这是瀧雅人教授在2011年写的AGT猜想介绍的日文综述第六节的翻译，其它章节的翻译请见：

以下是本节目录：

6 此后的发展
- 6.1 Dijkgraaf-Vafa 猜想与 $\beta$-系综
- 6.2 通过 Zamolodchikov 递推关系证明 AGT 猜想
  - 非正规共形块的 Zamolodchikov 递推关系
  - Nekrasov 函数的 LMNS 积分表示与极点结构

6 此后的发展

6.1 Dijkgraaf-Vafa 猜想与 $\beta$-系综

即使在弦理论的框架之内，要严格理解共形块与 Nekrasov 函数之间的联系，也是一个非常困难的问题。在这一方向上取得了一定成功的，是 Dijkgraaf 与 Vafa 的工作。他们的方案之所以尤其有趣，是因为它作为副产物还给出了新的猜想。本节中，我们将简要介绍他们的发现。

共形场论的自由场表示与 Dijkgraaf-Vafa 猜想

在考察利用拓扑弦理论来实现 AGT 对应的过程中，Dijkgraaf 与 Vafa 发现，Nekrasov 配分函数，也就是共形块，可以由一种矩阵模型来表示。这个矩阵模型是具有 Penner 型对数势的随机矩阵模型。为了考察非自对偶的 $\Omega$-背景 $\epsilon_1+\epsilon_2\neq 0$，实际上应当考虑的并不是矩阵模型本身，而是它的变形，也就是 $\beta$-系综，不过其细节我们将逐步说明。

虽然这与历史发展的顺序正好相反，不过这里先把弦理论方面的背景放到后面，而从共形场论的观点来介绍 Dijkgraaf-Vafa 猜想。下面将要说明的 Dijkgraaf-Vafa 矩阵模型在共形场论中的理解，已经由 A. Mironov、Al. Morozov、A. Morozov、Sh. Shakirov 等俄罗斯学派的研究者 [52,53]，以及 Itoyama、Oota 等 [54] 作了细致的研究与整理。其出发点，是共形块的自由场表示（ Coulomb 气体表示、Feigin-Fuchs 表示）。计算共形块时的基础是顶点算符的 OPE 及其系数：

\[V_{\alpha_1,Y_1}(q)V_{\alpha_2,Y_2}(0) = \sum_{\alpha} q^{\Delta(\alpha)-\Delta(\alpha_1)-\Delta(\alpha_2)} C^{\alpha}_{\alpha_1,\alpha_2} \sum_Y q^{|Y|} \beta^{\alpha,Y}_{\alpha_1,Y_1;\alpha_2,Y_2} V_{\alpha,Y}(0). \tag{6.1}\]

系数 $C$ 是由所取的共形场论模型所决定的量，因此若不把理论的动力学也纳入考虑，便无法计算。通常它是通过求解来自算符代数结合性（associativity）的约束条件而得到的，不过这里不再深入这些细节。另一方面，带有次级场层级标记的系数 $\beta$，则只由 Virasoro 代数与 OPE 的相容性所决定。不过一般而言，要把它的具体形式显式地求出来并不容易。因此，这里我们尝试利用自由场理论来计算这一 OPE 系数¹。下文为简单起见，取 $Y_1=Y_2=\varnothing$。

具体地说，我们采用自由标量场理论。这样一来，虽然只能考察共形场论参数取特殊值的情形，不过计算会极大简化。自由标量场 $\phi$ 的传播子归一化为

\[\langle \phi(z)\phi(w)\rangle = 2\log(z-w), \tag{6.2}\]

为了考虑中心荷 $c=1-6Q^2$ 的理论，对能动张量作如下扭转：

\[T(z)=\frac{1}{4}(\partial \phi(z))^2+\frac{Q}{2}\partial^2\phi(z). \tag{6.3}\]

该模型的初级场记为 $V_{\alpha}(z):=:\exp \alpha\phi(z):$，其 OPE 通过简单计算即可得到：

\[\begin{aligned} V_{\alpha_1}(q)V_{\alpha_2}(0) &= q^{2\alpha_1\alpha_2} :e^{\alpha_1\phi(q)+\alpha_2\phi(0)}:\\ &= q^{2\alpha_1\alpha_2} \left( V_{\alpha_1+\alpha_2}(0) + q\,\frac{\alpha_1}{\alpha_1+\alpha_2}V_{\alpha_1+\alpha_2,\square}(0) +\cdots \right). \end{aligned} \tag{6.4}\]

不过，为了过渡到最后一行，我们对 $q$ 作了 Taylor 展开，并用 $L_{-1}V_{\alpha}=\alpha:\partial\phi V_{\alpha}:$ 等关系进行了改写。这里需要注意的是，右边出现的顶点算符的动量 $\alpha$，只能是满足守恒律 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$的。例如，对 1 级次级场而言，其系数为

\[\left.\beta^{\alpha,\square}_{\alpha_1;\alpha_2}\right|_{\mathrm{free\ boson}} = \frac{\alpha_1}{\alpha_1+\alpha_2}\delta_{\alpha,\alpha_1+\alpha_2}. \tag{6.5}\]

另一方面，按照第 2 章中所说明的方法，从 Virasoro 代数计算得到的完整结果是

\[\begin{aligned} \beta^{\alpha,\square}_{\alpha_1;\alpha_2} &= \mathcal{G}^{-1}(\square,\square)\cdot \mathcal{R}^{\alpha}_{12}(\square)\\ &= \frac{\Delta+\Delta_1-\Delta_2}{2\Delta} = \frac{\alpha(\alpha-Q)+(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1+\alpha_2-Q)}{2\alpha(\alpha-Q)}. \end{aligned} \tag{6.6}\]

而自由场计算的结果，不过是把它限制在守恒律 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ 之下而已。这样看来，基于自由场表示的计算的缺点，在于由于守恒律的存在，无法得到关于中间动量 $\alpha$ 的一般表示。为了决定 OPE 系数的完整函数形式 $\beta(\alpha_1,\alpha_2;\alpha)$，如何改进自由场表示，曾长期是共形场论中的一个问题。而对 AGT 猜想的研究，为这一问题带来了重大进展。

