这是瀧雅人教授在2011年写的AGT猜想介绍的日文综述第四节的翻译，其它章节的翻译请见：

AGT猜想及其发展——第七回 总结、附录与参考文献

AGT猜想及其发展——第六回 此后的发展

AGT猜想及其发展——第五回 AGT猜想中的非局域算符

AGT猜想及其发展——第四回 Alday-Gaiotto-Tachikawa猜想

AGT猜想及其发展——第三回 $\mathcal{N}=2$ 四维超对称规范理论与瞬子配分函数

AGT猜想及其发展——第二回 二维共形场论与共形块

AGT猜想及其发展——第一回 引言

以下是本节目录：

• 4 Alday-Gaiotto-Tachikawa 猜想
  • 4.1 面向四维 $\mathcal{N}=2$ 规范理论的 Gaiotto Program[^27]
    • 共形规范理论与 M 理论提升
    • 带4-穿孔的球面 $C_{4,0}$
    • 弱耦合与胖次分解
    • 质量形变
    • 质量、味对称性与穿孔
  • 4.2 AGT 猜想
    • $SU(2)$ $N_f=4$ 超共形规范理论：$\mathcal{T}_{4,0}[A_1]$
    • $SU(2)$ 线性 quiver 规范理论：$\mathcal{T}_{n+3,0}[A_1]$
    • $SU(2)$ $\mathcal{N}=2^*$ 理论：$\mathcal{T}_{1,1}[A_1]$
    • Liouville 关联函数与 $S^4$ 上的配分函数
    • 能量动量张量与量子 Seiberg-Witten 微分
  • 4.3 $SU(N)$ 规范理论与 Wyllard 猜想
  • 4.4 若干变种：Gaiotto 猜想

4 Alday-Gaiotto-Tachikawa 猜想

现在终于进入本文的主题，即 AGT 猜想。这个猜想的背景，是 Gaiotto 所发现的关于 $\mathcal{N}=2$ 对偶性的理论。关于这一点将在第 4.1 节中说明，不过这部分内容与本文主线相对独立。因此，赶时间的读者即使跳过第 4.1 节，也不会影响对后文的理解。本章其余部分将基于具体计算来说明 AGT 猜想。

4.1 面向四维 $\mathcal{N}=2$ 规范理论的 Gaiotto Program¹

追溯到十多年前，Witten 已给出了在 M 理论框架中分析四维 $\mathcal{N}=2$ 规范理论的方法 [27]。而在随后的研究中，人们进一步认识到，M 理论为理解规范理论的非微扰行为提供了强有力的手段。到了最近，Gaiotto 又把这一思路大大推进了 [28]。他的工作表明，非常广泛的一类四维 $\mathcal{N}=2$ 超对称规范理论及其 $S$ 对偶，都可以借助 M5 膜的紧化框架而得到极为清晰的理解。在 [28] 中，作为膜紧化内部空间的对象，出现了带标点的 Riemann 面。因此，Gaiotto 理论的一个重要启示就是，$\mathcal{N}=2$ 超对称规范理论的分类，与带标点 Riemann 面的集合之间存在深刻关系 [27, 28, 29]。

下面依照文献 [29]，具体来看这一膜构型。出发点是规范理论中的 Witten 构造。考虑图 9 那样的 D4-NS5 系统²。设有 $n+1$ 张彼此平行的 NS5 膜，沿 $x^{0,1,2,3,4,5}$ 方向延展，并在 $x^6$ 方向上彼此分离。再设在这些 NS5 膜之间有 D4 膜伸展。D4 膜的世界体积位于 $x^{0,1,2,3,6}$ 方向，并且如图所示，在 $x^6$ 方向上要么张成有限区间，要么向一侧半无限延伸。于是，众所周知，被两张 NS5 膜夹在中间的 $k$ 张重合 D4 膜，其世界体积上会产生 $U(k)$ 规范群。而 D4 膜在 $x^6$ 方向上的长度则给出规范耦合常数：

由此可以看出，对于由半无限延伸 D4 膜所产生的对称性，规范耦合常数会消失。因此，这种无限长膜所产生的对称性是整体味对称性。而且，按味对称性的秩，会出现相应数目的亢多重态。把这样读出的规范群与味对称性用圆点和方框表示出来，就得到图 9 下方所谓的 quiver 图。图中为了简单起见，只画出了规范群有两个的例子。对于我们正在讨论的这类 NS5-D4 系，写下 quiver 图的一般规则已经很清楚了。

