这是瀧雅人教授在2011年写的AGT猜想介绍的日文综述第二节的翻译，其它章节的翻译请见：

以下是本节目录：

2 二维共形场论与共形块

2 二维共形场论与共形块

关于共形场论的介绍，已有 [5, 6, 7, 8] 等专家所著的大量综述。这里遵循 Polchinski 著名教材 [7] 第 3 章，只说明共形场论的要点。随后引入共形块的概念，并通过具体计算作为通向 AGT 猜想的导引。

2.1 二维共形场论

共形场论，是指具有共形不变性的量子场论模型。所谓共形变换，是指局域尺度变换 $ds^2 \to \Lambda(x)ds^2$。本文主要讨论二维共形场论。控制这一理论的二维共形对称性，无非就是在全纯坐标变换 $z \to f(z)$ 所诱导的变换 $ds^2 = dz d\bar{z} \to |f’(z)|^2 dz d\bar{z}$ 下的不变性。具有这种对称性的二维量子场论，就称为共形场论。本章希望说明，共形对称性如何强有力地约束关联函数，而这又如何使严格解析成为可能。为此，先来看一看共形场论“公理性”的一面。

态-算符对应

为了考察共形场论的一般性质，我们先引入其基础的态-算符对应思想。通常，状态与局域算符是不同的概念，在研究理论谱时，我们考察的是状态。共形场论的一个显著特征在于，在这一理论中，状态与局域算符是等价的。其关键在于复 $z$ 平面与圆柱$w\in\mathbb{C}^\times$之间的共形映射 $z=e^{iw}$。在以 $w=\sigma-i\tau$ 表示的圆柱上，同时刻 $\tau=\mathrm{const}$ 在 $z$ 平面上恰好对应于等半径切片。

图1：$z$ 平面上的径向同时刻

因此，在圆柱上我们考虑把径向视为时间的径向量子化。映到 $z$ 平面后，可以把带有初态的无限过去 $\tau=-\infty$ 对应到复平面的原点 $z=0$。于是，态-算符对应的基本思想就是，把在某个径向同时刻给定的状态，对应为原点处的一个局域算符。为什么这种对应是可能的，下面马上来看。

首先考虑量子力学中的波函数 $\psi(x,t)$。我们采用 Schrödinger 表象。要从状态 $|\psi(t)\rangle$ 定义出坐标表象中的波函数，只需在量子化时刻的位置本征态上展开，并取其系数 $\psi(x)=\langle x|\psi,t\rangle$ 即可。因此，在这一波函数表示中插入坐标完备系，就可知时间演化为

\[\langle x_f|\psi_f,\tau_f\rangle = \int dx_i\, G(x_f,x_i)\langle x_i|\psi_i,\tau_i\rangle. \tag{2.1}\]

其中决定时间演化的这个格林函数可写成

\[\begin{aligned} G(x_f,x_i) &= \langle x_f|e^{-i(\tau_f-\tau_i)H}|x_i\rangle \\ &= \int_{x(\tau_i)=x_i}^{x(\tau_f)=x_f}\mathcal{D}x\, e^{iS}. \end{aligned} \tag{2.2}\]

这就是它的路径积分表示。

场论中的波泛函 $\Psi[X(\sigma)]$，也是在某一时刻于状态 $|\Psi\rangle$ 中观测到场构型 $X(\sigma)$ 的概率振幅。因此，完全类似地，场论中的波泛函可写为

\[\langle X_f(\sigma)|\Psi_f,r_f\rangle = \int \mathcal{D}X_i \int_{X(r_i)=X_i}^{X(r_f)=X_f} \mathcal{D}X\, e^{-S[X]} \langle X_i(\sigma)|\Psi_i,r_i\rangle. \tag{2.3}\]

这里我们写出了插入格林函数路径积分表示后的形式。现在，我们把复平面的径向方向视为时间演化。因此，图 2 左边两条径向“时间” $r_{i,f}$ 之间的时间演化，就是由式 (2.3) 给出的。为了计算这一时间演化，只需对时刻 $r_i \le r \le r_f$ 之间的场构型 $X$ 做路径积分即可。不过，在上式中，时刻 $r_{i,f}$ 处的场必须由边界条件 $X(r_{i,f})=X_{i,f}$ 固定后再积分。换言之，在路径积分表述中给定场的边界条件，就意味着指定了状态。

现在来考虑，把给出初态的时刻 $r_i$ 不断推向更远的过去。则足够遥远的过去 $r_i \to 0$，正对应于原点 $z=0$。于是，在 $\int \mathcal{D}X_i$ 的积分中，为了指定初态而在 $|z|=r_i$ 处插入的权重，便收缩到只在原点插入。也就是说，在这一极限下，决定状态的边界条件 $X(r_i)=X_i$ 的影响，可以表示为无边界路径积分中在原点插入一个局域算符：

\[\langle X_f(\sigma)|\Psi_f,r_f\rangle = \int^{X(r_f)=X_f}\mathcal{D}X\, e^{-S[X]}\mathcal{O}(z=0). \tag{2.4}\]

这样一来，如果把初态理解为在遥远过去 $r_i \to 0$ 给定，那么指定某个状态，就完全等价于在原点插入一个局域算符。

图2：态-算符对应

以上讨论导出的结论是，在二维共形场论中，状态与局域算符是等价的概念。这就称为态-算符对应。以这一对应为背景，下面我们主要考虑全部局域算符所成的集合。我们常常把这些对象称为“场”，但这里所说的并不一定只是基本场，也包括复合场，这一点需要注意，因为它与通常的用语并不完全相同。

能量-动量张量与算符乘积展开

前面已经说过，在共形场论中要考虑全部局域算符的集合 $\{\mathcal{O}_i\}$，而这些算符之积的结构包含着极其重要的信息。特别是，我们关心插入点彼此接近时的奇异行为，描述这种行为的正是算符乘积展开（OPE）。也就是说，OPE 就是把算符乘积重新按集合 $\{\mathcal{O}_i\}$ 这一组基底展开所得的关系式：

\[\mathcal{O}_i(z,\bar z)\mathcal{O}_j(w,\bar w) = \sum_k C_{ij}^k(z-w,\bar z-\bar w)\mathcal{O}_k(w,\bar w). \tag{2.5}\]

不过，这一关系式的含义是，在任意取了时间有序乘积的关联函数中，都可以进行这样的改写。当插入点彼此接近时，这个展开系数 $C$ 一般会发散，而这种奇异行为是极其重要的。这是因为，它通过 Ward-Takahashi 恒等式反映了场在对称变换下的变换性质。

下面来考虑二维的 Ward-Takahashi 恒等式。把某个对称变换 $\mathcal{O}_i \to \mathcal{O}_i + \delta \mathcal{O}_i$ 所对应的流记为 $J_{z,\bar z}$。利用 Stokes 定理，Ward-Takahashi 恒等式可写为

\[\langle \delta \mathcal{O}(w)\cdots \rangle = \frac{i}{2\pi}\oint dz\, \langle J_z(z,\bar z)\mathcal{O}(w)\cdots \rangle - \frac{i}{2\pi}\oint d\bar z\, \langle J_{\bar z}(z,\bar z)\mathcal{O}(w)\cdots \rangle. \tag{2.6}\]

这里假定在 $\epsilon(z)\neq 0$ 的区域中，只插入了算符 $\mathcal{O}(w)$。二维曲面上张量运算的约定遵循 Polchinski [7]，更细致的定义可参见该书。值得注意的是，这个右边正给出了 $J$ 与 $\mathcal{O}$ 的 OPE 的留数：

\[\langle \delta \mathcal{O}(w)\cdots \rangle = -\langle \mathrm{Res}[J_z\mathcal{O}]\cdots \rangle + \langle \mathrm{Res}[J_{\bar z}\mathcal{O}]\cdots \rangle. \tag{2.7}\]

也就是说，Ward-Takahashi 恒等式把场的变换性质与场和流之间 OPE 的极联系了起来。于是，我们来考察对应于共形变换 $\delta z=\epsilon(z)$，$\delta\bar z=\bar\epsilon(\bar z)$ 的 Ward-Takahashi 恒等式。回忆一下，共形变换所对应的流正是能量-动量张量 $T$ [7]。也就是说，$J_z=T(z)\epsilon(z)$，$J_{\bar z}=\bar T(\bar z)\bar\epsilon(\bar z)$。因此，关于无穷小共形变换 $\delta z=\epsilon(z)$ 的场的变换性质，可以从它与能量-动量张量之间的 OPE 中读出来：

\[\delta \mathcal{O} = -\mathrm{Res}\bigl[\epsilon(z)T(z)\mathcal{O}(w)\bigr]. \tag{2.8}\]