Morozov 等俄罗斯学派注意到，Dijkgraaf 与 Vafa 的结果启发我们去考虑如下形式的屏蔽算符：

\[Q_{[0,q]}=\int_0^q :e^{b\phi(z)}:dz. \tag{6.7}\]

虽然其发现的顺序前后相反，不过这里先把这个屏蔽算符视作已知来展开讨论。插入这个算符之后，自由场计算确实得到了改进。为了确认这一点，来考虑插入屏蔽算符之后的 OPE 系数。于是得到如下的展开：

\[\begin{aligned} :L_{-Y_1}&V_{\alpha_1}(q)::L_{-Y_2}V_{\alpha_2}(0): \left( \int_0^q :e^{b\phi(z)}:dz \right)^N\\ &= \left.C^{\alpha_1+\alpha_2+Nb}_{\alpha_1,\alpha_2}\right|_{\mathrm{free+screening}} \sum_Y q^{|Y|} \left.\beta^{\alpha_1+\alpha_2+Nb,Y}_{\alpha_1,Y_1;\alpha_2,Y_2}\right|_{\mathrm{free+screening}} :L_{-Y}V_{\alpha_1+\alpha_2+Nb}(0):. \end{aligned} \tag{6.8}\]

也就是说，关于中间动量的守恒律被修正为 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2+Nb$ 这种形式，并且只会随着屏蔽算符的个数 $N$ 而发生偏移。Morozov 等主张，基于这种改进后的自由场计算所得到的结果，在 $\alpha=\alpha_1+\alpha_2+Nb$ 的情况下，与一般的 OPE 系数一致：

\[\beta^{\alpha_1+\alpha_2+Nb,Y}_{\alpha_1,Y_1;\alpha_2,Y_2} = \left.\beta^{\alpha_1+\alpha_2+Nb,Y}_{\alpha_1,Y_1;\alpha_2,Y_2}\right|_{\mathrm{free+screening}}. \tag{6.9}\]

这个系数 $\beta$ 是一个有理函数。因此，对所有自然数 $N$ 都有这个等式成立，于是通过解析延拓就可以知道，自由场计算实际上给出了 OPE 系数 $\beta^{\alpha,Y}_{\alpha_1,Y_1;\alpha_2,Y_2}$ 的完整信息。

这一结果也可以通过具体计算加以确认。再次考虑 $Y_1=Y_2=\varnothing$ 的情形。则有

\[\begin{aligned} &V_{\alpha_1}(q)V_{\alpha_2}(0)\prod_{i=1}^N \int_0^q dz_i :e^{b\phi(z_i)}:\\ &= q^{2\alpha_1\alpha_2} \prod_{i=1}^N\int_0^q dz_i \prod_{i<j}(z_i-z_j)^{2b^2} \prod_{i=1}^N z_i^{2b\alpha_2}(q-z_i)^{2b\alpha_1} :e^{\alpha_1\phi(q)+\alpha_2\phi(0)+\sum_i b\phi(z_i)}:\\ &= q^{2\alpha_1\alpha_2+N(1+2b\alpha_1+2b\alpha_2)+N(N-1)b^2} \prod_{i=1}^N\int_0^1 dz_i \prod_{i<j}(z_i-z_j)^{2b^2} \prod_{i=1}^N z_i^{2b\alpha_2}(1-z_i)^{2b\alpha_1}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times \left( V_{\alpha_1+\alpha_2+Nb}(0) + q\,\frac{\alpha_1+b\sum_i z_i}{\alpha_1+\alpha_2+Nb} :L_{-1}V_{\alpha_1+\alpha_2+Nb}(0): +\cdots \right). \end{aligned} \tag{6.10}\]

这些次级场系数的积分，是 Euler $\beta$ 函数的推广，称为 Selberg 型积分。实际把展开最初两项所对应的积分算出来，并取两者之比，就可以验证下式

\[\left. \beta^{\alpha_1+\alpha_2+Nb,\square}_{\alpha_1,\Phi;\alpha_2,\Phi} \right|_{\mathrm{free+screening}} = \left. \frac{\alpha(\alpha-Q)+(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1+\alpha_2-Q)}{2\alpha(\alpha-Q)} \right|_{\alpha=\alpha_1+\alpha_2+Nb}, \tag{6.11}\]

确实是式 (6.6)。更高阶的项也是类似的。关于计算的细节，请参见文献 [53]。

以上讨论的是共形场论的自由场表示。实际上，把这一思想应用到 AGT 猜想上，会得到非常有趣的结果。因此，下面来考虑利用自由场计算来求共形块。着眼于对 AGT 猜想的应用，这里考虑球面上的四点共形块：

\[\begin{aligned} &\left\langle V_{\alpha_4}(\infty)V_{\alpha_3}(1) \prod_{i=1}^{N_2}\int_0^1 dz_i :e^{b\phi(z_i)}: V_{\alpha_2}(q)V_{\alpha_1}(0) \prod_{i=1}^{N_1}\int_0^q dz_i :e^{b\phi(z_i)}: \right\rangle\\ &= \mathrm{const.}\times \prod_{i=1}^{N_1}\int_0^q dz_i \prod_{j=N_1+1}^{N}\int_0^1 dz_j \prod_{i<j}(z_i-z_j)^{2b^2} \prod_{i=1}^{N} z_i^{2b\alpha_1}(z_i-q)^{2b\alpha_2}(z_i-1)^{2b\alpha_3}. \end{aligned} \tag{6.12}\]

这里所考虑的初级场，是自由场理论中的 $V_{\alpha}(z):=:\exp(\alpha\phi(z)):$。对于极小模型，这样的积分表示在二十多年前就已经由 Dotsenko 与 Fateev 给出。因此，这种表示被称为 Dotsenko-Fateev 积分。不过，这里得到的结果是针对一般共形块的，并且是由 Dijkgraaf 与 Vafa 首次引入的。从共形场论的角度来说，之所以能够得到这样的表示，是因为前面所说的屏蔽算符，连同其积分路径在内，都能够被确定下来。不过，到目前为止，对这一结果的严格证明仍然没有建立。

