这是瀧雅人教授在2011年写的AGT猜想介绍的日文综述第五节的翻译，其它章节的翻译请见：

AGT猜想及其发展——第七回 总结、附录与参考文献

AGT猜想及其发展——第六回 此后的发展

AGT猜想及其发展——第五回 AGT猜想中的非局域算符

AGT猜想及其发展——第四回 Alday-Gaiotto-Tachikawa猜想

AGT猜想及其发展——第三回 $\mathcal{N}=2$ 四维超对称规范理论与瞬子配分函数

AGT猜想及其发展——第二回 二维共形场论与共形块

AGT猜想及其发展——第一回 引言

以下是本节目录：

• 5 AGT 猜想中的非局域算符
  • 5.1 环路算符与非自交循环
  • 5.2 基本表面算符及其单值性
    • 表面算符与环路算符
    • 融合与编织
    • 线算符与 Verlinde 环路算符

5 AGT 猜想中的非局域算符

本节中，我们从 AGT 对应的观点出发，考察 $\mathcal{N}=2$ 规范理论中的非局域算符。作为规范理论中代表性的非局域算符，比如 Wilson loop算符

其中，$L$ 是时空中的闭曲线，$R$ 是标记 Wilson 环路算符的表示。进一步地，除了 Wilson 算符以外，我们还要考虑其磁性的类似物 ‘t Hooft 算符，以及具有二维延展的表面算符。

从 Gaiotto 给出的 M 理论构造的观点来看，这些非局域算符全都起源于 M2 膜。开的 M2 膜可以在实现规范理论的 M5 膜上具有边界。在六维 $(2,0)$ 理论中，M2 膜边界所产生的弦状物体会生成非局域算符。不过，现在我们考虑的是将这个六维理论紧致化到 $\mathbb{R}^4\times C$ 上。因此，线算符与表面算符的区别，正是 M2 膜的世界体积在时空中延展了多少维的区别。

像这样从 $(2,0)$ 理论的观点来思考时，要在 M 理论中实现表面算符，就必须指定延伸到 $\mathbb{R}^4$ 的弦在 $C$ 中放在什么点上。因此，表面算符预期由 Gaiotto 曲线 $C$ 上的点来标记（图 22）。同样，指定线算符的标记，预期是 Gaiotto 曲线 $C$ 上的一个 1-循环。也就是说，这些非局域算符也能够以二维的方式自然地理解。那么，AGT 对应是否也能扩展到这些算符上呢？本节就来讨论这个问题。

5.1 环路算符与非自交循环

在 $SU(2)$ 规范理论中，规范群的表示只由半整数自旋 $j$ 来标记。定义与自旋 $j$ 表示对应的整数电荷 $q=2j$。根据 Pestun 的计算，$SU(2)$ 规范理论中自旋 $j$ 表示的 Wilson 环路的期望值，由在 Nekrasov 公式上乘以

所得，即 $W(L)\cdot \mathcal{F}=W_j\mathcal{F}$。也就是说，Nekrasov 的瞬子配分函数成了 Wilson 环路算符的本征函数 [30] ¹。

进一步，Wilson 环路算符还有一个称为 ‘t Hooft 算符 的磁性类似物。对于 Wilson 算符，我们是通过把试验电荷耦合到规范场上得到它的。粗略地说，’t Hooft 算符就是把这个 Wilson 算符构造中的试验电荷替换成磁单极子。因此，’t Hooft 算符是一类缺陷算符，它赋予环路 $\gamma$ 附近的规范场行为以磁单极型的奇性。为了精确地定义它，我们在路径积分中进行表述。于是，插入 ‘t Hooft 环路算符，就意味着在路径积分中考虑沿着环路具有奇性的场构型：

这里，$(r,\theta,\psi)$ 是与 ‘t Hooft 算符世界线正交的三维空间中的局部球坐标。由于这个背景场会产生 Dirac 弦，因此由 Dirac 量子化条件可知，必须有 $p/2\in\mathbb{Z}$。

进一步地，在这样的 ‘t Hooft 环路背景中再定义 Wilson 环路算符，就可以定义dyon型的环路算符。这称为 Wilson-‘t Hooft 环路算符。因此，Wilson-‘t Hooft 算符由电磁荷 $(p,q)$ 来标记。不过，在 Weyl 群作用 $(p,q)\sim(-p,-q)$ 下它们被视为相同，所以可以取 $p$ 为非负。