对于反全纯自由度 $\delta\bar z=\bar\epsilon(\bar z)$ 也是同样的。这样一来，场的变换性质便承载了它与能量-动量张量的 OPE 信息的一部分。至于到底能读出多少信息，则取决于场的种类，下面就来说明这一点。

初级场与 OPE

作为典型的共形变换，先来考虑平移 $\delta z=\epsilon$。在这一变换下，场的行为很简单：$\delta\mathcal{O}=\mathcal{O}(z-\epsilon)-\mathcal{O}(z)=-\epsilon\partial\mathcal{O}(z)+\cdots$。因此，对任意场而言，OPE 的一阶极点都具有固定的形式$T(z)\mathcal{O}(w)=\cdots+\frac{\partial\mathcal{O}(w)}{z-w}+\mathrm{reg}$（这里及以下，我们常常省略反全纯部分 $\bar w$ 的记号）。

接下来，另一个重要的共形变换是$\delta z=\epsilon z$，$\delta\bar z=\bar\epsilon\bar z$。$\epsilon$ 的实部与虚部分别生成伸缩与旋转。对于径向量子化来说，与它们对应的流分别扮演能量和角动量的角色。当然，Hilbert 空间中的一般状态并不保证在 Hamilton 算符和角动量算符作用下有良好的性质，因此我们引入对应于这些本征态的概念：

准初级场 quasi-primary operator，是指具有如下变换性质的局域算符
\[\delta\mathcal{O} = -\epsilon(\Delta\mathcal{O}+z\partial\mathcal{O}) -\bar\epsilon(\bar\Delta\mathcal{O}+\bar z\bar\partial\mathcal{O}). \tag{2.9}\]
称 $\Delta,\bar\Delta$ 为该场的共形权。

这个 $\Delta,\bar\Delta$ 分别对应于能量与角动量。把它与 $\mathrm{Res}[zT(z)\mathcal{O}(w)]$ 比较，就会发现二阶极点的系数已被固定。也就是说，拟初级场就是满足如下 OPE 的场：

\[T(z)\mathcal{O}(w) = \cdots + \frac{\Delta\mathcal{O}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial\mathcal{O}(w)}{z-w} + \mathrm{reg}. \tag{2.10}\]

在以上讨论中，我们还无法限制 OPE 中三阶及以上的极点。因此，为了考察一种其中 OPE 的奇异性与共形变换性质携带相同信息的情形，我们再考虑一种性质好得多的场：

初级场 primary operator，是指 OPE 的奇异性至多到二阶的拟初级场，即
\[T(z)\mathcal{O}(w) = \frac{\Delta\mathcal{O}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial\mathcal{O}(w)}{z-w} + \mathrm{reg}. \tag{2.11}\]

由 Ward-Takahashi 恒等式立刻可知，这一式子等价于在 $\delta z=\epsilon(z)$ 下的变换性质$\delta\mathcal{O}=-\Delta\epsilon’\mathcal{O}-\epsilon\partial\mathcal{O}$。以下我们将主要围绕这种初级场展开讨论。

Virasoro 代数

在一般的 CFT 中，能量-动量张量的 OPE 已知具有如下形式：

\[T(z)T(0) = \frac{c}{2z^4} + \frac{2}{z^2}T(0) + \frac{1}{z}\partial T(0) + \cdots. \tag{2.12}\]

这里的 $c$ 称为中心荷，它来源于共形变换的反常。这一 OPE 关系式，可以在具体的 CFT 模型中直接计算验证。

图3：Virasoro 代数的算符乘积表示

现在回忆一下，$T(z)$ 正是由共形变换产生的流。因此，能量-动量张量的模展开

\[T(z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{L_m}{z^{m+2}}, \qquad L_m = \oint_{C_0}\frac{dz}{2\pi i z}\, z^{m+2}T(z),\]

给出了场空间上共形变换的生成元。于是，从 OPE (2.12) 出发，就可以导出这些生成元的交换关系：

\[\begin{aligned} \left[L_m,L_n\right]=\oint_{C_0}\frac{dz}{2\pi iz}\oint_{C_0}&\frac{dw}{2\pi iw}z^{m+2}w^{n+2}T(z)T(w)\\&-\oint_{C_0}\frac{dz}{2\pi iz}\oint_{C_0}\frac{dw}{2\pi iw}z^{m+2}w^{n+2}T(w)T(z). \end{aligned} \tag{2.13}\]

这里有一点需要注意。那就是，在关联函数内部，算符本来是取时间有序乘积的。也就是说，在径向量子化中，算符是按径向有序乘积排列的。因此，在关联函数中各算符本来就已经依照径向顺序排列，下面我们便把算符之积理解为径向有序乘积。于是，式 (2.13) 右边的两项就分别对应于图 3 所示的积分路径。现在像图 4 那样将积分路径变形，就可把交换关系右边改写成一个单独的留数积分：

图4：积分路径的变形

\[[L_m,L_n] = \oint_{C_0}\frac{dw}{2\pi i w} \oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i z} \, z^{m+2}w^{n+2}T(z)T(w). \tag{2.14}\]

这样一来，就能够从 OPE (2.12) 得到著名的 Virasoro 代数：

\[[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n} + \frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m,-n}. \tag{2.15}\]

不过，实际上除了这个代数 $\mathrm{Vir}(c)$ 之外，还存在来自反全纯自由度的生成元 $\bar L_m$，它们构成关于 $\bar c$ 的同样代数 $\overline{\mathrm{Vir}}(\bar c)$。而且，这两个扇区彼此对易$[L_m,\bar L_n]=0$。

初级态与共形族

接下来考察 Virasoro 生成元在状态上的作用。利用状态-算符对应，$L_n$ 对状态 $|\mathcal{O}\rangle$ 的作用，可以从 $T$ 与 $\mathcal{O}$ 之间的 OPE 中读出。因此，关于状态的共形变换，有如下对应关系：

\[L_n|\mathcal{O}\rangle \;\longleftrightarrow\; \oint \frac{dz}{2\pi i}\, z^{n+1}T(z)\mathcal{O}(0) = L_n\cdot \mathcal{O}(0). \tag{2.16}\]

于是，我们不妨把算符 $\mathcal{O}$ 取为初级场。由于初级场与能量-动量张量的 OPE 只具有到 $1/z^2$ 为止的奇异性，因此它所对应的状态满足$L_0|\mathcal{O}\rangle=\Delta|\mathcal{O}\rangle$，$L_{n\ge 1}|\mathcal{O}\rangle=0$。我们将这样的状态记作 $|\Delta\rangle$，称为维数为 $\Delta$ 的初级态，或者最高权态。

真空（$SL(2,\mathbb{C})$ 不变态）对应于恒等算符 $1$，即 $|1\rangle \leftrightarrow 1$¹。由于 $T$ 与 $1$ 的 OPE 中没有奇异项，由态-算符对应可得$L_n|1\rangle=0$，$n=-1,0,1,\dots$。值得注意的是，不能把真空定义为被所有 Virasoro 生成元都湮灭的状态，最多也只能对 $n=-1,0,1,\dots$ 这些模施加这样的条件。

现在准备工作已完成，我们来介绍 Virasoro 代数的表示论。初级态给出了谱的下界，也就是说，它对应于谱中的基态。然后对其施加生成元，便可生成整个谱，其中升运算符由 $L_{n<0}$ 给出。这是因为，由交换关系可知，当 Virasoro 生成元作用在状态 $|\mathcal{O}\rangle$ 上时，

\[L_0L_n|\mathcal{O}\rangle = (L_nL_0-nL_n)|\mathcal{O}\rangle = (\Delta(\mathcal{O})-n)L_n|\mathcal{O}\rangle,\]

因此 Virasoro 生成元确实扮演升降算符的角色。于是，对初级态反复作用升运算符 $L_{n<0}$，就会生成如下的谱：

\[\begin{array}{ccc} &\cdots & \\ L_{-1}^3|\Delta\rangle & L_{-2}L_{-1}|\Delta\rangle & L_{-3}|\Delta\rangle \\ & L_{-1}^2|\Delta\rangle & L_{-2}|\Delta\rangle \\ & & L_{-1}|\Delta\rangle \\ & & |\Delta\rangle \end{array}\]

这个 Hilbert 空间 $\mathcal{V}_\Delta$ 称为共形族。或者说，它是 Virasoro 代数最高权表示的空间，也称为 Verma 模。为了避免歧义，我们固定 Virasoro 生成元的作用顺序$L_{-Y_1}L_{-Y_2}\cdots$满足$Y_1\ge Y_2\ge \cdots$。这个表示空间的一般基矢可以用杨图来标记。因为在这里，Verma 模的任意基矢都可以写成

\[L_{-Y}|\Delta\rangle = L_{-Y_1}L_{-Y_2}\cdots L_{-Y_{d(Y)}}|\Delta\rangle =:|\Delta,Y\rangle,\]