下面按照惯例引入记号 $\beta=b^2$。这个多重积分在 $\beta=1$ 时，可以看作矩阵模型的本征值积分表示。因为在这种情形下，积分中的因子 $\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{2\beta}$ 就变成了 Vandermonde 行列式。众所周知，这正是矩阵积分测度中来自非对角成分的因子。不过，与通常的模型不同，这里的势具有 $\alpha_1\log Z+\alpha_2\log(Z-q)+\alpha_3\log(Z-1)$ 这样的对数形式。这类矩阵模型被称为 Penner 型，它最初是 Penner 为了研究 Riemann 面模空间的相交理论而引入的。

此外，它与我们熟悉的矩阵模型还有一个显著不同之处，那就是当 $\beta$ 为一般值时，这个积分已经不能再看成矩阵积分了。因此通常不把这个模型称为矩阵模型，而是称为 $\beta$-系综。$\beta$-系综本身作为 Dyson 气体和 Wigner 晶体的统计力学模型也早已被研究过，在那里这里的 $\beta$ 对应于逆温度。在我们所讨论的模型中，$\beta=-\epsilon_1/\epsilon_2$，这正是 $\Omega$-背景两个参数之比。取 $\beta\neq 1$，就对应于考虑中心荷 $c\neq 1$ 的共形场论。从规范理论的观点来看，这无非就是在考虑非自对偶的背景。于是来考察下面这个配分函数：

\[Z_{\mathrm{DF}} = q^{2\alpha_1\alpha_2}(1-q)^{2\alpha_2\alpha_3} \prod_{i=1}^{N_1}\int_0^q dz_i \prod_{j=N_1+1}^{N}\int_0^1 dz_j \prod_{i<j}(z_i-z_j)^{2\beta} \prod_{i=1}^{N} z_i^{2b\alpha_1}(z_i-q)^{2b\alpha_2}(z_i-1)^{2b\alpha_3}. \tag{6.13}\]

这被称为 Dijkgraaf-Vafa 的 $\beta$-系综，或者 Dotsenko-Fateev 配分函数。它是从共形块的自由场表示得到的，因此人们猜想，这个配分函数与 Virasoro 共形块 $\mathcal{F}$ 严格相等：

\[Z_{\mathrm{DF}} = C\cdot q^{\Delta-\Delta_1-\Delta_2}\cdot \mathcal{F} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} (\Delta;q). \tag{6.14}\]

不过，由于在两处做了 OPE，因此对两个动量施加了修正后的守恒律

\[\alpha=\alpha_1+\alpha_2+N_1b, \tag{6.15}\] \[\alpha_4=\alpha+\alpha_3+N_2b. \tag{6.16}\]

Dijkgraaf 与 Vafa 所发现的，正是这个 Dotsenko-Fateev 配分函数、共形块与 Nekrasov 配分函数之间的等价性：

\[\mathcal{F} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \longleftrightarrow Z_{\mathrm{DF}} \longleftrightarrow Z_{\mathrm{Nek}}. \tag{6.17}\]

也就是说，以 Dijkgraaf-Vafa $\beta$-系综为中介，就有可能把共形块与 Nekrasov 配分函数联系起来。这个猜想已经在各种层次上得到了检验。特别是，对 $\beta=1$ 时的矩阵模型在平面极限下的具体计算的工作 [55]，以及把一般 $\beta$ 的多重积分视为广义 Selberg 积分，从而研究到瞬子展开高阶的工作 [56,57,53,54]，都已经有了非常细致的分析。尤其是，把它当作 Selberg 积分来处理，与把被积函数用 Jack 多项式展开非常相容，并且与 Nekrasov 配分函数和共形块的 Young 图展开有着深刻联系，因此尤为重要。

那么，Dijkgraaf 与 Vafa 究竟是如何发现这一关系的呢？其关键就在于拓扑弦理论及其对偶性。下一节中，我们将说明这种弦理论的途径。

通过几何转移的“证明”

本节要讨论的是 AGT 对应在弦理论中的实现，特别是 Dijkgraaf 与 Vafa 所发现的方法。

其中关键的思想，是称为几何工程方法（geometric engineering）的弦理论技术。几何工程方法，是把四维 $\mathcal{N}=2$ 理论理解为 Type II 超弦理论低能有效理论的一种手法。这样一来，便可以把称为弦对偶性的强有力方法用于规范理论的解析。

现在，我们关心的是 $\mathcal{N}=2$ 规范理论的 Nekrasov 配分函数。把 $\mathcal{N}=2$ 理论嵌入弦理论的方法有若干种，这里把它看作 Type II 弦在 Calabi-Yau 紧致化下得到的理论。于是，Nekrasov 自由能 $\mathcal{F}_{\mathrm{Nek}}=\log Z_{\mathrm{Nek}}$ 可以作为该紧致化理论的低能有效作用 $S_{\mathrm{eff}}$ 给出 [58]。此时，$\Omega$-背景场对应于 $\mathcal{N}=2$ 超引力多重态中的引力光子背景场。更重要的是，这个自由能还可以作为拓扑弦理论的预势来计算。把以上内容概括起来，就是

\[\mathcal{F}_{\mathrm{Nek}} \longleftrightarrow S_{\mathrm{eff}}(\mathrm{Type\ II\ on\ CY}\times \mathbb{R}^4) \longleftrightarrow \mathcal{F}_{\mathrm{top\ str}}(\mathrm{CY}). \tag{6.18}\]

详细内容请参见文献。

为简单起见，我们以超共形 $SU(2)$ 线性 quiver 理论为例。其出发点，是由 $A_1$ 奇点构造出来的三维复流形

\[A_1\times \mathbb{C}:\qquad uv+x^2=0,\qquad z\in \mathbb{C}. \tag{6.19}\]