实际上，quiver 图中包含的信息不止是理论的对称性。因为连接两个对称性节点，圆点或者方框的线段，表示的是在这两个对称性下都带荷的亢多重态。例如，连接两个圆点的一条线段就表示存在一个按双基本表示变换的亢多重态。又如，连接圆点和方框的线段，则描述有若干基本表示物质场存在，并且它们在味对称性下变换。这些物质场的出现，也很容易从膜构型上理解。因为当两组 D4 膜被同一张 NS5 膜隔开时，在左右两组 D4 膜之间会有开放弦伸展，而相应的手征场就来自这些开放弦。由弦端点上的 Chan-Paton 因子，立刻可以看出它们确实按规范群的双基本表示变换。而由弦的自由度，又可知 $\mathcal{N}=1$ 手征多重态是以矢量型成对出现的。也就是说，真正产生的是 $\mathcal{N}=2$ 亢多重态。³

由以上讨论可知，由膜构型得到的规范理论信息，可以整理成 quiver 图。quiver 所描述的是矢量多重态与亢多重态的名目。再考虑到这里的 NS5-D4 系本身具有 $\mathcal{N}=2$ 超对称性，一旦物质名目确定下来，规范理论的拉格朗日量也就随之确定了。也就是说，quiver 图唯一地指定了一个 $\mathcal{N}=2$ 理论。例如，图 9 所表示的就是一个 $\mathcal{N}=2$ 的 $U(2)\times U(3)$ 规范理论。该理论中包含的亢多重态分别为一个 $(2,3)$ 表示、两个 $(2,1)$ 表示，以及一个 $(1,3)$ 表示。其拉格朗日量也可以很容易写出。

共形规范理论与 M 理论提升

下面我们考虑由这种方式构造出的规范理论中，那些对所有规范群其 beta 函数都为零的模型。这类理论称为共形 quiver 理论。于是我们来推导使所有 beta 函数都为零的条件。对于规范群 $U(N_a)$，它的 beta 函数分别会得到来自 $N_a$ 个矢量多重态以及 $N_{a-1}+N_{a+1}$ 个亢多重态的贡献。因此，第 $a$ 个规范群 $U(N_a)$ 的 beta 函数满足

由这个关系式可知，要得到共形 quiver 理论，只需取⁴

也就是说，我们要考虑的情形，是在每一个区间里 D4 膜数都相同的 NS5-D4 系统。

接着把前面讨论的 IIA 理论中的膜构型提升到 M 理论。先引入全纯变量

并进一步定义由圆柱坐标 $s$ 到$t=e^{-s}\in \mathbb{C}^\times$的坐标变换。令 $s$ 张成的圆柱（其等价地看成带标点球面的那个像）记为 $C$。众所周知，D4 膜在 M 理论中会提升为绕 M 理论方向$x^{10}\sim x^{10}+2\pi$缠绕的 M5 膜。因此，我们考虑的系统就提升为 $N$ 张重合的 M5 膜缠绕在圆柱 $C$ 上的构型。不过有 $n$ 个点 $t=t_\alpha$ 是特殊的，在这些点处插入了沿 $v$ 方向张成世界体积的 M5 膜，它们对应的正是 NS5 膜。把这一构型画出来，就是图 11 左边所示的样子。这个构型可以视为 M5 膜缠绕在如下曲线

之上。

已知在 $N$ 张重合 M5 膜的世界体积上，低能下会实现六维 $A_{N-1}$ 型 $\mathcal{N}=(2,0)$ 超共形理论。因此，前面讨论的膜构型也可以用六维理论的语言来重新表述：将 $\mathcal{N}=(2,0)$ 理论紧化在曲线 $C$ 上，并在各个点 $t=t_\alpha$ 处插入缺陷算符，就能构造出四维 $\mathcal{N}=2$ 超对称共形（规范）理论⁵。Gaiotto 的一项重要（重新）发现是，这种构造并不限于上面那种圆柱型的 $C$，而是对一般的带标点 Riemann 面 $C_{n,g}$ 同样适用。这里无法完整介绍他的全部论证，不过下面至少简要说明它与 Seiberg-Witten 理论之间的联系。

到目前为止我们所讨论的那些式子，都是理论实现为共形场论时的情形。也就是说，那对应于理论中不存在尺度，因而所有moduli都消失的情况，即 $\langle \mathrm{tr}\,\Phi^i\rangle = 0$。现在我们把这些moduli打开，并考虑走到库仑支上的一般点。这样一来，由这一变形，原先构型 (4.4) 中存在的奇性就被解除了，而各张 M5 膜会融合成一张缠绕如下正则曲线的膜：⁶