现在来看看这些环路算符在几何上应当如何解释。为此，先回忆一下 Gaiotto 曲线。4-味 $SU(2)$ 规范理论对应着如图 23 所示的四穿孔球面。实际上，环路算符与这个 Gaiotto 复曲线（Riemann 面）上的非自交曲线的同伦类相对应 [11]。为了理解这一点，先如图 23 那样引入循环 $\gamma$ 与 $\delta$。这里，$\gamma$ 对应于规范理论弱耦合描述中将要塌缩的循环。也就是说，在 Gaiotto 构造中进行裤分解时，用来切开的那个循环就是 $\gamma$。

现在来分类图 23 的 Riemann 面上的非自交曲线。根据 Dehn 定理，利用下面说明的步骤所给出的 $(p,q)$，就可以对全部同伦类进行分类 [11]。首先令循环 $\gamma$ 对应于 $(p,q)=(0,1)$，取 $q$ 个 $\gamma$ 的拷贝得到的就是 $(0,q)$。例如，$(2,q)$ 则是从与循环 $\delta$ 对应的 $(p,q)=(2,0)$ 出发，沿着 $\gamma$ 施加 $q$ 次 Dehn 扭转² 所得到的循环（图 24）。这样得到的非自交曲线同伦类的标记 $(p,q)$，恰好就是标记环路算符的电磁荷。

像这样定义的 $p,2|q|$，就是该非自交曲线与循环 $\gamma,\delta$ 的交数。在 S 对偶作用（Moore-Seiberg groupoid）下，$\gamma$ 与 $\delta$ 的角色会互换，因此对这个标记 $(p,q)$，立刻可以看出其变换为

这里取 $q>0$。实际上，这正再现了 Kapustin 所给出的对环路算符的 S 对偶作用 [41]。

来看一个简单的例子。对 Wilson-‘t Hooft 算符 $(2,1)$ 作用 S 对偶。在这种情形下，变换规则 (5.5) 意味着 $(2,1)\rightarrow(2,-1)$。如图 25 那样把变换前后的环路算符画出来，就会发现这确实是一对通过将 Gaiotto 曲线旋转 $90$ 度而彼此对应的非自交曲线。

这里我们用初等的例子说明了环路算符的几何解释。这一思想对更复杂的规范理论同样成立，人们已经知道，在环路算符与 Gaiotto 曲线上的非自交曲线之间存在一个优美的映射 [11]。不过，在去掉flavor而考虑渐近自由的规范理论时，这种对应关系会变得稍微复杂一些 [42]。

5.2 基本表面算符及其单值性

接下来考察 $\mathcal{N}=2$ 规范理论中的 half-BPS 表面算符（surface operator）。这类算符是一种支撑在时空二维曲面上的缺陷算符，这里我们只讨论那些在其世界体积上保持二维 $\mathcal{N}=(2,2)$ 超对称性的情形。尽管这类算符是 Wilson-‘t Hooft 环路的自然推广，但长期以来并未受到集中研究。不过，直到最近，随着人们发现它在所谓几何 Langlands 猜想的 $\mathcal{N}=4$ 规范理论解释中扮演着重要角色，它才因种种原因开始被积极研究。AGT 猜想同样也是表面算符发挥作用的一个舞台。

按照 Gukov 与 Witten 的讨论，我们把 UV 中的表面算符定义为这样一种对象，它在其插入位置附近将规范群破缺到某个子群，并进一步使规范场产生奇性。这类表面算符可以按“规范群 $G=SU(N)$ 如何被破缺”这一信息来分类 [43]。现在设表面算符插入在点 $x^2=x^3=0$ 处的 $x^{0,1}$ 平面上，并把横向平面的极坐标定义为 $re^{i\theta}:=x^2+ix^3$。于是，表面算符的存在会使规范场出现奇性：