奇点位于 $u=v=x=0$。我们将这个奇点用 $\mathbb{P}^1\simeq S^2$ 来替换，从而对 $A_1$ 奇点做解消（图 32）。这个球面 $\mathbb{P}^1$，可以看作空间 $uv+x^2=0$ 中颈缩部分那样的对象，它构成一个无法再压缩的极小二维球面。而且，我们现在考虑的空间在 $z$ 方向上是平坦的，因此沿这一方向存在着极小球面的连续族。

尽管看起来有些突兀，但我们来考虑这个空间 $A_1\times \mathbb{C}$ 上的拓扑 $B$-model弦理论。特别地，设在极小球面 $S^2$ 上缠绕 $N$ 张 $B$-model的 2-膜。根据 Witten 给出的 cubic SFT 与拓扑弦之间的关系，可以知道，这样构造出的 $B$-model开弦理论会退化为矩阵模型 [58]。因此，其配分函数可写为矩阵积分

图32：$A_1$ 奇点 $uv+x^2=0$ 及其解消 $uv+x^2=r^2$。

\[Z_{\mathrm{DV}} = \int_{N\times N} dM\, e^{\frac{1}{g_s}\operatorname{tr}W(M)}, \tag{6.20}\]

其中势函数 $W$ 出现在 Calabi-Yau 几何中：

\[uv+x^2-W'(z)^2=0\]

因此，在当前情形下有 $W=0$。

接着，在这个 $B$-model体系中再插入若干束非紧的 $B$-model 2-膜。与在位置 $x=0,\ z=q$ 插入 $\alpha$ 张膜相对应，矩阵模型中会插入算符

\[V_{\alpha}(q)=\det(M-q)^{\alpha}. \tag{6.21}\]

这个算符，是在用 $A$-model分析纽结不变量等问题时出现的 Ooguri-Vafa 算符的镜像。因此，若插入 $n+2$ 个膜堆，理论的配分函数就变成

\[Z_{\mathrm{DV}} = \int_{N\times N} dM \prod_{a=1}^{n+2}V_{\alpha_a}(q_a) = \int d^N z \prod_{i<j}(z_i-z_j)^2 \prod_{i,a}(z_i-q_a)^{\alpha_a}, \tag{6.22}\]

有趣的是，这恰恰就是从自由场计算得到的 Dotsenko-Fateev 积分本身。

那么，为什么这个模型会与 AGT 有关呢？首先，把这个理论看作具有势函数

\[W(M)=\sum_{a=1}^{n+2} g_s\alpha_a \log(M-q_a) \tag{6.23}\]

的 Penner 型矩阵模型，即

\[Z=\int_{N\times N} dM \exp\left[\frac{1}{g_s}\operatorname{tr}W(M)\right]. \tag{6.24}\]

然后，在 Dijkgraaf-Vafa 相中来分析这个矩阵模型。也就是说，把矩阵积分在经典作用的驻点 $W’(\zeta_A)=0$ 附近来求值。由于这个驻点只有 $z=\zeta_1,\cdots,\zeta_{n+1}$ 这些，因此，对每个变量 $z_i$ 而言，都有“从 $n+1$ 个驻点中选哪一个”这样的自由度。设其中被选到驻点 $\zeta_A$ 的变量 $z_i$ 有 $N_A$ 个。换言之，就是把总数为 $N=N_1+\cdots+N_{n+1}$ 的变量分配到 $n+1$ 个驻点上。这对应于在弦理论中将总共 $N$ 张膜分配到 $n+1$ 个cycle上的操作。下面我们考虑这个模型在如下 ‘t Hooft 极限

\[N\to \infty,\qquad \nu_A=g_s N_A, \tag{6.25}\]

下的行为。在矩阵模型的语境中，’t Hooft 参数 $\nu_A$ 被称为占有率。进一步地，再同时取极限

\[\alpha_a\to \infty,\qquad m_a=g_s\alpha_a, \tag{6.26}\]

不过，在无穷远处的电荷 $\alpha_0=-\sum_{a=1}^{n+2}\alpha_a+N$ 上也同样取这个极限。

众所周知，矩阵模型在大 $N$ 极限下的行为由谱曲线

\[F(x,z)=x^2-W'(z)^2+f(z)=0 \tag{6.27}\]

来描述。它是在“经典”曲线 $x^2-W’(z)^2=0$ 上加入量子修正

\[f(z)=g_s\left\langle \sum_i \frac{W'(z_i)-W'(z)}{z_i-z}\right\rangle \tag{6.28}\]

之后得到的形式。这个谱曲线实际上反映了弦理论中的一个重要对偶性，这就是称为几何转移（geometric transition）或者大 $N$ 对偶（large-$N$ duality）的对偶性。它是一类规范/yinli对偶，其把含有膜的开弦理论体系置换成闭弦理论体系。在这一过程中，起初存在的膜的信息，会转化为背景 Calabi-Yau 几何的形状与循环的大小。那么，现在就把几何转移施加到前面讨论的开弦 $B$-model上。于是，至今为止所考察的开弦 $B$-model，也就是矩阵模型体系，就会被置换为定义在谱几何

\[uv+F(x,z)=uv+x^2-W'(z)^2+f(z)=0 \tag{6.29}\]

之上的拓扑 $B$-model闭弦理论。矩阵模型的量子修正 $f(z)$ 把经典曲线 $x^2-W’(z)^2=0$ 变形为谱曲线 $F(x,z)=x^2-W’(z)^2+f(z)=0$，这正是在描述几何转移。换言之，矩阵模型的量子修正，对应于膜通过几何转移融入背景几何并使 Calabi-Yau 空间发生变形这一现象。转移后的空间，实际上就是超共形 $SU(2)$ quiver 理论的 Seiberg-Witten 曲线，也就是将该理论嵌入弦理论后得到的几何。关于这一点，我们马上会在下面给出的具体例子中详细看到。因此，与这个 $B$-model对应的 Type IIB 闭弦理论，便给出了 $\mathcal{N}=2$ 规范理论的 Seiberg-Witten 解。也就是说，通过几何转移，我们所考虑的 $B$-model体系实现了对 $SU(2)$ 规范理论的“几何工程”。这样一来，以矩阵模型为中介，共形块与 Seiberg-Witten 理论就联系起来了。这便是 Dijkgraaf 与 Vafa 的思想。

