这是瀧雅人教授在2011年写的AGT猜想介绍的日文综述最后一节的翻译，主要是附录和参考文献。用markdown的一个劣势是比较难搞参考文献点击跳转，所以劳烦读者直接在本文中寻找文中所述参考文献。其它章节的翻译请见：

以下是本节目录：

7 总结与现状
- 致谢
附录
- A 若干算术
  - A.1 Young 图
  - A.2 Barnes 双 Gamma 函数与 DOZZ 三点函数
参考文献

7 总结与现状

本文试图尽可能初等地介绍 AGT 猜想。说明中或许会有一些不够妥当之处，也可能会暴露出作者自身理解不足的地方，不过仍希望这篇解说多少能对各位有所帮助。

截至目前，先撇开 AGT 对应的物理理解不谈，其数学侧面的理解已经有了相当大的进展。理解这一奇妙对应的一种方式，是认为在 Verma 模的基底选择上，存在一组比以往已知基底更“好”的基底 [65]。这里所谓“好”，是指如果把中间态用这组基底表示并进行计算，那么共形块就会以 Nekrasov 函数的形式给出。以往的共形场论方法，不可能把一般的共形块显式写下来。然而，如果正如 AGT 猜想所暗示的那样，共形块无非就是 Nekrasov 函数，那么它的计算理应存在某种组合论框架，而这正对应于前面所说的那组“好”基底。

这一途径之所以直到现在才被发现，与使 AGT 对应变得复杂的 $U(1)$ 因子密切相关。也就是说，Nekrasov 函数与共形块的等价性，是在连同 $U(1)$ 因子一起计入时才成立的。因此，只有把与 $U(1)$ 因子对应的自由场共形场论也一并纳入考虑，基于“好”基底的做法才会真正起作用。不过要注意，在这个自由场中计算出来的共形块，本身恰恰就是 $U(1)$ 因子。于是，AGT 关系所暗示的是，相比于原先所考虑的 Virasoro 代数，连同自由场所附带的 Heisenberg 代数一起扩张之后得到的 Verma 模，才是更自然的对象。实际上，据 V. Alba 等人的研究，人们预期这个扩张后的 Verma 模存在一组可由 Jack 多项式表示的基底，并猜想用这组基底计算得到的共形块将以 Nekrasov 函数的形式给出。

此外，数学家 Maulik 与 Okounkov 还报告说，瞬子模空间等变上同调上的 $W$ 代数作用，已经在几何表示论的框架中被构造出来 [66]。因此，可以期待今后从数学方向对 AGT 猜想的理解会有飞跃性的进展。

另一方面，基于矩阵模型的途径，也正变得越来越重要。对于自对偶的 $\Omega$-背景，也就是 $\beta=1$ 的情形，$\beta$-系综无非就是通常的矩阵模型。因此，可以利用建立在特征标展开等群论技巧之上的矩阵模型方法，以 Dijkgraaf-Vafa 矩阵模型为中介来证明 AGT 猜想 [67,68]。不过遗憾的是，这个想法只在 $\beta=1$ 时才能顺利发挥作用，而推广到一般的 $\Omega$-背景时会遇到本质性的困难。

尽管如此， $\beta$-系综本身也是一个具有非常优良性质的理论，因此人们期待它会成为理解 AGT 猜想的一条良好路径。Eynard 与 Orantin 的深入研究表明，通常矩阵模型的自由能可以理解为谱曲线的一类辛不变量 [69]。而把我们关心的$\beta\neq 1$ 的 $\Omega$-背景打开，则可以理解为对谱曲线做非交换化 [70]。更有意思的是，量子化谱曲线的出现并不只限于 $\beta$-系综。Nekrasov 与 Shatashvili 已经阐明，Nekrasov 自由能与可积系统的量子化有着深刻关系 [71]。在这一方案中，以 Seiberg-Witten 曲线为 Schrödinger 算子的波函数给出 Nekrasov 自由能，而扮演 Planck 常数角色的正是 $\Omega$-背景本身。由此可见，$\Omega$-背景与 “Seiberg-Witten 可积系统” 的量子化有着深刻联系 [72,39]，人们期待在其中隐藏着理解 AGT 关系的重要线索。

此外，还有许多与 AGT 猜想密切相关、但本文未能展开的话题，例如可积系统的量子化与共形场论，$S$-对偶与几何 Langlands 猜想，wall-crossing 现象与 Hitchin 系统等等。可以期待，今后这些领域会展现出更加紧密的联系，并获得飞跃性的发展。因此，关于这些主题，我们就在此等待未来的进展，而把系统性的综述留给相关领域的专家来完成。