其中 Young 图$Y=[Y_1\ge Y_2\ge \cdots >0]$。除了 $L$ 生成元外，还有 $\bar L$ 生成元，并且两者对易，$[L_m,\bar L_n]=0$，因此实际的表示空间是张量积$\mathcal{H}=\mathcal{V}_\Delta\otimes \bar{\mathcal{V}}_{\bar\Delta}$。一般来说，共形族的基矢由 $L_{-Y}|\Delta\rangle$ 张成，但这里有一点必须注意：当 $c$ 和 $\Delta$ 取某些特殊值时，这个表示空间会发生退化。为了理解这一点，考虑如下向量：

\[|\Phi_{2,1}\rangle = L_{-2}|\Delta\rangle - \frac{3}{2(2\Delta+1)}L_{-1}^2|\Delta\rangle, \tag{2.17}\]

当中心荷取特殊值$c=\dfrac{2\Delta(5-8\Delta)}{2\Delta+1}$时，可以立刻验证这个向量是零范数态：

\[\langle \Delta,Y|\Phi_{2,1}\rangle=0, \qquad \text{for any }Y. \tag{2.18}\]

不过需要注意的是，只考虑它与第 2 级向量的内积就已经足够了。因此，这个向量及其次级态都要从理论中剔除，理论的 Hilbert 空间也随之缩小。生成这类状态的场 $\Phi_{2,1}(z)$ 称为退化场，它在具体共形场论的研究中起着重要作用。关于它的一个侧面，我们将在第 5 章中看到。

由以上讨论可知，只要知道初级态的谱，共形场论的全部谱就都可以由共形变换生成出来。也就是说，在共形场论中应研究的基本对象，就是那些从真空激发出初级态的初级场。因此，下面讨论的重点将放在利用理论的对称性来计算初级场的关联函数上。

2.2 Virasoro 对称性与关联函数

由 Ward-Takahashi 恒等式 (2.8) 可知，在共形变换 $z\to z+\epsilon(z)$ 之下，初级场的关联函数满足

\[\delta\bigl(\mathcal{O}_1(z_1)\mathcal{O}_2(z_2)\cdots\bigr) = \sum_i \bigl(\epsilon(z_i)\partial_i+\Delta_i\partial\epsilon(z_i)\bigr) \bigl(\mathcal{O}_1(z_1)\mathcal{O}_2(z_2)\cdots\bigr). \tag{2.19}\]

通过这个方程，共形不变性会对关联函数施加强有力的约束。于是，我们来考察共形变换群的一个重要子群 $SL(2,\mathbb{C})$，即$z\to \dfrac{az+b}{cz+d}$，$ad-bc=1$。这个子群的无穷小变换可写为

\[z\to \frac{(1+\epsilon\alpha)z+(\epsilon\beta)}{(\epsilon\gamma)z+(1-\epsilon\alpha)} \simeq z+\epsilon(\beta+2\alpha z-\gamma z^2). \tag{2.20}\]

因此，考虑无穷小 $SL(2,\mathbb{C})$ 变换$\epsilon(z)=\epsilon(\beta+2\alpha z-\gamma z^2)$，并要求在其作用下不变。由 Ward-Takahashi 恒等式 (2.19) 可得如下约束条件：

\[0= \sum_i \partial_i\bigl(\mathcal{O}_1(z_1)\mathcal{O}_2(z_2)\cdots\bigr), \tag{2.21}\] \[0= \sum_i (z_i\partial_i+\Delta_i) \bigl(\mathcal{O}_1(z_1)\mathcal{O}_2(z_2)\cdots\bigr), \tag{2.22}\] \[0= \sum_i (z_i^2\partial_i+2\Delta_i z_i) \bigl(\mathcal{O}_1(z_1)\mathcal{O}_2(z_2)\cdots\bigr). \tag{2.23}\]

反全纯部分也是同样的。

现在，把上述 $SL(2,\mathbb{C})$ 不变性应用到给出三点函数的 OPE (2.5) 上。首先，由平移不变性 (2.21) 可知，OPE 系数的 $z_i$ 依赖性满足$0=(\partial_z+\partial_w)C_{ij}^k(z,w;\bar z,\bar w)$。对反全纯部分也同样成立。也就是说，$C(z,w;\bar z,\bar w)$只能是坐标差$z-w$、$\bar z-\bar w$的函数。进一步，对这一函数施加共形不变性 (2.22)，便得到关于 OPE 系数的微分方程：

\[\left( z\frac{\partial}{\partial z} + w\frac{\partial}{\partial w} \right) C_{ij}^k(z-w,\bar z-\bar w) = (\Delta_k-\Delta_i-\Delta_j) C_{ij}^k(z-w,\bar z-\bar w). \tag{2.24}\]

因此，解出这个方程后，系数 $C$ 的坐标依赖性就被完全确定为

\[C_{ij}^k(z-w,\bar z-\bar w) = \frac{C_{ij}^k} {(z-w)^{\Delta_i+\Delta_j-\Delta_k} (\bar z-\bar w)^{\bar\Delta_i+\bar\Delta_j-\bar\Delta_k}}. \tag{2.25}\]

由此可见，Möbius 变换 $SL(2,\mathbb{C})$ 会把三点函数的函数形式完全固定下来。系数 $C$ 则是由所考虑的具体共形场论决定的常数。

遗憾的是，仅靠这种方法并不能决定四点及更高点的关联函数。此时真正发挥威力的，是全部共形对称性所组成的无穷维代数。在这份讲义中，我们把理论的共形对称性取为 Virasoro 代数。它在决定初级场的手征关联函数时是极其强有力的工具，而且还能把这些关联函数表述为 Virasoro 代数表示论的语言。因此，本节接下来将讨论如何有效地使用 Virasoro 代数。需要注意的是，以下主要计算的是初级场的关联函数²。这是因为，借助 Ward-Takahashi 恒等式，原则上次级场的关联函数也可以用初级场的语言来表达。换言之，只研究初级场的关联函数就已经足够。

先对共形场论的一般图景作一个总结。通常，量子场论由基本场及其拉格朗日量来定义。然而在共形场论中，“基本场”这一想法未必是最有用的，更自然的做法是考虑所有局域算符，也即共形场论中的“场”的整体集合。而且，共形场论并不一定需要拉格朗日量表述。那么，在决定共形场论动力学时真正本质的是什么呢？答案正是局域算符在对称性之下的变换性质，也就是 Ward-Takahashi 恒等式，换言之，就是 OPE 的行为。

理解了初级场的集合，以及它们在融合时会出现什么样的场，也就等于理解了共形场论的动力学。而关联函数则由算符代数与来自 Riemann 曲面的模性质共同决定。对于一般理论，往往还需要诉诸更高的理论对称性，不过在本文中，我们只考虑由 Virasoro 代数就已足够的那些例子。

2.3 共形块及其组合学

本节中，为了构造性地定义共形块，我们以四点函数为具体例子来加以考察。共形块是共形场论关联函数中，只抽取全纯扇区贡献所得的对象。实际的关联函数还需要连同反全纯部分一起组装。关于这一操作，我们留待后文再作说明，在本节中只限于讨论理论的全纯扇区。因此，以下暂且假定，场 $\mathcal{O}$ 只依赖于全纯变量 $z$。

现在，我们将要计算的是初级场的四点函数 $\langle V_4(\infty)V_3(1)V_2(q)V_1(0)\rangle$。这里 $V_i$ 表示维数为 $\Delta_i$ 的顶点算符，也即初级场。以下当写作 $V(\infty)$ 时，指的是从算符的变换性质中读出其奇异行为并将其剔除之后得到的对象$V(\infty):=\lim_{z\to\infty} z^{2\Delta}V(z),$它对应于 BPZ 对共轭态的定义。³

还需指出，接下来将成为主题的共形块，是由 Belavin、Polyakov 以及 Zamolodchikov 引入的 [1]，而这里介绍的计算方法也由他们发展而来。关于 BPZ 共形块的组合学算法，可参见 [5, 15, 16]。

在共形场论中，决定关联函数的关键是共形对称性与场的代数结构，也就是 OPE。于是，先对 $V_2(q)V_1(0)$ 使用 OPE，把这一关联函数改写。于是得到

\[\begin{aligned} \langle V_4(\infty)V_3(1)V_2(q)V_1(0)\rangle &= \sum_A \frac{C_{21}^A}{q^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_A}} \langle V_4(\infty)V_3(1)V_A(0)\rangle \\ &= \frac{1}{q^{\Delta_1+\Delta_2}} \sum_A q^{\Delta_A}\Gamma_{34A}C_{21}^A. \end{aligned} \tag{2.26}\]

也就是说，它可以用三点函数的语言来改写。这里我们引入“顶点函数”

\[\Gamma_{12A}:=\langle V_2(\infty)V_1(1)V_A(0)\rangle.\]