为了具体理解这一点，我们先离开一般的讨论，回到四风味超共形 $SU(2)$ SQCD 的情形，也就是 $n=1$ 的例子。

3-Penner 矩阵模型

现在取膜的插入点为 $q_I=0,1,q$。于是，对应四风味 $SU(2)$ 规范理论的矩阵作用量就是

\[W(z)=m_1\log z + m_2\log(z-1)+m_3\log(z-q), \tag{6.30}\]

在这种情况下，量子修正立刻可以看出具有

\[f(z)=\sum_{a=1}^{3}\frac{c_a(\nu,m)}{z-q_a} \tag{6.31}\]

这样的形式。当然，要决定系数 $c_1(\nu,m)$ 的具体函数形式，还需要做繁复的矩阵模型计算。于是，谱曲线便由有理函数

\[x^2=\frac{P_4(z)}{z^2(z-1)^2(z-q)^2} \tag{6.32}\]

给出。再结合约束 $\nu_1+\nu_2=g_sN=m_0+\cdots+m_3$，可知自由参数共有五个，即质量参数 $m_0,\cdots,m_3$，以及 Coulomb 支参数

\[a=\nu_1-\nu_2=\oint_{A\text{-cycle}} x\,dz, \tag{6.33}\]

它们正好给出四次多项式 $P_4(z)$ 的五个系数。从式 (6.32) 立刻可以看出，这条谱曲线正是 Gaiotto 所给出的 Seiberg-Witten 曲线的表示本身²。之所以能得到这种 Gaiotto 形式，是因为这里取的是 Penner 型矩阵模型作用量。几何转移的应用方式也很有特色，与针对 $\mathcal{N}=1$ 规范理论的 Dijkgraaf-Vafa 理论不同，这里采用的是交换 Calabi-Yau 的纤维与底空间的做法。现在，关于这个结果 (6.32) 连同其系数确实正确再现了 Seiberg-Witten 解这一点，已经在 [55] 中得到检验。因此，前面所讨论的开弦 $B$-model体系，确实给出了这个 $SU(2)$ 规范理论在弦理论中的嵌入。

不过，上述思想真的已经解释了 Dotsenko-Fateev 积分与 Nekrasov 配分函数之间的对应吗？为此，我们再借助镜像对称性，把 $B$-model变换到 $A$-model。通过镜像对称性，前面一直讨论的 $B$-model等价于定义在称为局部 Del-Pezzo 曲面 $B_5$ 的toric Calabi-Yau 空间上的拓扑 $A$-model。这个镜像 $A$-model可以利用称为拓扑顶点的方法严格求解。于是，由此得到的拓扑弦理论配分函数，与 Nekrasov 配分函数完全一致 [25]。因此，$A$-model的配分函数就是 Nekrasov 配分函数本身，而若利用镜像对称性的 $B$-model来计算，则同一个量便由 Dijkgraaf-Vafa 矩阵模型给出。

这里介绍的 Dijkgraaf-Vafa 说明，仍然只建立在矩阵模型平面极限的讨论之上。并且，目前从理论上真正整理清楚了其弦理论嵌入的，也只限于 $\beta=1$ 的情形。接下来更困难、也更有趣的问题，是要在 $\beta$-系综的全阶上考察配分函数。此时变得重要的，是把 Dijkgraaf-Vafa 模型视为 Selberg 积分来处理的分析方法 [54,53]。依靠这一途径，已经在 Nekrasov 公式与 Dijkgraaf-Vafa $\beta$-系综的比较计算方面看到了重大进展。人们目前期待，真正证明 Dijkgraaf-Vafa 猜想的方向，正是在这里。

6.2 通过 Zamolodchikov 递推关系证明 AGT 猜想

本节中，我们从 A. Zamolodchikov 所发现的关于共形块的递推关系这一观点出发，来考察 AGT 猜想。为了写下 Zamolodchikov 的递推关系，我们先由球面上的四点共形块定义如下的椭圆共形块 $\mathcal{H}_{\Delta}$：

\[\mathcal{F}_{\Delta} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}(q) = (1-q)^{\frac{Q^2}{4}-\Delta_1-\Delta_3} \left(\frac{q}{16\mathcal{Q}}\right)^{\frac{a^2}{4}} \theta_3(\mathcal{Q})^{3Q^2-(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3+\Delta_4)} \mathcal{H}_{\Delta}(\mathcal{Q}). \tag{6.34}\]

这里利用椭圆函数引入 $\mathcal{Q}=\exp(-\pi K(1-q)/K(q))$，并且 $\theta_3(e^{2\pi i\tau})=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{2\pi i\tau n^2}$ 是 Jacobi 的 theta 函数 $\theta_3(0|\tau)$。现在考虑这个块的层级展开$\mathcal{H}_{\Delta}(\mathcal{Q})=1+\sum_{n=1}^{\infty}(16\mathcal{Q})^n\mathcal{H}_{\Delta}^n$。于是，A. Zamolodchikov 发现，展开的各项通过如下递推关系由更低阶的项决定 [59]：

\[\mathcal{H}_{\Delta}^n = \delta_{n,0} + \sum_{\substack{r,s\geq 1\\rs\leq n}} \frac{c_{r,s}d_{r,s}}{\Delta-\Delta_{r,s}} \mathcal{H}_{\Delta_{r,s}+rs}^{\,n-rs}. \tag{6.35}\]

其中，这个递推关系中出现的系数由

\[c_{r,s} = \left.\frac{1}{2} \prod_{p=1-r}^{r} \prod_{q=1-s}^{s}\right| _{\substack{(p,q)\neq(0,0),(r,s)}} \frac{1}{pb+qb^{-1}}, \tag{6.36}\] \[d_{r,s} = \prod_{i=1}^{4} \prod_{\substack{p=-r+1,-r+3,\ldots,r-1\\ q=-s+1,-s+3,\ldots,s-1}} \left( \frac{Q}{4} - \frac{\mu_i}{2} - \frac{pb+qb^{-1}}{2} \right), \tag{6.37}\]