其中，$\alpha$ 取值于规范群 $G$ 的极大环面 $T=U(1)^{N-1}$ 的 Lie 代数 $t$，

这里我们已经利用规范变换的自由度将 $\alpha_i$ 重新排好序。由于这些 $\alpha_i$ 可以彼此相等，与该构型对易的规范群 $G$ 的子群一般是 Levi 子群 $S(U(N_1)\times\cdots\times U(N_n))\subset G$。也就是说，在表面算符上，规范群被破缺到了 Levi 子群。

换言之，对这种 half-BPS 表面算符的分类，就是由 Levi 子群 $S(U(N_1)\times\cdots\times U(N_n))\subset G$ 给出的：

Levi 子群 $L$ 最具代表性的两种取法，是准极大情形 $\mathbb{L}=SU(N-1)\times U(1)$，以及最小情形 $\mathbb{L}=U(1)^{N-1}$。与子群 $\mathbb{L}=SU(N-1)\times U(1)$ 对应的算符称为 基本表面算符（simple（elementary） surface operator），而与 $\mathbb{L}=U(1)^{N-1}$ 对应的则称为 完全表面算符（full surface operator）。这些称呼与第 4 章中的穿孔分类有关。按照 [12]，这里我们来研究 $SU(2)$ 规范理论中的基本表面算符。

除了磁性参数 $\alpha$ 之外，还存在一个在路径积分中以相位因子

形式出现的电性参数 $\eta$。这里 $F_{U(1)}$ 是表面算符上出现的阿贝尔规范因子的场强，$m$ 称为单极子数。把它们组合成 $t=\eta+\tau\alpha$，称为 Gukov-Witten 的 FI 参数。借助这些量，我们定义二维瞬子因子 $z=e^{it}$。从数学上说，存在表面算符时的 Nekrasov 配分函数预期为

其中，$\mathcal{M}_{N,k,m}$ 是瞬子数 $k$、单极子数 $m$ 的分歧瞬子解的模空间。因此，这一定义正是对满足规范场边界条件 (5.6) 的情形下 Nekrasov 函数的自然推广。

关于基本表面算符，Alday 等人提出了如下猜想：

AGGTV 猜想 [12] 考虑由 Gaiotto 曲线上的一点 $z\in C$ 所指定的基本表面算符。它的真空期望值，等于在对应于所考察规范理论的 Liouville 理论相关函数中插入退化场 $\Phi_{2,1}(z)=e^{-b\phi(z)/2}$ 所得到的结果。

不过，当规范理论定义在 $\mathbb{R}^4$ 上时，这个插入应当放在手征共形块中。当规范理论定义在 $S^4$ 上时，则应当插入到物理相关函数中³。原来的相关函数在 $b\leftrightarrow 1/b$ 之下是不变的。至于应插入的退化场取为 $\Phi_{2,1}(z)=e^{-b\phi(z)/2}$ 还是 $\Phi_{1,2}(z)=e^{-\phi(z)/2b}$，则由表面算符是插入在时空 $\mathbb{R}^4\simeq \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ 的哪一个平面中来决定。

这一猜想已经从若干不同角度得到了检验。其中之一，是利用几何工程的方法（第 6 章）与 II 型闭弦理论的有效作用进行比较的研究 [44,45,46,47]。另外，作为数学上的检验，也有工作用局部化方法计算配分函数 (5.10)，并将其与共形块进行比较。

表面算符与环路算符

上面讨论的表面算符本身就是一个有趣的对象，但实际上它还是研究环路算符的有力工具。为了理解这一点，先来整理一下二维 $\mathcal{N}=(2,2)$ 理论中的线算符的性质 [12]。在这一理论中，half-BPS 线算符可以作为理论的边缘形变来构造。不过，这个边缘耦合常数设为在某个区间 $x^1\in[-L,L]$ 内随 $t(x^1)$ 变化。这样一来，在低能极限下，由于尺度趋于 $L\to 0$，便可以把耦合常数看成是在 $x^1=0$ 处发生了不连续跃迁。因此，这类线算符由耦合常数空间中的路径的同伦类来分类。

再来考虑表面算符上的线算符。由于表面算符会破缺规范群，所以可以对破缺后的 $U(1)$ 规范群因子考虑 Wilson-‘t Hooft 算符。于是，就可以让两类表面算符以这条线算符为分界而共存（图 26）。