需要注意，这里关于 $A$ 的求和并不只遍历初级场，而是遍历全部次级场。进一步，再引入另一个“顶点函数”

\[\begin{aligned} \Gamma'_{A;12} &:= \langle V_A|V_1(1)V_2(0)\rangle \\ &= \sum_B C_{12}^B \langle V_A|V_B\rangle. \end{aligned} \tag{2.27}\]

于是，上式第二行最后一个因子正是 Shapovalov（-Gram）矩阵 $G_{AB}$ 本身，因此有

\[C_{12}^A = \sum_B (G^{-1})^{AB}\Gamma'_{B;12}. \tag{2.28}\]

这里，Shapovalov 矩阵虽然是无穷维矩阵，但由于它是分块对角的，所以可以定义其逆。于是四点函数可写为

\[\langle V_4(\infty)V_3(1)V_2(q)V_1(0)\rangle = \frac{1}{q^{\Delta_1+\Delta_2}} \sum_{A,B} q^{\Delta_A}\Gamma'_{A;21}(G^{-1})^{AB}\Gamma_{34B}. \tag{2.29}\]

从这一表示中，把与 Virasoro 代数表示论有关的因子抽取出来，便得到了共形块的定义。

Virasoro 对称性与关联函数的结构

回忆 Verma 模的结构。次级态原本由其所依附的初级场的维数 $\Delta(\alpha)$ 与 Young 图来标记，因此次级场可写作 $V_{(\alpha,Y)}(z)=L_{-Y}V_\alpha(z)$，并以 $A=(\alpha,Y)$ 来标记⁴。这里，本讲义对 Young 图 $Y=[Y_1Y_2\cdots Y_d]$ 采用记号

\[L_{-Y}:=L_{-Y_1}L_{-Y_2}\cdots L_{-Y_{d(Y)}}\]

容易验证，这个场是 $L_0$ 的本征态，其本征值为 $\Delta_{(\alpha,Y)}=\Delta(\alpha)+|Y|$，其中 $|Y|:=\sum_i Y_i$。

接着回忆，由理论幺正性的要求，Virasoro 生成元是厄米的。换言之，内积应满足相容性条件

\[\langle L_{-n}V_A|V_B\rangle=\langle V_A|L_nV_B\rangle.\]

这样一种内积可由

\[\langle V_A|V_B\rangle=\langle V_A(\infty)V_B(0)\rangle\]

来定义。利用这一条件，可以导出顶点函数所满足的递推关系。于是，我们来估计，当次级场label降低时，顶点函数 $\Gamma’$ 会如何变化。为此考虑如下计算：

\[\begin{aligned} \langle L_{-n}V_A|V_1(1)V_2(0)\rangle &= \langle V_A|L_n(V_1(1)V_2(0))\rangle \\ &= \left\langle V_A\left| \oint_{C_0+C_1}\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}T(z)V_1(1)V_2(0) \right.\right\rangle \\ &= \oint_{C_0}\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}\sum_k\frac{1}{z^{k+2}} \langle V_A|V_1(1)(L_kV_2)(0)\rangle \\ &\quad+ \oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}\sum_k\frac{1}{(z-1)^{k+2}} \langle V_A|(L_kV_1)(1)V_2(0)\rangle. \end{aligned} \tag{2.30}\]

因此利用上式并注意到⁵

\[z^{n+1}=\sum_{l=0}^{n+1} {}_{n+1}C_l (z-1)^l,\]

便得到

\[\langle L_{-n}V_A|V_1(1)V_2(0)\rangle = \langle V_A|V_1(1)(L_nV_2)(0)\rangle + \sum_{l=0}^{n+1} {}_{n+1}C_l \langle V_A|(L_{l-1}V_1)(1)V_2(0)\rangle. \tag{2.31}\]

现在，在这里取 $V_{1,2}$ 为初级场。这样一来，右边第一项由于 $L_{n\ge 1}$ 而被湮灭，于是就可以化成如下简单关系式：

\[\langle L_{-n}V_A|V_1(1)V_2(0)\rangle = \bigl((n+1)\Delta_1+\delta_{n,0}\Delta_2\bigr)\Gamma'_{A;12} + \langle V_A|(L_{-1}V_1)(1)V_2(0)\rangle. \tag{2.32}\]

为了求解这个式子，最好把第三项也写成 $\Gamma’$ 的形式，而为此只需考虑 $n=0$ 的情形：

\[\langle V_A|(L_{-1}V_1)(1)V_2(0)\rangle = (\Delta_A-\Delta_1-\Delta_2)\Gamma'_{A;12}. \tag{2.33}\]

于是将其代回 (2.32)，便得到递推关系

\[\Gamma'_{(\alpha,[nY]);12} = \bigl(\Delta_{(\alpha,Y)}+n\Delta_1-\Delta_2\bigr)\Gamma'_{(\alpha,Y);12}. \tag{2.34}\]

这里，$[nY]$ 表示在 Young 图 $Y$ 上再加上一条长度为 $n$ 的行。于是递归地使用这一公式，就可以不断缩短标签 Young 图的各行长度。换言之，顶点函数可以分解为由 Virasoro 代数表示论决定的部分 $\mathcal{R}’$ 与依赖于具体共形场论模型的因子 $C$：

\[\boxed{ \Gamma'_{(\alpha,Y);12} = \mathcal{R}'_{\alpha;12}(Y)C_{\alpha;12}, \qquad \mathcal{R}'_{\alpha;12}(Y) = \prod_{i=1}^{d(Y)} \left( \Delta_\alpha+Y_i\Delta_1-\Delta_2+\sum_{j<i}Y_j \right).} \tag{2.35}\]

其中，模型依赖的因子是 $C_{\alpha;12}=\Gamma’_{(\alpha,\varnothing);12}$。要想知道它的具体形式，就必须在具体的共形模型中进行计算。后面我们会在 Liouville 理论中具体看到这一点。

下面再来考虑顶点函数 $\Gamma$。在这种情形下，也只需考察后裔标签降低时的变化，不过这一次不必借助内积的性质，也可以直接研究：

\[\begin{aligned} \langle V_2(\infty)V_1(1)(L_{-n}V_A)(0)\rangle &= \oint_{C_0}\frac{dz}{2\pi i}\frac{1}{z^{n-1}} \langle T(z)V_2(\infty)V_1(1)V_A(0)\rangle \\ &= -\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}\frac{1}{z^{n-1}} \sum_k\frac{1}{(z-1)^{k+2}} \langle V_2(\infty)(L_kV_1)(1)V_A(0)\rangle \\ &\quad -\oint_{C_\infty}\frac{dz}{2\pi i}\frac{1}{z^{n-1}} \sum_k z^{k-2} \langle (L_kV_2)(\infty)V_1(1)V_A(0)\rangle. \end{aligned} \tag{2.36}\]

这里只是将积分路径作了变形，即 $C_0=-C_1-C_\infty$，并在变量替换 $z=1/\zeta$ 之下利用了能量-动量张量的变换性质 $T(z)=\zeta^4T(\zeta)$，从而在 $z=\infty$ 邻域作了 Laurent 展开。执行这些留数积分后，得到

\[\langle V_2(\infty)V_1(1)(L_{-n}V_A)(0)\rangle = -\sum_{k=-1}^{\infty} {}_{-n+1}C_{k+1} \langle V_2(\infty)(L_kV_1)(1)V_A(0)\rangle + \langle (L_nV_2)(\infty)V_1(1)V_A(0)\rangle,\]

其中，对负指标定义的二项系数为

\[{}_{-n}C_k := (-1)^k \frac{(k+n-1)(k+n-2)\cdots(k+1)}{(n-1)!}. \tag{2.37}\]

再次取 $V_{1,2}$ 为初级场，则有

\[\langle V_2(\infty)V_1(1)(L_{-n}V_A)(0)\rangle = -\langle V_2(\infty)(L_{-1}V_1)(1)V_A(0)\rangle + \bigl((n-1)\Delta_1+\delta_{n,0}\Delta_2\bigr)\Gamma_{12A}. \tag{2.38}\]

这个式子同样可以通过利用 $n=0$ 的情形写成递推形式，于是有

\[\Gamma_{12(\alpha,[nY])} = \bigl(\Delta_{(\alpha,Y)}+n\Delta_1-\Delta_2\bigr)\Gamma_{12(\alpha,Y)}. \tag{2.39}\]

因此，这一顶点函数也具有如下普适表示：

\[\boxed{ \Gamma_{12(\alpha,Y)} = \mathcal{R}_{12\alpha}(Y)C_{12\alpha}, \qquad \mathcal{R}_{12\alpha}(Y) = \prod_{i=1}^{d(Y)} \left( \Delta_\alpha+Y_i\Delta_1-\Delta_2+\sum_{j<i}Y_j \right). } \tag{2.40}\]