给出，其中 $\Delta_{r,s}=\Delta(a=(rb+sb^{-1})/2)$。此外，$\mu_i$ 是在 AGT 猜想中对应于味质量的参数 (4.35)，参见第 4 章。这个关系式称为 Zamolodchikov 递推关系。因此，如果能证明 Nekrasov 配分函数也满足同样的递推关系，那么 AGT 猜想就得到了证明。遗憾的是，在 $SU(2)$ $N_f=4$ SQCD 的情形下，这个证明方案会遇到技术上的困难，目前还没有给出证明。不过，在味数较少的情形以及 $\mathcal{N}=2^*$ 理论中，可以利用这一思想证明 AGT 猜想 [60,61]。因此，这里我们来讨论 $SU(2)$ 纯 Yang-Mills 理论的情形。

非正规共形块的 Zamolodchikov 递推关系

首先考虑对应于 pure Yang-Mills 理论的非正规共形块 $\langle G|G\rangle$，并导出其层级展开各项之间所满足的 Zamolodchikov 递推关系。这个递推关系可以通过对式 (6.35) 施加味退耦极限而得到 [62,61]。注意到 $\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4\mathcal{Q}(q)\to \Lambda^4$³，便可容易地得到如下递推关系：

\[\langle \Delta,k|\Delta,k\rangle = \delta_{k,0} + \sum_{\substack{r,s\geq 1\\rs\leq k}} \frac{c_{r,s}}{\Delta-\Delta_{r,s}} \langle \Delta_{r,s}+rs,k-rs|\Delta_{r,s}+rs,k-rs\rangle. \tag{6.38}\]

这里注意瞬子展开 $\langle G|G\rangle=\sum_k \Lambda^{4k}\langle \Delta,k|\Delta,k\rangle$。因此，为了证明 Gaiotto 猜想 (4.67)，只要说明 $SU(2)$ Yang-Mills 理论的 $k$-瞬子配分函数 $Z_{\mathrm{pure}\ SU(2),k}$ 满足与 $\langle \Delta,k|\Delta,k\rangle$ 相同的递推关系即可。为此，我们先介绍 Nekrasov 函数的 LMNS 积分表示。

Nekrasov 函数的 LMNS 积分表示与极点结构

Nekrasov 配分函数的积分表示，是在使用拓扑场论研究 hyperKähler 空间时，由 Losev、Moore、Nekrasov 和 Shatashvili 引入的 [63,64]。特别地，对我们现在所研究的 $SU(2)$ Yang-Mills 理论，LMNS 积分表示为

\[Z_k = \frac{(-Q)^k}{(\epsilon_1\epsilon_2)^k k!} \oint_{C_k}\frac{dx_k}{2\pi i}\cdots \oint_{C_1}\frac{dx_1}{2\pi i} \prod_{i=1}^{k}\frac{1}{P_1(x_i)P_2(x_i)} \prod_{1\leq i<j\leq k} \frac{(x_{ij})^2(x_{ij}^2-Q^2)}{(x_{ij}^2-\epsilon_1^2)(x_{ij}^2-\epsilon_2^2)}, \tag{6.39}\]

其中引入记号 $P_{\alpha}(x)=(x-a_{\alpha})(x-a_{\alpha}+Q)$。在本节中 $Q=\epsilon_1+\epsilon_2$。此外，积分路径 $C_i$ 取为包围极点$x_i=a_{1,2},\,x_j{}_{(i<j)}+\epsilon_{1,2}$的围道。

这个积分表示与 Nekrasov 函数的 Young 图展开之间，通过如下过程相关。先对 $x_1$ 做积分。此时给出留数的极点只有两个，即 $x_1=a_1$ 与 $x_1=a_2$。于是，我们把在 $x_1=a_1$ 附近计算得到的项看成对应于 Young 图列 $(\square,\varnothing)$ 的项，而在 $x_1=a_2$ 附近的则对应于 $(\varnothing,\square)$。这里我们考虑对应于 $(\square,\varnothing)$ 的那一项。于是，由 $x_1=a_1$ 处的留数可得

\[\begin{aligned} \left.Z_k\right|&_{x_1=a_1} = \frac{(-Q)^{k-1}}{(\epsilon_1\epsilon_2)^{k-1}k!\,\epsilon_1\epsilon_2\,a_{21}(a_{12}+Q)}\\ &\times \oint_{C_k}\frac{dx_k}{2\pi i}\cdots \oint_{C_2}\frac{dx_2}{2\pi i} \prod_{i=2}^{k}\frac{P_1(x_i-Q)}{P_1(x_i-\epsilon_1)P_1(x_i-\epsilon_2)P_2(x_i)} \prod_{2\leq i<j\leq k} \frac{(x_{ij})^2(x_{ij}^2-Q^2)}{(x_{ij}^2-\epsilon_1^2)(x_{ij}^2-\epsilon_2^2)}. \end{aligned} \tag{6.40}\]

还可以看出，这里新出现的系数$1/\epsilon_1\epsilon_2a_{21}(a_{12}+Q)$，正是 Nekrasov 函数中因子

\[\prod_{\alpha,\beta=1,2} \prod_{s\in Y_1} \left( a_{\alpha\beta} - \ell_{Y_{\beta}}(s)\epsilon_1 + (a_{Y_{\alpha}}(s)+1)\epsilon_2 \right)^{-1} \tag{6.41}\]

