta H}\right)&=\int(d\phi(0))\langle\phi|e^{-iH(-i\beta)}|\phi\rangle=\int(d\phi(0))\int(\mathcal{D}\phi)_{\phi(0)=\phi}^{\phi(-i\beta)=\phi}\exp\left[i\int_{t=0}^{t=-i\beta}d^{4}x\mathcal{L}(\phi)\right]\\&=\int(\mathcal{D}\phi)_{\phi(0)=\phi(-i\beta)}\exp\left[i\int_{t=0}^{t=-i\beta}d^{4}x\mathcal{L}(\phi)\right]\\ &\xrightarrow{\text{Wick}} \int(\mathcal{D}\phi)_{\phi(0)=\phi(\beta)}\exp\left[-\int_{\tau=0}^{\tau=\beta}d^{4}x_{E}\mathcal{L}_{E}(\phi)\right] \end{aligned}\]上面的计算中我们用了路径积分给出的关联函数的定义，注意，下面的两边的态$\ket{\phi}$都是在海森堡表象下不含时间的一个time slice（$t=0$）上的场（所以我使用$d\phi(0)$也是为了提醒你这个时候我们只对0时刻time slice上的场构型求和）：
\[\langle\phi^{\prime},t^{\prime}|\phi,t\rangle=\langle\phi^{\prime}|e^{-iH(t-t^{\prime})}|\phi\rangle=\int(\mathcal{D}\phi)_{\phi(t)=\phi}^{\phi(t^{\prime})=\phi^{\prime}}\exp\left[i\int_{t}^{t^{\prime}}d^{4}x\mathcal{L}(\phi)\right]\]注意上面插入$e^{-\beta H}$之后求trace我们其实在路径积分的角度上看干了两件事情，一是给了路径积分一个周期性的边界条件，二是把作用量上面时间方向的积分改成有限区域内进行的了。在我们把时间wick转动之后这个周期性边界条件就完完全全和时间方向的$S^1$拓扑联系起来了。
其实这就类似于我们在考虑$\mathbb{R}^{3,1}$时空的有限温度场论的时候，我们关心的不是关联函数，而就是那个trace $\mathrm{Tr}\left(e^{-\beta H}\right)$，在时间方向wick转动之后我们发现这其实上对应在算$S^1\times \mathbb{R}^3$的Euclidean时空的路径积分。现在弦论其实就是我们本身想算的是$S^1\times S^1$ Euclidean时空上的路径积分，然后我们反过来利用这一点把他转换成了去考虑CFT的希尔伯特空间上面的trace的计算问题。也就是说注意到时间和空间欧式几何上面完全等价，前面的推导我们相当于是在插入时间方向的平移$iH$，或者说到了欧几里得这边就是$-H$，而现在我们还需要在空间方向插入一个空间平移，本身就是欧几里得的$P$，然后跟上面的推导完全平行，不难发现空间方向插入这个算符取trace相当于对复结构为$\tau$的环面给出了正确的路径积分时候的monodromy边界条件，然后还把作用量空间方向的积分变成有限的$S^1$上进行了。而CFT上面的谱我们是很清楚的，这就使得复杂的路径积分计算变得可能。当然如果你插入顶角算符，这个问题又会变得相当麻烦，我现在还完全不知道带顶角算符的要怎么算。另外我再强调一下，这种做法完完全全依赖于我们的拓扑是环面拓扑，所有有两个方向粘合，刚好写成trace，但实际上如果是更高亏格的曲面，就不能直接简单地考虑成trace了。计算方法要改成胖次分解的做法，在polchinski的第九章有写，不过基本没有具体计算的例子，感觉很抽象，看完之后我还是不知道怎么具体计算。
2025-11-28
今天晚上看完魔女宅急便，故事很简单老套，就是少女的成长，但这个描写方式还是让我看得很有感触。无非就是告诉你人生难免有风雨，就像天气预报也无法准确预测，猝不及防遭受打击的时候愿能保持心态，放松放松，等待并抓住机遇的来临。
话说宫崎骏的电影和皮克斯的电影一样，目前看的似乎都是阳光的，大圆满结局，就看的很爽哈哈（但愿后面看的几部不会光速打脸我自己）。
2025-11-29
对于像我这样先读Srednicki再读Peskin的书的人来说，或许并不习惯Peskin在part1对重整化的计算。Peskin实际上也是在OS重整化方案上搞事情，只是他的OS条件是直接用Källén–Lehmann加上去的，没有把裸量之类的进行提前区分，所有的微扰都是在裸量上展开的，所以是在裸微扰论上搞事情。由于裸量天然发散，所以这个微扰注定是发散的，似乎在part2对重整化系统处理的时候才会引入重整化系数重新吸收发散，拭目以待。希望本学期结束的时候能读完part 2，感觉对QFT的理解也就查漏补缺满足了。（毕竟真正科研的时候其实并非整本书的QFT都会用到。。。知道大致的方法就行）
今天看完了千与千寻，感触不深，没有太多思考，全然当做一个童话故事来看，后面看网上有人解读成千寻与童年的告别，把出场的人物都看作是千寻童年中出现的人物，刚好和影片中最后的别回头以及出了隧道发现已如隔多年相呼应，而且正好和影片刚开头就提到的搬家以及与同学的分离契合。我挺喜欢这个解读的，我同时也看到有人试图把这个解释成日本泡沫经济时代的缩影，把汤婆对应的🦅解释成美国，那我只能说大家都有自己的哈姆雷特。
2025-11-30
今天看完了听见涛声，故事还是好的，不过可能还是时长关系，对女主角色塑造的感觉不够，毕竟影片中一直让人觉得女主很讨厌，那最后突然来一句男主喜欢女主，虽然我能猜到这影片想表达的意思从而猜到结局，但是总得有个喜欢的逻辑吧，这给我的感觉就像是男主只是被女主外貌吸引罢了，当然我说了毕竟只是个七十分钟的电影，对男女主心理的描写还是不多或许因为我只看了一遍，我没有明确感受到情节在哪里突出了男女主互生情愫，心理状态的转变，这我没感受到。
anyway，最近看电影看的有点多，而且周末这两天一直在睡觉，感觉怎么都睡不醒，本来周末打算工作两整天，现在来看两天加起来估计才凑够十小时。听见涛声最后男女主相遇的车站在吉祥寺，刚好就在三鹰之森美术馆那里，下个月去逛的时候注意一下。
另外这已经是十一月最后一天了，来东京已经两个月了，一直在看论文学东西，不过我天性愚笨，学得很慢，散射振幅这种技术性强而且也不难的学起来感觉还是快不少，希望本学期结束我能赶紧到能够科研的程度吧。
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