现在回到四点函数的计算。由 OPE 的展开可知，这一关联函数中会出现两类顶点函数 $\Gamma$ 和 $\Gamma’$。由于用于组装关联函数的这些block都受到共形对称性的控制，因此我们可以把握其大体结构。特别是当理论的对称性为 Virasoro 代数时，顶点函数中的表示论因子会被完全决定，而且事实上只存在一种，即

\[\boxed{ \mathcal{R}'_{\alpha;12}(Y)=\mathcal{R}_{12\alpha}(Y). \tag{2.41} }\]

这一关系式本身在 $W_3$ 代数等其他扩展共形对称的情形中并不成立。不过，把顶点函数分解为表示论部分与模型依赖部分这一现象则是普适的。

通过简单计算还可以看出，共形族上的度量也同样分解成两部分：

\[G_{(\alpha,Y)(\alpha',Y')} := \langle L_{-Y}V_\alpha|L_{-Y'}V_{\alpha'}\rangle = \langle V_\alpha|L_YL_{-Y'}V_{\alpha'}\rangle = \delta_{|Y|,|Y'|}\mathcal{G}_{\Delta_\alpha}(Y,Y')G_{\alpha\alpha'}. \tag{2.42}\]

这里，$\mathcal{G}$ 的那一部分称为 Shapovalov 矩阵，它完全由 Virasoro 代数的表示论给出：⁶

\[\mathcal{G}_\Delta(Y,Y') = \langle \Delta|L_YL_{-Y'}|\Delta\rangle. \tag{2.43}\]

也就是说，它正是由 Verma 模基矢构成的 Gram 矩阵。至于依赖于具体共形模型的那一部分，则总可以取初级场的一组基底，使得其规范化为 $G_{\alpha\alpha’}=\delta_{\alpha,\alpha’}$。

有了以上准备，终于可以定义共形块了。将顶点函数与度量部分的表示论因子和模型依赖因子的分离表示代入，便可看出四点函数具有如下形式：

\[\langle V_4(\infty)V_3(1)V_2(q)V_1(0)\rangle = \frac{1}{q^{\Delta_1+\Delta_2}} \sum_{\alpha,\alpha'} q^{\Delta_\alpha} \bigl( C_{43\alpha}(G^{-1})^{\alpha\alpha'}C_{21\alpha'} \bigr) \mathcal{F}\!\left[\begin{matrix}2&3\\[2pt]1&4\end{matrix}\right](\Delta(\alpha);q). \tag{2.44}\]

在这个四点函数中，$\mathcal{F}$ 这一部分是只由 Virasoro 代数表示论决定的量，称为共形块（conformal block）：⁷

\[\boxed{ \mathcal{F}\!\left[\begin{matrix}2&3\\[2pt]1&4\end{matrix}\right](\Delta;q) = \sum_{|Y|=|Y'|} q^{|Y|} \mathcal{R}_{21\alpha}(Y)\, \mathcal{G}^{-1}_{\Delta}(Y,Y')\, \mathcal{R}_{34\alpha}(Y').} \tag{2.45}\]

注意在这里，$G_{\alpha\alpha’}\propto \delta_{\alpha,\alpha’}$。

这一共形块部分是共形代数的表示论量，并不依赖于具体采用哪一种共形场论模型。也就是说，只要代入中心荷 $c$ 的具体数值，它就是对任何模型都适用的通用表达式。后来在 AGT 对应中与 Nekrasov 配分函数的瞬子部分相对应的，正是这一普适部分。

另一方面，在关联函数 (2.44) 中，也存在依赖模型细节而决定的部分。由三点函数确定的系数 $CG^{-1}C$ 一项，按照模型不同可以呈现非常复杂的形式。Alday、Gaiotto 与 Tachikawa 最初注意到的是，当三点函数所对应的模型取为 Liouville 理论时，其中出现的因子与 Nekrasov 配分函数的微扰修正部分完全一致。正是借助这一观察，他们发现了 AGT 猜想。关于这一点的细节，我们将在后面的章节中再看。

图5：用于组装共形块的block示例。左边是传播子，其余的是三点顶点函数。虚线表示有次级场传播的内线，它们由 Young 图 $Y$ 标记

现在来看球面上的四点共形块 (2.45)。这一量可以看作由图 5 中的传播子 $\mathcal{G}^{-1}$ 与顶点函数 $\mathcal{R}$ 组装而成。因此，在图示上便可以表示为图 6 的形式。Feynman 图中的内线通常由中间态传播，而在这里，沿内线传播的是由“动量” $Y$ 标记的次级场。借助这样的 Feynman 规则，还可以计算更加复杂的 Riemann 曲面上的共形块。⁸不过一般地，除了 $\mathcal{R}$ 之外还会需要其他block。例如在图 5 中的 $S$，就是三个顶点中有一个对应于次级场的情形：

\[\langle L_{-Y'}V_3|V_2(1)L_{-Y}V_1(0)\rangle = S_{123}(Y,Y')\langle V_3|V_2(1)V_1(0)\rangle.\]

稍后在计算环面共形块时，我们就会用到它。顺便一提，Feynman 图中只出现三点顶点，是因为任何 Riemann 曲面都可以分解成带三个穿孔的球面，也就是所谓的 pants decomposition。

图6：球面上的四点共形块

共形块

从前面讨论过的四点函数例子中，一般的共形块定义应当已经是清楚的了。在一般的 Riemann 曲面 $C_{n,g}$ 上计算全纯关联函数时，也必须指定对各个场按怎样的顺序取 OPE⁹。也就是说，在考虑共形块时，必须预先固定相应的道 $\Gamma$。前面四点函数的计算，实际上就是在图 6 所示的“$s$-道”中进行的。

因此，如图 7 所示，我们先按照所考虑的道 $\Gamma$ 对应地把 Riemann 曲面作胖次分解。这反映了带标点 Riemann 曲面的模参数接近极限值时，曲面的退化模式。以这种胖次分解图式为基础，就可以组装出共形块¹⁰。之所以如此，是因为这种退化后的 Riemann 曲面会像图 8 那样，立刻给出一个图。因此，接下来只需以这个“Feynman 图”为基础来计算共形块即可。关于其中的细节，我们稍后再讨论，下面先来计算基本block的具体形式。¹¹

$图7：关于 $C_{4,1}$ 的裤分解示例$

图8：从胖次分解到共形块

Shapovalov 矩阵

先来看给出传播子的 Shapovalov 矩阵 (2.43)。这个矩阵的一个显著特征是，除非其指标所对应的 Young 图大小相同，否则矩阵元就为零：

\[\mathcal{G}_\Delta(Y,Y') \propto \delta_{|Y|,|Y'|}. \tag{2.46}\]

这一事实用 Virasoro 代数的交换关系很容易证明。正因为这一性质，Shapovalov 矩阵具有分块对角形式。因此，尽管它是无穷维矩阵，依然可以毫无困难地取逆。于是，从固定大小为 $n$ 的指标所对应的分块出发，我们定义 $n$ 级的 Shapovalov 子矩阵

\[\mathcal{G}_\Delta^{(n)} = \left\{ \langle \Delta | L_Y L_{-Y'} | \Delta \rangle \ \middle|\ |Y|=|Y'|=n \right\}.\]

这样一来，Shapovalov 矩阵的求逆只需在各个分块内部进行，因此在计算共形块时实际出现的是 $n$ 级子矩阵的逆 $\left(\mathcal{G}_\Delta^{(n)}\right)^{-1}$。

这些子矩阵可以直接借助 Virasoro 代数计算。对于第 1 级，只存在与 $Y=Y’=\square$ 对应的一个矩阵元，

\[\langle \Delta | L_1 L_{-1} | \Delta \rangle = \langle \Delta | (2L_0 + L_{-1}L_1) | \Delta \rangle = 2\Delta, \tag{2.47}\]

因此其逆矩阵也立刻得到

\[\left(\mathcal{G}_\Delta^{(1)}\right)^{-1} = \frac{1}{2\Delta}.\]