由满足$\ell_1(s)=a_1(s)=0,\ \ell_2(s)=a_2(s)=-1$的那个方块 $s$ 所给出的贡献。

接着，再对 $x_2$ 做积分。被积函数的极点位置来自分母$P_1(x_2-\epsilon_1)P_1(x_2-\epsilon_2)P_2(x_2)$，因此下一个积分中出现的极点是$x_2=a_1+\epsilon_1,\ a_1+\epsilon_2,\ a_2$这三个。像这样在已经选定 $x_1=a_1$ 之后，$x_2$ 出现这三个极的情况，可以理解为图 33 所画出的第一阶段过程。因此，从$x_2=a_1+\epsilon_1,\ a_1+\epsilon_2,\ a_2$中再选取一个极来计算，对应的正是 Young 图 $(\square,\varnothing)$ 再添上一格，得到$([2],\varnothing)$、$([1^2],\varnothing)$或者$(\square,\square)$的这过程。这里我们来计算来自极点 $x_2=a_1+\epsilon_1$ 的贡献。于是，对应于 $([2],\varnothing)$ 的项为

图33：留数计算中单纯极的选取，与 Young 图的扩展。

\[\begin{aligned} &\left.Z_k\right|_{x_1=a_1,x_2=a_1+\epsilon_1} = \frac{(-Q)^{k-2}}{(\epsilon_1\epsilon_2)^{k-2}k!\,\epsilon_1\epsilon_2(\epsilon_2-\epsilon_1)(\epsilon_1-\epsilon_2+Q)a_{12}(a_{12}+Q)(a_{12}+\epsilon_1)(a_{12}+\epsilon_1+Q)}\\ &\qquad\times \oint_{C_k}\frac{dx_k}{2\pi i}\cdots \oint_{C_3}\frac{dx_3}{2\pi i} \prod_{i=3}^{k}\frac{P_1(x_i-\epsilon_1-Q)}{P_1(x_i-2\epsilon_1)P_1(x_i-\epsilon_2)P_2(x_i)} \prod_{3\leq i<j\leq k} \frac{(x_{ij})^2(x_{ij}^2-Q^2)}{(x_{ij}^2-\epsilon_1^2)(x_{ij}^2-\epsilon_2^2)}. \end{aligned} \tag{6.42}\]

这里新增加的留数，也对应于因子 (6.41) 中那个满足$\ell_1(s)=1,\ a_1(s)=0,\ \ell_2(s)=a_2(s)=-1$的方块 $s$ 所给出的贡献。此外，还要注意，在计算过程中出现的极点 $x_i=\epsilon_1+\epsilon_2$，会被式 (6.40) 分子中的因子 $P_1(x_i-Q)$ 抵消掉。因此，在下一步积分中出现的极点只有$x_3=a_1+2\epsilon_1,\ a_1+\epsilon_2,\ a_2$这三个，而再次从中选极的操作就会表现为 Young 图的继续扩张。这就是图 33 的第二阶段过程。这样继续下去，就可以知道，在 $k$ 重积分的留数计算中，极的选取方式由总格子数满足 $k=|Y_1|+|Y_2|$ 的 Young 图对 $(Y_1,Y_2)$ 来标记。并且，正如从上面的具体计算中立刻可以预期的那样，在与 $(Y_1,Y_2)$ 对应的极点处所计算得到的留数，恰恰就是 Nekrasov 函数中出现的因子本身：

\[\left.Z_k\right|_{(Y_1,Y_2)} = \frac{1}{\prod_{\alpha,\beta=1}^{2} n_{\alpha,\beta}^{(Y_1,Y_2)}(\vec{a},\epsilon_1,\epsilon_2)}. \tag{6.43}\]

因此，$Z_k$ 整体确实给出了正确的 $k$-瞬子配分函数。

接下来，我们尝试利用 LMNS 积分表示来证明 Zamolodchikov 递推关系。为此，只要弄清楚 $k$-瞬子配分函数的极点，以及在这些极处的留数即可。配分函数的奇异性，是由于被积函数中的极点发生碰撞而产生的。先用一个简单的例子来说明：

\[Q\oint_{x=a_1}\frac{dx}{2\pi i} \frac{1}{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_1+Q)(x-a_2+Q)} = \frac{1}{a_{12}(a_{12}+Q)}. \tag{6.44}\]

这个积分结果在 $a_1=a_2-Q$ 处的奇异性，是由被积函数中位于积分围道内的极点 $x=a_1$ 与位于围道外的极点 $x=a_2-Q$ 相碰撞而产生的。对于 LMNS 积分也是完全一样，在积分过程中出现的极点$x=a_1+k\epsilon_1+l\epsilon_2$与围道外的极点$x=a_2-Q$发生碰撞，从而使配分函数本身在$a_{12}+(k+1)\epsilon_1+(l+1)\epsilon_2=0$处出现极点。稍加仔细分析便可知道，这样出现的极点恰好是

\[a_{12}=\pm(r\epsilon_1+s\epsilon_2),\qquad r,s=1,2,\cdots,k,\qquad rs\leq k, \tag{6.45}\]

并且也可以证明，极点到此为止已经穷尽 [60]。还要注意，在这样的极点上，中间态的共形维数正是式 (6.38) 中出现的$\Delta(2a=\pm(r\epsilon_1+s\epsilon_2))=\Delta_{r,s}$。因此，接下来只需计算配分函数在这些极上的留数即可。正如下文将要说明的，借助 LMNS 积分，可以知道在极$a_{12}=-(r\epsilon_1+s\epsilon_2)$处的留数为⁴

\[\begin{aligned} \operatorname{Res}Z_k(a_1,a_2) &= \left(\left.\operatorname{Res}Z_k\right|_{(r\times s,\varnothing)}(a_1,a_2)\right)\, Z_{k-rs}(a_1+r\epsilon_1,a_1+s\epsilon_2)\\ &= c_{r,s}\, Z_{k-rs} \left( \frac{r\epsilon_1-s\epsilon_2}{2}, -\frac{r\epsilon_1-s\epsilon_2}{2} \right). \end{aligned} \tag{6.46}\]