在 UV 中，表面算符由 Gaiotto 曲线上的一点 $z\in C$ 来标记，因此其上的线算符便由 $C$ 上路径的同伦类来指定。这里我们只考虑只出现一种表面算符的情形，因此可以把注意力集中在由闭曲线分类的对象上。（在 IR 中，表面算符由 Seiberg-Witten 曲线 $\Sigma$ 上的一点来标记。因此从 IR 的观点来看，线算符由 Seiberg-Witten 曲线 $\Sigma$ 上闭曲线的同调类来分类。）⁴

融合与编织

基于以上讨论，我们来考察作用在表面算符上的线算符。这里的关键事实是，线算符由 $C$ 上的环路来指定。并且，这条闭曲线的起点与终点所对应的 $z\in C$，正是这条线算符所束缚的表面算符的标记。

回忆 AGGTV 对应，可以预期，这类线算符能够通过对表面算符的配分函数，也就是插入了退化场的共形块，施加单值绕行⁵操作而得到。因为共形场论的关联函数关于算符插入位置是单值函数，而共形块则是多值函数⁶。也就是说，沿着某条环路的单值绕行，自然可望给出与该环路对应的线算符。这个预期实际上是正确的，不过，为了理解这一点，先简单说明一下共形块中的融合与编织。

考虑球面上的四点函数，不过四个初级场中有一个取为退化场，这样的共形块满足超几何微分方程。Gauss 超几何函数在 $|z|<1$ 中可用级数表示为

它是具有确定奇点 $z=0,1,\infty$ 的二阶超几何微分方程

的一个解。当然，实际上这个微分方程还有另一个解，因此一组线性无关解为

这两者给出了 $z=0$ 附近解的基底。

超几何微分方程存在两个解，意味着插入 $\Phi_{2,1}(z)=V_{-b/2}(z)$ 的四点共形块有两种。这一点可以通过 初级场所满足的退化融合规则

来理解。这个性质表明，当插入 $\Phi_{2,1}$ 时，与退化场相邻的中间态动量只能取 $\alpha+b/2$ 或 $\alpha-b/2$ 这两个值⁷。也就是说，作为共形块，只可能有与这两个值对应的两种，这正对应于超几何微分方程的两个解。像 Liouville 场论这样的非有理型 CFT 中，初级场具有连续谱。因此，从某种意义上说，它并不是“有限理论”，算符代数中也不会这么简单。不过，一旦插入退化场，就能够像处理有理 CFT 的共形块那样来处理它。因此，下面将要看到的单值性的讨论就可以定义良好地进行。

现在我们讨论的这两个共形块的具体形式，与融合所产生的两个中间态 $\alpha\pm b/2$ 分别对应，它们可写成

这里，下标 $s$ 所表示的 $s$-道是指，在 $z$ 的值接近 $0$ 时取共形块的框架。关于 $\mathcal{F}^{s}_{\pm}$ 的导出细节，大多数教材里都有详细说明，这里就不再重复了。

现在，当把这个共形块越过收敛半径 $|z|<1$ 作解析延拓时，所发生的就是单值绕行现象。比如，来考虑把 $z$ 推近 $1$。在超几何微分方程 (5.12) 中，把 $z$ 替换成 $1-z$ 后⁸，本质上仍然得到同型的微分方程。因此，在 $z=1$ 附近收敛的级数基底为

对于 $z=\infty$ 附近的解，也可以完全类似地讨论。于是，我们来考虑把由基底 (5.13) 的线性组合所表示的微分方程 (5.12) 的某个解延拓到 $z=1$ 附近。由于那里自然的基底是 (5.15)，所以它将被改写成这些基底的线性组合：

在延拓到 $z=\infty$ 附近的解时，也会得到同样类型的公式。按照这些连接公式来进行解析延拓时，就会出现超几何函数的多值性，也就是单值绕行。因为若沿着不可缩环路对解作解析延拓，即使回到起点，解也不会回到原先的函数，而会受到单值绕行矩阵给出的线性变换。⁹