第 2 级的情形也不困难。此时指标可以取 Young 图 $[1^2]$ 与 $[2]$¹²。由于矩阵是对称的，只需计算以下三个分量：

\[\begin{aligned} \mathcal{G}_\Delta([1^2],[1^2]) &= \langle \Delta | L_1^2 L_{-1}^2 | \Delta \rangle = \langle \Delta | L_1(L_{-1}L_1 + 2L_0)L_{-1} | \Delta \rangle \\ &= \langle \Delta | \bigl( L_1L_{-1}(L_{-1}L_1+2L_0) +2(L_0L_1+2L_1)L_{-1} \bigr) | \Delta \rangle \\ &= \langle \Delta | \bigl( (L_{-1}L_1+2L_0)2L_0 +2(L_0+1)(L_{-1}L_1+2L_0) \bigr) | \Delta \rangle \\ &= 4\Delta^2 + 4(\Delta+1)\Delta, \\[6pt] \mathcal{G}_\Delta([1^2],[2]) &= \langle \Delta | L_1^2 L_{-2} | \Delta \rangle = \langle \Delta | L_1(L_{-2}L_1 + 3L_{-1}) | \Delta \rangle = \langle \Delta | 6L_0 | \Delta \rangle = 6\Delta, \\[6pt] \mathcal{G}_\Delta([2],[2]) &= \langle \Delta | L_2 L_{-2} | \Delta \rangle = \langle \Delta | (4L_0 + c/2 + L_{-2}L_2) | \Delta \rangle= 4\Delta + \frac{c}{2}. \end{aligned}\]

因此，第 2 级 Shapovalov 矩阵为

\[\mathcal{G}_\Delta^{(2)} = \begin{pmatrix} 4\Delta + c/2 & 6\Delta \\ 6\Delta & 4(2\Delta+1)\Delta \end{pmatrix}, \qquad \left(\mathcal{G}_\Delta^{(2)}\right)^{-1} = \frac{1}{K^{(2)}} \begin{pmatrix} 4(2\Delta+1)\Delta & -6\Delta \\ -6\Delta & 4\Delta + c/2 \end{pmatrix}. \tag{2.48}\]

这里 $K^{(2)}$ 是第 2 级的 Kac 行列式：

\[K^{(2)} = \det \mathcal{G}_\Delta^{(2)} = 2\Delta\bigl(c+2c\Delta-10\Delta+16\Delta^2\bigr). \tag{2.49}\]

这些具体结果稍后会在实际计算中用到。

顶点函数 $\mathcal{R}$

关于顶点函数，我们已经导出了一般公式

\[\mathcal{R}_{12\alpha}(Y) = \prod_{i=1}^{d(Y)} \left( \Delta_\alpha + Y_i\Delta_1 - \Delta_2 + \sum_{j<i} Y_j \right). \tag{2.50}\]

下面把它具体算出来。对第 1 级来说，只需取 $Y=\square$，于是

\[\mathcal{R}_{12\alpha}(\square) = \Delta_\alpha + \Delta_1 - \Delta_2.\]

对第 2 级而言，有两个 Young 图 $Y=[2],[1^2]$ 贡献，因此顶点函数取值为

\[\vec{\mathcal{R}}_{12\alpha}^{(2)} = \begin{pmatrix} \mathcal{R}_{12\alpha}([2]) \\ \mathcal{R}_{12\alpha}([1^2]) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Delta_\alpha + 2\Delta_1 - \Delta_2 \\ (\Delta_\alpha + \Delta_1 - \Delta_2 + 1)(\Delta_\alpha + \Delta_1 - \Delta_2) \end{pmatrix}. \tag{2.51}\]

更高等级的计算方法也是显然的。

顶点函数 $\mathcal{S}$

对于两个场都成为次级场时的顶点函数 $\mathcal{S}$，遗憾的是，至少目前还没有一般性的封闭表达式。不过，它的具体计算本身仍然可以像顶点函数 $\mathcal{R}$ 那样，用递推关系 (2.31) 来完成¹³。从低级开始算几个例子，就立刻得到

\[\mathcal{S}_{123}(\square,\Phi) = \mathcal{R}'_{3;2(1,\square)} = \Delta_1 + \Delta_2 - \Delta_3, \tag{2.52}\] \[\mathcal{S}_{123}(\Phi,\square) = \mathcal{R}'_{(3,\square);21} = \Delta_3 + \Delta_2 - \Delta_1, \tag{2.53}\] \[\mathcal{S}_{123}(\square,\square) = (\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3)(\Delta_3+\Delta_2-\Delta_1-1) + 2\Delta_1. \tag{2.54}\]

到这里，本节所需的基本block都已备齐，下面就进入具体计算。

带四个标记点球面

由于带四个标点的球面具有共形 Killing 变换的自由度，因此四点之中有三点可以固定，剩下那一点的位置自由度$q \in \mathbb{CP}^1\setminus\{0,1,\infty\}$就是模参数。因此，可以把四点取为 $(0,q,1,\infty)$。或者，也可以把四点的交比

\[q = \frac{(z_2-z_1)(z_4-z_3)}{(z_3-z_1)(z_4-z_2)} \tag{2.55}\]

视为模参数。

由图 6 可知，共形块就是对中间态求和得到的。因此，只需计算¹⁴

\[\begin{aligned} \mathcal{F} &= 1 + q\, \frac{\mathcal{R}_{12\alpha}(\square)\mathcal{R}_{34\alpha}(\square)} {\mathcal{G}_\Delta^{(1)}} + q^2\, \bigl(\vec{\mathcal{R}}_{12\alpha}^{(2)}\bigr)^T \cdot \left(\mathcal{G}_\Delta^{(2)}\right)^{-1} \cdot \vec{\mathcal{R}}_{34\alpha}^{(2)} +\cdots \\[6pt] &= 1 + q\, \frac{(\Delta+\Delta_1-\Delta_2)(\Delta+\Delta_3-\Delta_4)}{2\Delta} \\[6pt] &\quad + q^2 \Biggl( \frac{ (\Delta+\Delta_1-\Delta_2)(1+\Delta+\Delta_1-\Delta_2) (\Delta+\Delta_3-\Delta_4)(1+\Delta+\Delta_3-\Delta_4) }{ 4\Delta(2\Delta+1) } \\[4pt] &\qquad\qquad + \frac{ \bigl(\Delta(\Delta-1)+(2\Delta+1)(\Delta_1+\Delta_2)-3(\Delta_1-\Delta_2)^2\bigr) \bigl(\Delta(\Delta-1)+(2\Delta+1)(\Delta_3+\Delta_4)-3(\Delta_3-\Delta_4)^2\bigr) }{ 2(2\Delta+1)\bigl(c+2c\Delta-10\Delta+16\Delta^2\bigr) } \Biggr) +\cdots . \end{aligned} \tag{2.56}\]

四点球面共形块对应“费曼图”

带一个标记点环面

对于带一个标点的环面，这个附加点的位置可以利用环面上的平移 Killing 对称固定下来。因此，模参数只有一个，也就是决定圆柱（环面）长度的模参数 $q$。于是，我们来计算环面上的一点函数

\[\langle V_m(1)\rangle_{T^2} = \mathrm{Tr}_{\mathcal{V}_\Delta} q^{L_0}V_m(1).\]

利用 Verma 模中的单位分解

\[1 = \sum_{Y,Y'} |\Delta,Y\rangle \mathcal{G}^{-1}(Y,Y') \langle \Delta,Y'|,\]

便可以把它写成

\[\begin{aligned} \frac{q^{-\Delta}}{\langle \Delta|V_m(1)|\Delta\rangle} \sum_{Y,Y'} \langle \Delta,Y|q^{L_0}V_m(1)|\Delta,Y'\rangle \mathcal{G}_\Delta^{-1}(Y,Y') &= \sum_{Y,Y'} q^{|Y|} \mathcal{S}_{\alpha m \alpha}(Y,Y') \mathcal{G}_\Delta^{-1}(Y,Y'). \end{aligned} \tag{2.57}\]

这里把中间态的维数记作 $\Delta=\Delta(\alpha)$。因此，环面一点共形块为

\[\mathcal{F}_m(\Delta;q) = 1 + q\,\mathcal{S}_{\alpha m \alpha}(\square,\square)\mathcal{G}_\Delta^{-1}(\square,\square) +\cdots = 1 + q\,\frac{\Delta(m)(\Delta(m)-1)+2\Delta}{2\Delta} +\cdots . \tag{2.58}\]

一点环面共形块对应的“费曼图”

2.4 物理关联函数与 Liouville 场论

到目前为止，我们一直把讨论对象限制在共形场论的全纯扇区。实际上，真正的共形场论还包含反全纯扇区，因此，为了计算真实的关联函数，必须以适当的方式把全纯共形块与反全纯共形块拼接起来。于是先回忆，共形对称性是全纯与反全纯 Virasoro 对称性的张量积$\mathrm{Conf} = \mathrm{Vir} \otimes \overline{\mathrm{Vir}}$。因此，对于固定的共形族，场的谱由 Verma 模的张量积$\mathcal{H} = \mathcal{V}_{\Delta} \otimes \overline{\mathcal{V}}_{\bar{\Delta}}$给出，也就是$|\Delta,\bar{\Delta}\rangle = |\Delta\rangle \otimes |\bar{\Delta}\rangle$。其中，$|\Delta,\bar{\Delta}\rangle$ 是由维数为 $\Delta,\bar{\Delta}$ 的初级场 $\mathcal{O}_{\Delta,\bar{\Delta}}(z,\bar{z})$ 所对应的状态。于是，共形对称性中的全纯与反全纯 Virasoro 对称性分别独立地起作用。换言之，共形对称性施加的约束条件，只需把前一节中的讨论分别独立地施加到 $L_n$ 与 $\bar{L}_m$ 两个扇区即可。因此，在研究关联函数的表示论结构时，前面对全纯扇区所得的讨论结果可以原封不动地使用。