理论的 IR 参数 $\langle \mathrm{tr}\,\Phi^i\rangle$ 的信息，被整理进新加入的多项式 $\sum p_i(t)\,v^{N-i}$ 的系数中。关于这条曲线的渐近行为，还要施加若干条件。因为在膜系的两端有 $N_{0,n+1}$ 张 D4 膜向外延伸，所以对于构型 (4.5) 来说，在 $t\to 0,\infty$ 时，它作为关于 $v$ 的方程必须具有 $N_{0,n+1}$ 个根。

从图 11 右端的球面上可以看出，出现了两种类型的穿孔。简单穿孔用 • 表示，完全穿孔用 ◎ 表示⁷。对于更广泛的 $N=2$ 理论，还可能出现更多类型的穿孔 [28]，这里就不再讨论了。

把变量作变换 $v=tx$。于是得到的 Seiberg-Witten 曲线的 Gaiotto 标准形为

其中，$\phi_i(t)(dt)^i$ 是 Riemann 面 $C$ 上的 $i$ 次微分。在 Gaiotto 的表示中，Seiberg-Witten 微分取为 $\lambda = x\,dt$ ⁸的形式。因此，由以上考察可知，可以由 M 理论得到 Seiberg-Witten 解 [2] 的数据，从而确定规范理论的低能有效理论。为了理解这一表述的意义，我们来看一个具体例子 $C_{4,0}$。

带4-穿孔的球面 $C_{4,0}$

在引入质量形变之前的理论中，把 $N$ 张 M5 膜缠绕在 4-穿孔球面 $C_{4,0}$ 上的构型可写为

先作变量变换 $v=tx$，则有

这里对 $t$ 也作了适当的 rescale。这个 $q=e^{i\pi\tau}$ 给出 UV 的规范耦合常数

这是因为 D4 膜的长度 $\Delta x^6$ 给出了 $1/g_{YM}^2$，而其在提升到 M 理论后对应的参数

正是全纯耦合常数 $e^{i\pi\tau}$。再看式 (4.6) 中出现的 $i$ 次微分 $\phi_i(t)\,dt^i$，它在 $t=1,q$ 处有单极点，在 $t=0,\infty$ 处有至多 $i-1$ 阶极点。这两类穿孔正对应于图 11 中的 • 与 ◎。特别地，当只考虑 $N=2$ 张 D4 膜时，只有 $\phi_2$ 会出现。此时 • 与 ◎ 都只对应于单极点，因此理论中只会出现一种穿孔。乍看之下这似乎是显然的，但在讨论 Gaiotto 对偶性与 AGT 猜想时，$SU(2)$ 规范理论之所以格外简单，正与这一事实密切相关，这是一个非常重要的性质。因此，下面我们专门讨论这一情形。

通过适当的分式线性变换 $SL(2,\mathbb{C})$

可以把 $\phi_2$ 的四个单极点移到一般位置 $z=z_{1,2,3,4}$。于是，原先曲线中的模 $q$ 就可以写成 $z_{1,2,3,4}$ 的交比。换言之，Gaiotto 表示可以表述为 $C=C_{4,0}$ 的余切丛 $T^*C$ 中的曲线⁹

并且，$C$ 的 $SL(2,\mathbb{C})$ 不变的moduli就是 $q$。

这一表述可以原封不动推广到其他 Riemann 面。例如，对于带有 $n+3$ 个穿孔的球面 $C_{n+3,0}$，曲线可通过

作为余切丛 $T^*C$ 中的曲线写出。于是，自然会问，在这些 Seiberg-Witten 曲线的 Gaiotto 表示中出现的底空间 $C$ 究竟意味着什么。实际上，UV 边缘（marginal）耦合常数 $q$ 所张成的空间，正是 $C_{4,0}$ 的 Teichmüller 空间 $\mathcal{M}_{4,0}$。也就是说，Gaiotto 曲线 $C$ 给出 UV 参数，而 Seiberg-Witten 曲线 $\Sigma \subset T^*C$ 给出 IR 参数。