把这一点翻译成共形块的语言，就会知道，把 $s$-道的区块移到 $t$-道时，会通过融合矩阵 $F_{\pm\pm}$ 发生变换：

这个系数矩阵的具体形式，稍后再给出。所谓融合，就是把 $z$ 从 $0$ 附近移动到 $1$ 附近的操作，它对应于图 27 右侧的移动。再进一步，把 $z$ 从 $0$ 附近移动到 $\infty$，也就是 $u$-道的操作，则称为编织。通过反复施加融合与编织，就可以在球面上移动共形块中退化场的插入点 $z$。结果，共形块只会按沿着移动路径的同伦类所对应的单值绕行而发生单值变换。而这个单值绕行，正对应于规范理论中的线算符。¹⁰

在讨论线算符的 AGT 对应之前，我们再稍微继续一下共形场论这一侧的讨论。以上围绕 Riemann 面裤分解的操作，就是所谓的 Moore-Seiberg groupoid 变换。而且已知，这个变换也作用在一般的 Liouville 共形块上。生成 Moore-Seiberg groupoid 的，正是称为融合与编织的这些基本移动。下面把它们对共形块的作用整理如下。¹¹

• 融合移动

• 编织移动

这里，$\epsilon=\pm 1$ 表示编织的方向。这个扭转操作所给出的相位因子为

利用它，再定义如下的量：

一般而言，要求出这些 Liouville 融合系数，就必须解出由这些变换应满足的相容条件所导出的函数方程。对于 Liouville 理论，这项工作虽非不可能，但会变得非常繁复¹²。不过，正如在超几何函数连接公式一节中所讨论的那样，当所插入的一个场是退化场时，结果就可以很容易地求出。当 $\alpha_2=-b/2$ 时，融合矩阵的指标 $\alpha,\alpha’$ 只能取 $\pm$ 这两个值。于是，融合系数为¹³

它们可以很容易地从超几何函数的连接公式求得。

接着，用这些演算来生成线算符。为了简单起见，这里考察 $SU(2)$ $N_f=4$ SQCD 的例子。按照 AGGTV 对应，对于在这个规范理论中插入了表面算符的体系，对应到插入了退化场的共形块。图 28 左端画出了这个五点退化共形块，其中灰色的线表示 $\Phi_{2,1}(z)$ 的插入。于是，就从这个块出发计算基本 Wilson 环路。按照上一节介绍的 Drukker-Morrison-Okuda 的子典，与 Wilson 环路相对应的是绕 $A$-循环的单值绕行。因此，由图 28 所表示的操作可知，束缚在基本表面算符上的基本 Wilson 环路由

给出。同样地，若对 $B$-循环作同样的计算，则最小 ‘t Hooft 环路可以写成

的形式。

对于这个’t Hooft环路对应的公式或需要稍加解释。首先这个$\delta$是什么？注意到conformal block不仅和外腿的共形权有关实际上和内线也有关，虽然内线我们要对所有Young图求和，但是这只是相对于某个初级态对所有可能生成的次级态求和，至于内线对应的初级态共形权是多少还是要指定的（可以回过头看（2.44）的例子，那里的四点conformal block和$\Delta(\alpha)$有关，而这就是内线的conformal family的最高权。再注意到组合成四点关联函数的时候这些内线传播不同conformal family的block会和OPE因子组合后求和得到最终的关联函数，fusion rule告诉你OPE因子哪些不是0，等价于告诉你conformal block内线所有可能传播的conformal family）。而所有可能的在内线传播的conformal family就由fusion规则给出，而前面我们知道对于退化场的插入，fusion规则很简单，只会有两个conformal family在内线传播。但是如果退化场插入在一个内线中间，那原先的内线会变成两个内线。这就存在一个label的问题，这两段究竟哪一段叫$\alpha$，哪一段对应$\alpha\pm\frac b2$？这当然只是一个dummy index，所以你可以随便约定，这里我们在图上约定比较长的内线叫$\alpha$短一点的对应fusion后的$\alpha\pm\frac b2$。而$\delta$算符就是沿着内线移动退化算符，让长线变短短线边长，relabel内线。不过再次强调这只是个label的问题，所以$\delta$的插入只是为了方便我们bookkeeping，不会影响fusion和braiding矩阵的五边形和六边形（YBE）恒等式。

至于上式是如何具体推导出来的，我倾向于首先从物理上思考Wilson和’t Hooft operator之间是S对偶的联系，翻译到共形场论这边就是用fusion矩阵联系的两个conformal blocks。也就是下面的图：