于是先来看二点函数。在目前所采用的初级场归一化下，有

\[\langle \Delta,\bar{\Delta} | \Delta',\bar{\Delta}' \rangle = \delta_{\Delta,\Delta'}\delta_{\bar{\Delta},\bar{\Delta}'}.\]

次级态是通过对初级态不断施加 $L_n$ 与 $\bar{L}_m$ 所得到的。因此，其 Gram 矩阵也可由 $\mathrm{Vir}$ 与 $\overline{\mathrm{Vir}}$ 的 Shapovalov 矩阵给出：

\[\langle \Delta,Y;\bar{\Delta},\bar{Y} | \Delta',Y';\bar{\Delta}',\bar{Y}' \rangle = \delta_{\Delta,\Delta'}\delta_{\bar{\Delta},\bar{\Delta}'} \mathcal{G}_{\Delta}(Y,Y')\, \bar{\mathcal{G}}_{\bar{\Delta}}(\bar{Y},\bar{Y}'). \tag{2.59}\]

接着考虑三点函数

\[\Gamma_{(\alpha,Y,\bar{Y});12} = \langle V_{(\alpha,Y,\bar{Y})} | V_1(1,1)V_2(0,0) \rangle.\]

正如前一节所见，共形对称性会为这一关联函数给出递推关系。把该讨论分别应用到 $\mathrm{Vir}$ 与 $\overline{\mathrm{Vir}}$，便得到

\[\Gamma_{(\alpha,Y,\bar{Y});12} = C_{12}^{\alpha} \mathcal{R}'_{\alpha;12}(Y) \bar{\mathcal{R}}'_{\alpha;12}(\bar{Y}), \tag{2.60}\]

其中，$\bar{\mathcal{R}}’$ 表示把 $\mathcal{R}’(\Delta,\ldots)$ 中的变量替换成 $\bar{\Delta}$ 等“共轭量”后得到的函数。因此，由以上讨论可知，OPE 具有这样的结构¹⁵

\[\mathcal{O}_1(q,\bar{q})\mathcal{O}_2(0,0) = \sum_{\text{primary }\alpha} C_{12}^{\alpha} q^{\Delta-\Delta_1-\Delta_2} \bar{q}^{\bar{\Delta}-\bar{\Delta}_1-\bar{\Delta}_2} \Psi_{12}^{\alpha}(q,\bar{q}), \tag{2.61}\]

其中 $\Psi$ 是如下的场：

\[\Psi_{12}^{\alpha} = \mathcal{O}_R \otimes \mathcal{O}_L, \tag{2.62}\] \[\mathcal{O}_R = \sum_Y \beta_{12}^{\alpha}(Y)\, q^{|Y|}L_{-Y}V_{\Delta(\alpha)}, \qquad \mathcal{O}_L = \sum_{\bar{Y}} \bar{\beta}_{12}^{\alpha}(\bar{Y})\, \bar{q}^{|\bar{Y}|}\bar{L}_{-\bar{Y}}V_{\bar{\Delta}(\alpha)}. \tag{2.63}\]

这里的系数 $\beta$ 由三点函数给出：

\[\beta_{12}^{\alpha}(Y) = \sum_{Y'} \mathcal{G}^{-1}(Y,Y')\, \mathcal{R}'_{\alpha;12}(Y'), \qquad \bar{\beta}_{12}^{\alpha}(\bar{Y}) = \sum_{\bar{Y}'} \bar{\mathcal{G}}^{-1}(\bar{Y},\bar{Y}')\, \bar{\mathcal{R}}'_{\alpha;12}(\bar{Y}'). \tag{2.64}\]

由此可见，算符 $\mathcal{O}(q,\bar{q})$ 的 OPE 结构，几乎完全由 $\mathrm{Vir}$ 与 $\overline{\mathrm{Vir}}$ 的表示论因子所决定。因此，关联函数也可以用 $\mathcal{G}$、$\mathcal{R}$ 等量来写出，其结果便是可以用共形块来表示关联函数。为了理解这一点，不妨以四点球面关联函数为例。利用式 (2.61)，该关联函数立即可写成

\[\left\langle \prod_{i=1}^{4} \mathcal{O}_{\alpha_i,Y_i,\bar{Y}_i}(z_i,\bar{z}_i) \right\rangle = \sum_{\text{primary }\alpha} C_{12}^{\alpha}C_{34}^{\alpha} \left| \mathcal{B}^{(s)}(q) \right|^2. \tag{2.65}\]

这里取 $z_i = 0,q,1,\infty$，而 $\mathcal{B}^{(s)}$ 表示 $s$-道中的共形块：

\[\mathcal{B}^{(s)}(q,\Delta,c) = q^{\Delta-\Delta_1-\Delta_2}\mathcal{F}(q,\Delta,c), \qquad \bar{\mathcal{B}}^{(s)}(\bar{q},\bar{\Delta},\bar{c}) = \bar{q}^{\bar{\Delta}-\bar{\Delta}_1-\bar{\Delta}_2} \bar{\mathcal{F}}(\bar{q},\bar{\Delta},\bar{c}). \tag{2.66}\]

就这样，把全纯与反全纯两个扇区的共形块分别拼接起来，然后对所有可能沿中间态传播的初级态求和，便得到真实的关联函数。对于一般关联函数，这件事同样成立。

在上述操作中，我们是用三点函数 $C$ 来拼接共形块的。与作为表示论量的共形块不同，函数 $C$ 的取值取决于所选择的具体共形场论模型。因此，关联函数的行为会强烈依赖于具体采用何种理论模型。另外，初级场的谱也会随着理论不同而具有不同结构，所以对中间态的求和也必须针对每一种模型分别进行讨论。

由于这种组装关联函数的方法细节取决于理论的选择，这里我们就以 Liouville 场论为例做一个简要说明。Liouville 场论是由作用量

\[S = \int d^2 z \sqrt{g} \left( \frac{1}{4\pi}g^{ab}\partial_a\phi\partial_b\phi + \mu e^{2b\phi} + \frac{Q}{4\pi}R\phi \right) \tag{2.67}\]

所定义的一个相互作用二维共形场论。其全纯扇区的中心荷为

\[c = 1 + 6Q^2.\]

顶点算符则为

\[V_{\alpha}(z,\bar{z}) \sim e^{2\alpha\phi(z,\bar{z})}.\]

在该理论中计算关联函数时，三点函数同样是基本的block：

\[C(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = \lim_{z\to\infty} |z|^{4\Delta(\alpha_3)} \langle 0 | V_{\alpha_3}(z,\bar{z})V_{\alpha_2}(1,1)V_{\alpha_1}(0,0) | 0 \rangle. \tag{2.68}\]

一般来说，要把三点函数连同系数完全确定下来并不是容易的事情。但对于 Liouville 场论，Dorn、Otto、Zamolodchikov、Zamolodchikov¹⁶给出了这一三点函数的严格公式。他们基于自由场计算所导出的、所谓的 DOZZ 公式的具体形式，见附录A.2。因此，一旦共形块已知，就可以借助 DOZZ 三点函数公式来组装出物理关联函数。例如，对球面上的四点函数，就有

\[\begin{aligned} \langle V_{\alpha_4}(\infty,\infty) &V_{\alpha_3}(q,\bar{q}) V_{\alpha_2}(1,1) V_{\alpha_1}(0,0) \rangle\\ &= \int_0^{\infty} dP\, C_{\mathrm{DOZZ}}(\alpha_4,\alpha_3,Q/2-iP)\, C_{\mathrm{DOZZ}}(Q/2+iP,\alpha_2,\alpha_1)\, \left| \mathcal{B}(\Delta(\alpha_i),\Delta(P);q) \right|^2. \end{aligned} \tag{2.69}\]

这里只是采用了 $s$-道进行计算。对中间态求和时，我们使用了 Liouville 理论的谱位于

\[\alpha \in Q/2 + i\mathbb{R}_+\]

这一事实。这个结果可由 Liouville 理论的正则量子化得到。关于 Liouville 理论的更详细内容，可参见专家所写的综述 [17, 18]。

2.5 扩展共形对称性与 Toda 场论

$A_{N-1}$ 型 Toda 场论，是由 $N-1$ 个标量场构成的一类二维共形场论 [19, 20]。其作用量写作

\[S = \int d^2 z \sqrt{g} \left( \frac{1}{8\pi}g^{ab}\langle \partial_a\vec{\phi},\partial_b\vec{\phi}\rangle + \mu\sum_{i=1}^{N-1} e^{b\langle \vec{e}_i,\vec{\phi}\rangle} + \frac{R\langle \vec{Q},\vec{\phi}\rangle}{4\pi} \right). \tag{2.70}\]