这里因为我们考虑的是 $SU(2)$ 规范群，所以取 $a_1=-a_2=a$。此外，$\left.Z_k\right|_{(r\times s,\varnothing)}(a_1,a_2)$表示 Nekrasov 函数中来自 Young 图 pair $\vec{Y}$ 的那一项，其中 $Y_1$ 是一个 $r\times s$ 的矩形 Young 图，而 $Y_2$ 为空。于是由于$Z_k(a,-a)=Z_k(-a,a)$，在$a_{12}=(r\epsilon_1+s\epsilon_2)$处的留数，除了符号以外也完全相同。这样一来，配分函数全部极的形状就确定了。而且，由于$\lim_{a\to\infty}Z_k=\delta_{k,0}$，正规项也已知。因此，凭借这两方面的信息，便立刻得到递推关系 (6.38) 。换言之，$Z_k=\langle \Delta,k|\Delta,k\rangle$，从而对 $SU(2)$ Yang-Mills 理论的 AGT 猜想得到了证明。通过这种将 LMNS 积分与 Zamolodchikov 递推关系相比较的方法，对 $N_f=1,2$ 的情形以及 $\mathcal{N}=2^*$ 理论，也都已经证明了 AGT 猜想。

最后，我们来说明式 (6.46)。利用 LMNS 积分，我们求极点$a_{12}=-(r\epsilon_1+s\epsilon_2)$处的 $k$-瞬子配分函数留数。要产生这种单纯极点，必须已经做了 $rs$ 个积分。并且在此过程中，极点$a_1$，$a_1+\epsilon_1$，$a_1+\epsilon_2$，$\cdots$，$a_1+(r-1)\epsilon_1+(s-1)\epsilon_2$必须全部被选中。取这类极点的组合共有 ${}_kC_{rs}$ 种，因此，若重新给积分变量编号，就可以写成

\[\begin{aligned} \operatorname{Res}Z_k(a_1,a_2) = \frac{(-Q)^{k-rs}}{(\epsilon_1\epsilon_2)^{k-rs}(k-rs)!} \oint_{C_k}\frac{dx_k}{2\pi i}\cdots &\oint_{C_{rs+1}}\frac{dx_{rs+1}}{2\pi i} \prod_{rs<l<m\leq k} \frac{(x_{lm})^2(x_{lm}^2-Q^2)}{(x_{lm}^2-\epsilon_1^2)(x_{lm}^2-\epsilon_2^2)}\\ &\times \prod_{l=rs+1}^{k}\frac{1}{P_1(x_l)P_2(x_l)} \frac{(-Q)^{rs}}{(\epsilon_1\epsilon_2)^{rs}(rs)!} R_{rs}, \end{aligned} \tag{6.47}\]

其中⁵

\[\begin{aligned} R_{rs} &= \operatorname{Res} \oint_{C_{rs}}\frac{dx_{rs}}{2\pi i}\cdots \oint_{C_1}\frac{dx_1}{2\pi i} \prod_{1\leq i\leq rs,rs<l\leq k} \frac{(x_{li})^2(x_{li}^2-Q^2)}{(x_{li}^2-\epsilon_1^2)(x_{li}^2-\epsilon_2^2)} \prod_{i=1}^{rs}\frac{1}{P_1(x_i)P_2(x_i)} \prod_{1\leq i<j\leq rs} \frac{(x_{ij})^2(x_{ij}^2-Q^2)}{(x_{ij}^2-\epsilon_1^2)(x_{ij}^2-\epsilon_2^2)}\\ &= \operatorname{Res} \prod_{l=rs+1}^{k} \prod_{\rho=1}^{r} \prod_{\sigma=1}^{s} \frac{(x_l-a_{\rho\sigma})^2((x_l-a_{\rho\sigma})^2-Q^2)}{((x_l-a_{\rho\sigma})^2-\epsilon_1^2)((x_l-a_{\rho\sigma})^2-\epsilon_2^2)} \frac{(\epsilon_1\epsilon_2)^{rs}(rs)!}{(-Q)^{rs}} \cdot \left.Z_k\right|_{(r\times s,\varnothing)}(a_1,a_2), \end{aligned}\]

并且这里记

\[a_{\rho\sigma}=a_1+(\rho-1)\epsilon_1+(\sigma-1)\epsilon_2.\]

于是，由简单的代数计算可以证明

\[\left. \frac{1}{P_1(x_i)P_2(x_i)} \prod_{l=rs+1}^{k} \prod_{\rho=1}^{r} \prod_{\sigma=1}^{s} \frac{(x_l-a_{\rho\sigma})^2((x_l-a_{\rho\sigma})^2-Q^2)}{((x_l-a_{\rho\sigma})^2-\epsilon_1^2)((x_l-a_{\rho\sigma})^2-\epsilon_2^2)} \right|_{a_{12}=-(r\epsilon_1+s\epsilon_2)} = \frac{1}{P_1(x_i-r\epsilon_1)P_1(x_i-s\epsilon_2)}, \tag{6.48}\]

因此，把式 (6.47) 中的被积函数并入 $R_{rs}$ 中，并用式 (6.48) 改写之后，除了$\left.Z_k\right|_{(r\times s,\varnothing)}$之外的其余部分，就可以写成$Z_{k-rs}(a_1+r\epsilon_1,a_1+s\epsilon_2)$。这样便得到了式 (6.46)。

核心想法就是这玩意儿只和virasoro代数有关，跟共形块一样是universal的东西，所以我们可以选一个简单的模型来计算，但后面会看到因为简单的模型不一定传播所有的中间态，所以只能得到一些特别的$\alpha$对应的$\beta$。 ↩
注意和式(4.16)比对。 ↩
这里注意$m\sim \mu/2$，所以$m^4\sim \mu^4/16$，而利用椭圆函数的性质可以得到$\mathcal{Q}\sim q/16+\mathcal{O}(q^2)$。两者结合便可以发现前面章节的$q\prod_i m_i\to\Lambda$就是这个极限。 ↩
注意因为k-瞬子贡献的配分函数一定只有杨图的总格数也为$k$的才有贡献，所以我们包括后面写下$\left.Z_k\right|_{}$ ↩
这些计算都不难，只需要注意到我们积这$rs$个积分最终只是为了求$-(r\epsilon_1+s\epsilon_2)$处的留数，所以并非每个极点都需要积分，只需要选出$(r\times s,\varnothing)$的极点就好。 ↩

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