上面我们看到了把左边fusion和braiding组合后转一圈对应wilson算符，那么‘t Hooft算符就是要把右边的图非平凡转一圈，而偷懒的做法就是先作用$F$变成左边的图，而左边的图转一圈我们是知道怎么转的，就是Wilson算符，那么左边转一圈之后预料到再作用$F^{-1}$变回到S对偶的观点就应该是右边的图的非平凡monodromy变换了，也就是说：

\[H=F^{-1}WF\iff WF=HF\]

而满足这个公式的具体移动恰恰可以按照(5.27)构造，也就是下面的图：

至于正确性就是直接用六边形和五边形恒等式证明下面的交换图：

注意到由于前面说了$\delta$不会影响五边形和六边形恒等式，所以我们压根没写出来（这其实就是张量范畴里面的结合律，很多时候就懒得写出来了）。

以上我们都是以退化场 $\Phi_{2,1}$ 来讨论单值绕行。不过，不仅限于这个退化场，也可以用更高等级的退化场 $\Phi_{2j+1,1}$ 来做类似的计算。那么，由这种方式算出的单值绕行，对应的究竟是什么呢？事实上，与 $\Phi_{2j+1,1}$ 有关的单值绕行，给出的正是 spin-$j$ 表示的环路算符。

线算符与 Verlinde 环路算符

我们一直在利用共形块的单值性来讨论表面算符上的线算符。由于线算符本身即使没有表面算符作为支撑也能够存在，因此我们也希望理解它单独存在时的情形。于是，这里就来建立仅有线算符时的 AGT 对应。

基本工具在前面的讨论中都已经备齐了。因此，我们已经能借助共形场论构造出表面算符上的线算符。这里的关键在于，找到一种消去不必要的表面算符的方法。其关键正是前面已经出现过的退化融合规则：

首先，在共形块中插入恒等算符 $V_0$。这一操作本身并不会改变共形块的值。然后，把这个 $V_0$ 看作两个退化场 $V_{2,1}$ 的 OPE 向恒等算符的投影。也就是说，把原来的共形块改写成多加了一个顶点的块（图 29）。到了这一步，求环路算符的算法就很容易想象了。也就是，将两个退化场中的一个沿着与环路算符对应的循环 $\gamma$ 移动。待它回到起点之后，再将这两个退化场融合，返回到单位算符。结果，共形块便会受到与该循环对应的单值性变换。这样一来，我们就可以定义附着在循环 $\gamma$ 上的、作用于共形块的算符：

这里，对偶框架 $\Gamma$ 指定了共形块所取的道，也就是表明我们是在怎样的弱耦合描述下考虑这个理论[^13]。如此定义的算符 $\mathcal{L}(\gamma)$，正是 Liouville 共形场论中环路算符的对应物，它被称为 Verlinde 环路算符，或者 量子环路算符。当然，这种单值性只依赖于循环 $\gamma$ 的同伦类。概括起来如下：

AGGTV-DGOT 猜想 [12, 49]
取规范理论的对偶框架为 $\Gamma$。在 Drukker-Morrison-Okuda 的字典下，考虑由循环 $\gamma$ 标记的环路算符。则它的期望值由对应于该规范理论的共形块 $\mathcal{F}[\Gamma]$ 上的单值绕行算符 \(\mathcal{L}(\gamma)\cdot \mathcal{F}[\Gamma], \tag{5.30}\)

给出。若考虑的不是 $\mathbb{R}^4$，而是 $S^4$ 上的相关函数，则

\[\langle L(\gamma)\rangle_{S^4} = \int d\mu(a)\,\overline{\mathcal{F}[\Gamma](a)}\,\bigl(\mathcal{L}(\gamma)\cdot \mathcal{F}[\Gamma](a)\bigr), \tag{5.31}\]

其中 $d\mu(a)$ 是包含 DOZZ 三点函数因子的积分测度。

这样一来，通过在承载共形场论的 Riemann 面上插入环路这一操作，单值性便得到了理解。于是，想必不少读者都会期待，环路算符是否也能用边界 CFT 的语言来描述。这个预期是切中要害的，实际上，Verlinde 环路算符也可以理解为拓扑缺陷算符。在利用 Verlinde 环路算符的方法中，必须知道融合矩阵与编织矩阵的具体形式，因此计算常常会变得繁杂。相比之下，借助拓扑缺陷算符可以使理解大为简化，所以在推广到 Toda 场论（$SU(N)$ 规范理论）也更有前景。进一步地，这一方法对于规范理论中的 Janus 壁和对偶壁那样的domain wall等的插入情况推广也很重要。关于这些问题，[50, 51] 中已有详细研究。