这里 Toda 场写作

\[\vec{\phi}=\sum_i \phi_i \vec{e}_i,\]

其中 $\vec{e}_i$ 是 $A_{N-1}$ Lie 代数的单根。又有

\[\vec{Q}=(b+1/b)\vec{\rho},\]

其中 $\vec{\rho}$ 是 Weyl 向量。特别地，当 $N=2$ 时，由 $\langle \vec{e}_1,\vec{e}_1\rangle=2$ 可知，该理论正是 Liouville 场论。

这里我们以 $A_2$ 型 Toda 场论为具体例子。共形场论最基本的对称性原本是 Virasoro 代数。但 Toda 场论除了自旋 2 的流 $T(z)\sim (\partial\vec{\phi})^2$ 之外，还存在自旋 3 的守恒流

\[W(z)\sim (\partial\phi_1)^3 - 3\partial\phi_1(\partial\phi_2)^2.\]

因此，这个理论的对称性不仅由 $L_n$ 生成，也由 $W(z)$ 的 Laurent 系数 $W_n$ 生成。这样扩展后的共形对称性称为 $\mathcal{W}_3$ 代数 [21]。这些 Laurent 系数满足如下交换关系：

\[[L_n,L_m] = (n-m)L_{n+m} + \frac{c}{12}(n^3-n)\delta_{n,-m}, \tag{2.71}\] \[[L_n,W_m] = (2n-m)W_{n+m}, \tag{2.72}\] \[\begin{aligned} \left[W_n,W_m\right] = \frac{9}{2} &\Bigg[ \frac{c}{3\cdot 5!}(n^2-1)(n^2-4)n\delta_{n,-m} + \frac{16}{22+5c}(n-m)\Lambda_{n+m}\\ &+ (n-m) \left( \frac{(n+m+2)(n+m+3)}{15} - \frac{(n+2)(m+2)}{6} \right) L_{n+m} \Bigg]. \end{aligned} \tag{2.73}\]

其中，$\Lambda_n$ 是如下的复合算符：

\[\Lambda_n = \sum_{m\in\mathbb{Z}} :L_mL_{n-m}: + \frac{x_n}{5}L_n, \qquad x_{2l}=(1-l)(1+l), \qquad x_{2l+1}=(1-l)(12+l). \tag{2.74}\]

中心荷可以表示为

\[c = N-1 + 12\langle \vec{Q},\vec{Q}\rangle = 2(1-12Q^2).\]

对于这样的代数，同样可以由初级态生成出来的次级态构造 Verma 模。不过，在 $\mathcal{W}_3$ 代数的情形下，不仅 $L_{-n}$，$W_{-m}$ 也会作为产生算符出现。然后，在这个 Verma 模中展开关联函数并定义共形块的操作，本质上与 Virasoro 代数中的情形完全相同。其细节可参见文献 [22]。

若进一步考虑更高秩的 $A_{N-1}$ Toda 场论，则还会出现更高自旋的流，从而对称代数不断扩展。这样出现的非线性代数称为 $\mathcal{W}_N$ 代数。对于一般的 $N$，由于其结构过于复杂，遗憾的是很难把它们完全显式地写成生成元的交换关系。不过，借助自由场表示或 Drinfeld-Sokolov 约化等方法，仍然可以构造这些代数。

下面是后面脚注引用的长公式：

\[\braket{V_4(\infty)V_3(1)V_2(q)V_1(0)}\sim\braket{V_4|V_3L_{-Y}V_\alpha}\braket{L\_{-Y}V_\alpha|V_2V_1} \tag{ref}\]

注意这里真空的定义是用单位算符的态算符对应来的，学过弦论的大家应该知道这并非一定是理论中能量最低的基态，这个subtle的地方实际上非常重要。 ↩
上面的计算中只用到了$SL(2,\mathbb{C})$，所以是对所有场的关联函数给的一般的限制（当然要是dilation的本征向量，才能定义共形权） ↩
后文中把$V(0)$对应的态写为$\ket{V}$，而BPZ共轭的态对应$V(\infty)$对应的$\bra{V}$，在Polchinski教材中你看到的是$\left\langle\bra{V}\right.$ ↩
这文章里面大写字母表示对初级场次级场所有的场求和，而小写希腊字母表示只对初级场求和，次级场的贡献放进conformal block里面了。 ↩
关于排列组合的这个记号秦始皇当年忘记统一了，这里的${}_{n+1}C_l$在中文圈更常见的是$C^l_{n+1}$的写法，还要注意这个$C$和共形场的三点关联函数的系数别搞混了。 ↩
这里的$\mathcal{G}$是纯粹表示论上的东西，也就是说$\braket{\Delta|\Delta}=1$，只要算中间的$L$的对易子约化为$L_0$就好，动力学的两点关联函数的因子放到后面的$G$里面去了，不过后面我们都rescal这些primary field使得$G$就是简单的delta函数。 ↩
我初看这里的时候没有仔细推导，想着后面肯定会用到的。当我打算用这个式子验证(4.49)所示的AGT对偶的时候发现一切都对不上。用了一下午的时间我终于搞清楚原来是这个地方在计算conformal block的时候出了错，这里原文第一个$\mathcal{R}$的下标是$\mathcal{R}_{12\alpha}$，但是实际上它应该是$\mathcal{R}^\prime_{\alpha;21}$，再利用(2.41)便得到这里我修正过的$\mathcal{R}_{21\alpha}$。顺便一提，原文的(2.41)也是错的，我也更正了。要看出这一点，只需要注意到一个schematic的推导(ref)，注意这里我们插入的基底并不是归一的，这也是(2.44)多了一个$G^{-1}$的原因。但是注意！原文的(2.44)的脚标也是错的！我也更正了！后面的事情就很简单了，只需要用到我们前面$\mathcal{R}^\prime$和$\mathcal{R}$定义的微妙区别就好了。这里的推导提醒我们在使用“费曼规则”的时候外腿的顺序十分重要！因此将一个标准的文献作为使用的范例是必要的，关于树图的计算我强烈建议读者根据0912.2535来。 ↩
在拓扑弦里面计算toric manifold上的topological A model的拓扑振幅的时候我们也需要这样的杨图样子的费曼图来算，这个时候传播子对应的就是用CS理论描述拓扑弦出来的instanton。 ↩
用来分解关联函数的共形块是不同的，因为你的分解方式不一样，不同于粒子物理里面费曼图，我们是对所有channel求和，这里我们只要选一个channel分解就够了，所以不同分解得到的最终的关联函数应该是一样的，这就是CFT里面的crossing symmetry，能得到CFT data的non-trival的信息，也是共形自举的基础。 ↩
其实这就是高圈弦振幅计算里面的胖次分解那一套，分解后的三点球面对应surface态，中间的细管就是中间传播态，只是最后振幅还要对moduli也就是细管形状积分。这部分建议看Xi Yin老师弦论讲义，特别是弦场论那边，感受On-Shell与Off-Shell振幅计算的相似🆚不同之处。 ↩
后面会谈一些具体的计算例子，注意每条内线实际上对应的是关联函数一个无法用CKV固定的位置，也就是$q$，内线会给个$q^{|Y|}$，不过这个费曼图终究只是block的形式表示，计算上还是要注意最终的整体的关联函数。 ↩
由于markdown只是阉割版的LaTeX，所以没有包可以用来绘制杨图，除了$[1]$这个最简单的杨图我用\square直接实现了，剩下的请读者自己脑补，这里的$[1^2]$对应的就是竖着的两个格子，$[2]$就是横着的两个格子。 ↩
一个比较好的参考文献是0912.2535，另外读者注意到这里讲义没有写关于圈图计算需要的全部为次级态的顶点，那个就更复杂了，也可以在这里提到的文献里面找到一些相关计算`。 ↩
见(2.45)那里的脚注，所以这里算的实际上是$\mathcal{F}\left[1,3;2,4\right]$，和后面验证AGT对偶时需要的block是不同的，读者请注意，包括下面附带的图片也一并注意其实不对应这里计算的blcok，应该$\Delta_1\leftrightarrow\Delta_2$之后才对。 ↩
注意这里我认为$\Psi^\alpha_{12}$的宗量应当为$(0,0)$而不是$(q,\bar q)$，因为这篇文章的OPE约定似乎是在第二个场的位置上展开。 ↩
这俩人是双胞胎，另外Verlinder公式的那个Verlinder同样也是双胞胎之一。 ↩

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