本科毕业一年了，在这一年里对场论和弦论的理解也发生了很多变化。所以以前写的本科论文里面就存在不少幼稚甚至是错误的地方。由于学业繁忙所以不太想再对毕业论文进行更新，但是本着对自己写的内容负责的态度，感觉如果不写一个勘误还是说不过去。本文的目的就是集中一些我目前已经发现的错误，并尝试修改表述。
但是学习的过程就是反复迭代的过程，所以我也并不保证这个修正之后的表述一定是对的，或许以后出一个勘误的勘误也不是不可能。
勘误
$\S$ 4.5.1 (page 47)
在第一段我说了下面的一句话：
但是，观察自旋场 OPE， 我们发现 R 部分并不是一个自由 CFT，也就是说 OPE 得到的结果仍然包含场算符。
上面的话当然完全是错误的，不管你怎么argue，至少RNS弦论，上面的CFT肯定是自由费米和自由boson1。我这句话其实重点是想说不能吧spin field当作自由场来用wick定理，所以计算关联函数的时候会复杂不少。然而我不想讲bosonization，因为那个时候我对这个理解的不深。我回忆了一下当时我写下这句话多少受到大黄书的影响，因为大黄书讲CFT很少提Lagrangian本身，这当然是CFT很重要的特性，不必要Lagrangian表述。但是这也导致大黄书在讲什么是自由CFT的时候强调OPE自由，也就是OPE后是常数，不继续带field。这句话多少程度上会导致一些误解，我们更应该说对理论的基本场OPE自由，因为即便是自由boson，显然顶角算符之间的OPE就不是自由的。这里一样的spin field是一个twist之后的场，并非基本场，你用bosonization就能看出确实还是自由的。
但是pure spinor string，他的CFT因为需要impose pure spinor条件，所以确实非自由，这也是一个当今pure spinor计算中很麻烦的地方。这部分我也并没有理解的很清楚，建议问晨哥。
$\S$ 5.2.2 (page 55)
在这一节的最后我总结了下约束体系的量子化，对于第一类约束那里我漏掉了一点。我说第一类约束看作是态空间上的强条件：
\[\hat \phi\ket{\mathrm{phys}}=0\]这句话没有问题， 第一类约束对应规范变换的生成元，所以你量子态的意义上加强条件相当于经典相空间商掉规范变换。微妙的地方在于往往还会剩下一些$\ket{\mathrm{null}}$的态，和物理态decouple，所以也需要去掉。这个小问题我当时忘了说，但是也非常重要。
$\S$ 2.1.3 (page 6)
这个接上一条，注意弦论的covariant量子化确实就是很标准的第一类约束写成virasoro条件：
\[\hat T\ket{\mathrm{phys}}=0\]我说这个条件和Gupta-Bleule 量子化方法里面impose的条件很像，但是注意其实Gupta-Bleule 量子化里面的并不是我们这里说的第一类约束作为态空间上的条件的标准Dirac量子化方法。因为它impose的是下面的方程：2
\[(\partial_\mu A^\mu)^{(+)}\ket{\mathrm{phys}}=0\]这是impose的somehow一个gauge fixing的方程，而不是第一类约束，当然确实和Virasoro条件那里的是类似的，但是有这个微妙性要注意。
但是反过头来我又没说错，首先我们为何在QED实现Dirac量子化的时候要用Gupta-Bleule 量子化？当然你从现代意义上说可以看作是BRST量子化前身，但是重点在于为什么我们要impse这个规范固定条件呢？而不是第一类约束条件？因为在QED里面第一类约束实际上是Gauss law，他不是covariant的，所以你impose得话就会破坏covariant条件。到了弦论这边，$T_{ab}=0$确实是第一类约束也确实covariant。但是，这里又要注意了，现在我们仔细看一下Gupta-Bleule 量子化是怎么impose条件的，他是只impose了正频部分！而virasoro条件实际上注意到我们也是impose了$L_{n\geq 0}$的部分！为什么？弦论这边注意到$L_m\sim \sum:\alpha_{m-n}\alpha_n :$3。如果$m\geq0$，正规排序后始终是$\alpha_{n\geq 0}$先作用在态上，但是如果$m<0$，会存在$\alpha_{m<0}\alpha_{n<0}$这种，而我们知道它作用在态上不能是0。所以如果负频率部分也impose，会把物理态也砍了。
这其实是在告诉我们理解Dirac量子化第一类约束条件的时候是很微妙的，不少情况下必须refine这个条件才能用，而不能机械式的理解，而约束体系量子化本身到现在也是个很麻烦的问题。