利用式 (4.10)，还可以讨论 Seiberg-Witten 微分 $\lambda = x\,dz$ 在穿孔处的行为。在穿孔附近 $z=z_i+\epsilon$ 时，有 $x\sim \epsilon^{-1/2}$。因此，若取局部坐标 $w^2=\epsilon$，则在穿孔附近$\lambda \sim dw$。也就是说，虽然二次微分存在极点，但 Seiberg-Witten 微分在穿孔位置本身仍然是光滑的。这个性质在加入质量形变之后会发生改变。¹⁰

弱耦合与胖次分解

对于 $C_{4,0}$，很容易看出弱耦合极限 $\tau\to i\infty$ 对应于 $q\to 0$。对 $C_{n+3,0}$ 理论，这一点也完全一样。由于耦合常数原本对应于 NS5 膜之间的距离，因此在 quiver 情形下有

所以，$g_{\alpha}\to 0$ 意味着极限

在 D 膜语言中，这就是 NS5 膜彼此无穷远分离的极限。而在 Riemann 面 $C_{n+3,0}$ 的语言中，这表示裤分解里出现的管子被拉得无限长，或者等价地说，管子收缩为无限细，从而曲面退化成图。

当理论处于完全弱耦合区时，满足

因此，很容易证明下面的式子

这些关系稍后会用到。

质量形变

下面引入质量形变。在未加入质量形变时，$\phi_i$ 的极点全都是一阶，或者至多是 $i-1$ 阶。另一方面，Seiberg-Witten 微分在穿孔处并没有极点。现在，我们对 $C_{n+3,0}$ 的 M 理论曲线引入如下变形：

这里为了简便起见，我们只考虑两张 M5 膜的情形。新出现的参数来自 $n+1$ 次多项式 $M_{n+1}$ 的 $n+2$ 个系数，以及 $U_{n+1}$ 的 $n+1$ 次项与零次项的系数，总共 $n+4$ 个，它们对应于理论的质量参数。不过，由于变量 $v$ 具有平移自由度，真正物理上独立的参数只有 $n+3$ 个。利用这一平移自由度，可以把曲线方程中的 $v$ 一次项消去：

现在固定的这个 $v$ 平移自由度，对应于理论中对角 $U(1)$ 规范群的自由度。这一点可以从 $v$ 方向的平移正是重合 M5 膜整体重心平移的自由度这一事实看出来。也就是说，我们实际上已经把理论中的 $U(1)$ 部分解耦了。总之，缠绕在 $C_{n+3,0}$ 上的两张 M5 膜所给出的 Seiberg-Witten 曲线就是

这正是对式 (4.15) 再施加坐标变换 $v=tx$ 和 $SL(2,\mathbb{C})$ 变换后所得到的形式。需要注意的是，引入质量形变以后，$\phi_2(z)(dz)^2$ 出现了二阶极点。因此，Seiberg-Witten 微分$\lambda = \sqrt{\phi_2(z)}\,dz$在穿孔位置将具有单极点。正如下面将看到的，那里的留数，也就是 $\phi_2(z)(dz)^2$ 的二阶极点系数，正对应于亢多重态的质量参数。

为了理解这样引入的参数确实会赋予质量，我们再回到 $C_{4,0}$ 这一具体例子。由 M 理论得到的曲线 (4.7)，在质量变形之后变为 \(v^N (t-1)(t-q) = M_2(t)v^{N-1} + \sum_{i=2}^{N} U_2^{(i)}(t)\,v^{N-i}, \tag{4.17}\) 这里我们考虑 $N$ 张 M5 膜的情形。$M_2$ 与各个 $U_2^{(i)}$ 都是关于 $t$ 的二次多项式。新引入参数的个数统计，和前面的例子完全一样。下面我们来理解，这些参数正是质量参数。

为此，我们先回到 D4-NS5 膜系统来思考。如图 12 所示，若沿 $v$ 方向把各张 D4 膜拉开，则张在 D4 膜之间的弦会被拉长，其张力便会贡献能量。因此，D4 膜之间的间隔就会产生相应的质量。记左右两侧半无限延伸的第 $i$ 张 D4 膜的位置分别为 $v_i^{(0,\infty)}$，并把它们各自的重心记为 $v_{\mathrm{CM}}^{(0,\infty)}$。同时，把张在两张 NS5 膜之间的 D4 膜的重心位置记为 $v_{\mathrm{CM}}^{(1)}$。于是，如图 12 中波浪线所示，从左边第 $i$ 张膜伸出的弦的质量可写为