现在，我们来给基于 Verlinde 环路算符的方法赋予物理解释。实际上，AGGTV-DGOT 的算法可以理解为表面算符与（反）表面算符的湮灭。先考虑插入表面算符与反表面算符，并通过单值绕行操作生成束缚在表面算符一侧的环路算符。这正是前一节讨论过的配置。随后，再让它与反表面算符湮灭，从而把表面算符消去，结果便只剩下环路算符本身。这个过程恰好对应于两个退化场的融合。

• $SU(2)$ $N_f=4$ 规范理论

  作为热身，先从 $SU(2)$ $N_f=4$ 规范理论中的基本表示（$j=1/2$）的 Wilson 环路算符开始。与这个算符对应的循环，正是 Gaiotto 曲线（图 23）中的 $\gamma$。因此，为了用 Verlinde 算符来生成这个环路算符，只需对共形块施加图 30 所示的变形。这可以作为融合与编织的组合，按下式计算：¹⁴

  \[W_{1/2}\mathcal{F}(\alpha) = \bigl(F^{-1}\Omega^2F\bigr)_{++}\mathcal{F}(\alpha) = 2\cosh(2\pi bP)\,\mathcal{F}(\alpha). \tag{5.32}\]

  这里取 $\alpha=Q/2+iP$¹⁵。此处之所以只取单值绕行矩阵的 $++$ 分量，是因为在图 30 的起点与终点这两个共形块中，我们只考虑了由两个 $-b/2$ 融合产生的中间态 $-b/2\pm b/2$ 之中，动量为零的真空表示 $0$ 的情形。

  图 30 中所做的操作只依赖于局域的变形操作，因此无论考虑怎样的共形块都不会改变。于是，在其他 $SU(2)$ 规范理论中，Wilson 环路的计算结果也完全相同。进一步地，通过利用更高等级的退化场 $\Phi_{2j+1,1}$ 来施行 Verlinde 环路算符，还可以计算自旋 $j$ 表示的 Wilson 环路：

  \[W_j\mathcal{F}(\alpha) = \sum_{p=-j}^{j}\exp(4\pi p bP)\,\mathcal{F}(\alpha). \tag{5.33}\]

  这些结果与规范理论一侧的结果 (5.2) 相一致，从而为 Verlinde 环路算符与 Wilson-‘t Hooft 环路算符的对应提供了强有力的证据。

• $\mathcal{N}=2^*$ 规范理论

  最后，来计算一下 ‘t Hooft 环路算符。与 Wilson 环路算符不同，它的期望值会随着所考察的规范理论不同而显著改变。因此，这里为了简单起见，考虑 $\mathcal{N}=2^*$ 的 $SU(2)$ 规范理论。

  在 AGT 对应中，$\mathcal{N}=2^*$ 规范理论对应于一个带一点的环面。而该理论中的最小 ‘t Hooft 环路算符，可以通过图 31 那样的单值绕行算符来计算。因此，让这个环路算符作用在共形块（Nekrasov 函数）上，对应于 ‘t Hooft 环路算符的期望值便可写成¹⁶

  \[H_{1/2}\mathcal{F}(\alpha) = H_{+}(\alpha)\mathcal{F}\left(\alpha+\frac{1}{2}b\right) + H_{-}(\alpha)\mathcal{F}\left(\alpha-\frac{1}{2}b\right) \tag{5.34}\]