致谢

一直以来，我从许多人的讨论与合作研究中学到了很多，也有不少人审阅了本文初稿，并提出了宝贵意见。若说本文尚有任何可取之处，我想其中很大一部分都应归功于他们。虽然无法在这里一一列出所有人的名字，但我仍想再次表达由衷的感谢。

附录

A 若干算术

A.1 Young 图

Young 图，就是非负整数的递减列：

\[Y=[Y_1,Y_2,\cdots,Y_d] = \{Y_i\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\mid Y_1\geq Y_2\geq \cdots \geq Y_d\}. \tag{A.1}\]

图34：Young 图 $Y$ 与其转置 $Y^T$。

它也可以表示成图 34 那样的阶梯形图形。Young 图 $Y$ 的转置定义为

\[Y^T=\{Y^T_j\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\mid Y^T_j=\#\{i\mid Y_i\geq j\}\}.\]

像图 34 那样把转置操作画出来，就可以理解这实际上确实表示 Young 图形的转置。此外，我们把 Young 图中所含方块的总数记作 $

$：

\[|Y|=\sum_{i=1}^{d(Y)}Y_i.\]

对于每个方块 $s=(i,j)$，定义 Young 图的臂长（arm length）与脚长（leg length）为

\[a_Y(s)=Y_i-j,\qquad \ell_Y(s)=(Y^T)_j-i.\]

图35：Young 图与臂长、脚长。

把这两个量图示出来，就得到图 35。由此定义，对于不属于 Young 图形的一般坐标 $(i,j)$，如何定义臂长与脚长也是显然的。这类记号会用在 Nekrasov 配分函数的表达式中。

A.2 Barnes 双 Gamma 函数与 DOZZ 三点函数

Barnes 双重 $\zeta$ 函数定义为

\[\zeta_2(s;x|\epsilon_1,\epsilon_2) := \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{dt}{t} \frac{t^s e^{-tx}}{(1-e^{-\epsilon_1 t})(1-e^{-\epsilon_2 t})} = \sum_{m,n=0}^\infty (x+m\epsilon_1+n\epsilon_2)^{-s}. \tag{A.2}\]

从最后一行就能看出，“双重 $\zeta$”这一名称的意义是很明显的。利用此式引入 Barnes 双 Gamma 函数（Barnes double Gamma function）[73]：

\[\Gamma_2(x|\epsilon_1,\epsilon_2) := \exp\left( \left.\frac{d}{ds}\zeta_2(s;x|\epsilon_1,\epsilon_2)\right|_{s=0} \right). \tag{A.3}\]

这实际上是在用 $\zeta$ 函数正则化来定义无穷乘积

\[\prod (x+m\epsilon_1+n\epsilon_2)^{-1}\]

这个函数有许多有趣的性质，不过对我们的目的而言，最重要的是下面的公式：

\[\Gamma_2(x+\epsilon_1)\Gamma_2(x+\epsilon_2) = x\Gamma_2(x)\Gamma_2(x+\epsilon_1+\epsilon_2). \tag{A.4}\]

这个函数的对数 $\log \Gamma_2$，与 Nekrasov 配分函数研究中出现的 $\gamma_{\epsilon_1,\epsilon_2}(x;\Lambda)$ 是同一个对象 [23]。不过在 $\gamma_{\epsilon_1,\epsilon_2}$ 中，由于缩放的缘故，还把对 $\Lambda$ 的依赖也一并包含进去了。因此，关于这个函数的性质及其应用的详情，可以参见关于瞬子计数的优秀文献 [23] 等。

考虑它在 Liouville 理论中的应用，取如下特化：

\[\Gamma_b(x):=\Gamma_2(x|b,b^{-1}).\]

这个双 Gamma 函数是在

\[x=-mb-nb^{-1}\qquad (m,n\in \mathbb{N})\]

处有极点的亚纯函数（meromorphic function）。在弦理论中，经常会遇到这个函数。尤其是在矩阵模型的缩放极限，以及对conifold奇性的分析中，都会出现它。此外，在二维标量 QED 中 Schwinger 的振幅计算里，出现的也正是这个因子。在大 $N$ 对偶的研究中，Gopakumar 与 Vafa 通过利用 Schwinger 的结果，把conifold的 $A$-model 配分函数写成了由 $\Gamma_b(x)$ 给出的形式。对这些话题感兴趣的读者可参见 [74]。

接着，用这个函数 $\Gamma_b(x)$ 来定义 $\Upsilon$ 函数：

\[\Upsilon_b(x):=\frac{1}{\Gamma_b(x)\Gamma_b(Q-x)}. \tag{A.5}\]