  在按照图 31 的方式变形共形块时，每经过一次退化场的融合过程，中间动量就会出现 $\alpha\leftrightarrow \alpha\pm b/2$ 的自由度。不过，为了计算环路算符，必须只取图 31 起点与终点的两个块中，由退化场对流出的动量为 $0$ 的那些区块。因此，对这种 ‘t Hooft 环路计算有贡献的部分，系数由下式给出

  \[\begin{aligned} H_{+}(\alpha) &= \mathcal{N}_{1/2} \left( F\left[ \begin{array}{cc} -\frac{b}{2} & -\frac{b}{2} \\ \alpha & \alpha \end{array} \right]^{-1} \right)_{++} \, B\left[ \begin{array}{cc} m & -\frac{b}{2} \\ \alpha & \alpha+\frac{b}{2} \end{array} \right]_{-+} \, F\left[ \begin{array}{cc} -\frac{b}{2} & -\frac{b}{2} \\ \alpha+\frac{b}{2} & \alpha+\frac{b}{2} \end{array} \right]_{-+}\\ &=\frac{ \Gamma(2ibP)\,\Gamma(1+b^{2}+2ibP) }{ \Gamma(2ibP+mb)\,\Gamma(1+b^{2}+2ibP-mb) } \end{aligned} \tag{5.35}\] \[\begin{aligned} H_{-}(\alpha) &= \mathcal{N}_{1/2} \left( F\left[ \begin{array}{cc} -\frac{b}{2} & -\frac{b}{2} \\ \alpha & \alpha \end{array} \right]^{-1} \right)_{+-} \, B\left[ \begin{array}{cc} m & -\frac{b}{2} \\ \alpha & \alpha-\frac{b}{2} \end{array} \right]_{+-} \, F\left[ \begin{array}{cc} -\frac{b}{2} & -\frac{b}{2} \\ \alpha-\frac{b}{2} & \alpha-\frac{b}{2} \end{array} \right]_{++}\\ &= \frac{ \Gamma(-2ibP)\,\Gamma(1+b^{2}-2ibP) }{ \Gamma(-2ibP+mb)\,\Gamma(1+b^{2}-2ibP-mb) } \end{aligned} \tag{5.36}\]

  这里关于环路算符归一化的问题（上式中的$\mathcal{N}_{1/2}$）就不展开讨论了，详情可参见原论文。像这样，借助 AGT 对应，通常难以计算的环路算符期望值就可以用共形场论的方法系统地给出。这是一个非常强大而又极具吸引力的猜想，直到今天仍然从诸多不同角度被持续研究。

  这里需要稍微说明一下，’t Hooft算符和Wilson算符的一个显著区别可以看到是多含了一个自变量shift的算符$e^{\pm\frac12 b\partial_a}$。最容易阐述这一点的方式就是一步步把图31对应的变换算符写出来：

  \[H_{1/2}=\left( F\left[ \begin{array}{cc} -\frac{b}{2} & -\frac{b}{2} \\ \alpha_\pm & \alpha_\pm \end{array} \right]^{-1} \right)_{+\mp} \, B\left[ \begin{array}{cc} m & -\frac{b}{2} \\ \alpha_\pm & \alpha \end{array} \right]_{\pm \mp} \, F\left[ \begin{array}{cc} -\frac{b}{2} & -\frac{b}{2} \\ \alpha & \alpha \end{array} \right]_{\pm+}\]

  首先三个矩阵，第一个和最后一个下标都是$+$没啥好说的，就是前面wilson算符那里的例子，最后要投影到中间传播态为$0$，所以选$++$分量。重点是剩下的下标我用了很怪的记号$\pm$和$\mp$，以及还会注意到矩阵的参数里面也有$\alpha_\pm$。这里的意思并不是说要对中间传播态求和，而是说有两种不同的情况，可以看到在图31，我们从$\mathcal{F}(\alpha)$出发最终得到的并不是$\mathcal{H}\cdot\mathcal{F}(\alpha)$而是$\mathcal{H}\cdot\mathcal{F}(\alpha’=\alpha_{\pm})$，也就是说我们最终得到的是$\mathcal{F}(\alpha_{\pm})$这两种情况的线性组合！但是我们真正想要的是$\mathcal{F}$的monodromy，所以我们应当从$\mathcal{F}(\alpha_{\mp})$出发来得到$\mathcal{F}(\alpha)$。比如(5.34)里面的第一项就是从$\mathcal{F}(\alpha_+)$出发，那么对应的我们上面的fusion和braid矩阵里面就要全部选下面的符号，这样最后得到的才是$\mathcal{F}(\alpha)$。同理也便能理解第二项。¹⁷

下面是后面脚注需要引用的长公式：