这里的 $Q$ 是 AGT 猜想中出现的$Q=b+1/b$。虽然本文中不会用到，不过这个 $\Upsilon$ 函数还可以写成

\[\log \Upsilon_b(x) = \int_0^\infty \frac{dt}{t} \left[ e^{-t}\left(\frac{Q}{2}-x\right)^2 - \frac{\sinh^2\left((Q/2-x)t/2\right)}{\sinh(bt/2)\sinh(t/2b)} \right] \qquad \text{for } 0<\operatorname{Re}(x)<Q. \tag{A.6}\]

对于 $\Upsilon$ 函数，有如下性质成立：

\[\Upsilon_b(x)=\Upsilon_{b^{-1}}(x), \tag{A.7}\] \[\Upsilon_b(x)=\Upsilon_b(Q-x), \tag{A.8}\] \[\Upsilon_b(x+b)=\gamma(bx)b^{1-2bx}\Upsilon_b(x). \tag{A.9}\]

这里小 gamma 函数定义为$\gamma(x):=\Gamma(x)/\Gamma(1-x)$，而最后一个性质可由

\[\Gamma_b(x+b)=\frac{\sqrt{2\pi}\,b^{bx-1/2}}{\Gamma(bx)}\Gamma_b(x) \tag{A.10}\]

推出。

渐近行为

\[\Upsilon_b(x)\sim x^2\log x+\frac{3}{2}x^2\pm i\pi x^2+Qx\log x+\mathcal{O}(x) \qquad \text{as}\quad\operatorname{Im}(x)\to \pm\infty. \tag{A.11}\]

这个渐近行为（准确地说是 $\log \Gamma_b$ 的渐近行为）¹描述了拓扑弦理论在conifold奇性附近的行为。因此，这个展开会在弦理论的许多场合中出现²。

解析性

$\Upsilon$ 是关于 $x$ 的整函数³（entire function），其零点位于

\[x=Q+mb+nb^{-1},\qquad -mb-nb^{-1} \qquad m,n\in \mathbb{N}, \tag{A.12}\]

在边界 Liouville 理论等问题中，双正弦函数

\[S_b(x):=\frac{\Gamma_b(x)}{\Gamma_b(Q-x)} \tag{A.13}\]

也很重要，不过这里不再详述。感兴趣的读者可参见 [75,76]。

至此，数学准备就齐全了，于是我们终于可以写下由 Dorn、Otto、Zamolodchikov 和 Zamolodchikov 所发现的 Liouville 三点函数：

DOZZ 三点函数

\[C_{\mathrm{DOZZ}}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = \left[ \pi\mu\,\gamma(b^2)\,b^{2-2b^2} \right]^{\frac{Q-\sum_i \alpha_i}{b}} \times \frac{ \Upsilon_0\,\Upsilon_b(2\alpha_1)\Upsilon_b(2\alpha_2)\Upsilon_b(2\alpha_3) }{ \Upsilon_b(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-Q) \Upsilon_b(\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3) \Upsilon_b(\alpha_2+\alpha_3-\alpha_1) \Upsilon_b(\alpha_3+\alpha_1-\alpha_2) }. \tag{A.14}\]

这里引入了

\[\Upsilon_0:=\left.\frac{d\Upsilon_b(x)}{dx}\right|_{x=0}. \tag{A.15}\]

参考文献

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[66] D. Maulik and A. Okounkov, to appear?

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[73] E.W. Barnes, Phil. Trans. Roy. Soc. A196, 265 (1901).

[74] 菅野浩明, “位相的弦理論の分配関数と数え上げ,” 2006 年度原子核三者若手夏の学校講義録, 素粒子論研究, 115(5), 209 (2007).

[75] B. Ponsot, Int. J. Mod. Phys. A 19S2, 311 (2004) [arXiv:hep-th/0301193].

[76] 黒川信重, 小川信也, “多重三角関数論講義,” 日本評論社 (2010).

不知道这里作者是何意味，因为上面式子的左边就应该是$\log\Gamma_b$，他这里先写成$\Upsilon_b$再加了这句话（括号里面的话是原文就有的）说明正确的是$\log\Gamma_b$。 ↩
它还通过 $N=1$ 规范理论的几何工程（geometric engineering）与规范理论中的有效胶球超势有关。实际上，这个展开的首项正是著名的 Veneziano-Yankielowicz 超势 $W_{VY}=NS\log S$ 在弦理论中的实现本身。 ↩
一般说全纯函数我们是说在某个开集上全纯，这里所谓整函数就是在整个复平面 $\mathbb{C}$ 上全纯的函数。 ↩

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