右边同理，有

由以上讨论可知，亢多重态的 $2N$ 个质量可以分成四组，分别是 $v_i^{(0)}$ 之间的差、$v_{\mathrm{CM}}^{(1)}-v_{\mathrm{CM}}^{(0)}$、$v_{\mathrm{CM}}^{(1)}-v_{\mathrm{CM}}^{(\infty)}$，以及 $v_i^{(\infty)}$ 之间的差¹¹。现在固定看一张 NS5 膜。它左右两侧 D4 膜重心的差$v_{\mathrm{CM}}^{(\alpha)} - v_{\mathrm{CM}}^{(\alpha+1)}$给出质量，这称为 $U(1)$ 质量 $m_{1,2}$¹²。另一方面，在膜构型两端的区域中，半无限 D4 膜彼此之间的间距给出质量，称之为 $SU(N)$ 质量 $\tilde m_i^{(0,\infty)}$。那么这些质量究竟意味着什么呢。把这一构型提升到 M 理论之后，可以看出，$U(1)$ 质量对应于 $t=1,q$，而 $SU(N)$ 质量对应于 $t=0,\infty$。因此，Gaiotto 曲线中的 • 伴随着 $U(1)$，◎ 伴随着 $SU(N)$。

实际上，这里的 $U(1)$ 与 $SU(N)$，在规范理论中正是引入质量时所用到的味对称性。若理论具有味对称性 $U(N_f)$，我们可以把这一对称性暂时看成仿佛是规范对称性一样。于是借助一个“虚拟”的 Higgs 机制，就可以给亢多重态 $Q_I$ 引入质量项

由其构造立刻可知，只要

这个质量项就保持 $\mathcal{N}=2$ 超对称性。

在引入质量变形之前，Seiberg-Witten 微分 $\lambda$ 即使在穿孔位置也没有极点。然而在变形之后，它就会具有简单极点，而且它的留数由理论质量参数的某个仿射线性组合给出。下面我们来直接说明，质量的确与这些留数相联系。再次回到式 (4.5)。若把它看成关于 $t$ 的多项式方程，那么可改写成

把它与式 (4.5) 对照，就得到

这里我们定义

由此立刻可知，

在这些准备之下，我们来计算留数。先从完全穿孔讨论起，这里以 $x^6\to 0$ 的情形为例。此时对应于 $t\to\infty$，因此在这一区域内，曲线 $F(t,v)=0$ 的渐近行为由

这一部分决定。也就是说，$q_0(v)$ 的 $N$ 个根给出了 $x^6\to 0$ 时膜构型的渐近位置，也就是图 13 左端的情形。因此，这 $N$ 个根 $v_i^{(0)}$ 就表示 M5 膜 $N$ 个 sheet 的渐近位置。于是，在每个 sheet 上，微分$\lambda = v\,\frac{dt}{t}$的留数为

所以这些量本质上正是 $SU(N)$ 质量 $\tilde m_i^{(0)}$¹³。严格说来，还需要把重心的 $U(1)$ 自由度¹⁴去掉，关于这一点我们下一节再算。

接下来计算 $t=t_\alpha$ 处的留数。由式 (4.5) 可知，当 $t\sim t_\alpha$ 时，

因此，各个 sheet 上的行为是

其中我们定义了记号

于是这些留数就由下式给出

这正对应于 $U(1)$ 质量 $m_i$。为了更清楚地看出这一点，我们在弱耦合极限下估计这一数值。比较式 (4.5)、(4.18)、(4.19)，立刻可得

而在弱耦合区

时，有

因此根据不等式 (4.12) 与 (4.13)，在 $p_1(t_\alpha)$ 的各项中，主导贡献只有

这两项。也就是说，

另一方面，在弱耦合极限下，根据前述不等式还有

所以最终留数 (4.24) 就是

其中 $\mu_\alpha$ 给出第 $\alpha$ 组 D4 膜的重心，因此这正是 $U(1)$ 质量。要理解这一点，只需注意到，在弱耦合极限下，第 $\alpha$ 组 D4 膜附近的区域

内，满足

因此，在这一区域内曲线的行为只由

这一项决定。若写成

则 $v_i^{(\alpha)}$ 给出该膜束各个 sheet 的位置，而

就是它们的重心。把上述结果画在 $C_{4,0}$ 上缠绕两张 M5 膜的例子里，就得到图 13。

由此可以看出，前面讨论的 Gaiotto 表示的性质，对于一般的 $N$ 和一般的 $C$ 也都成立。也就是说，对 $SU(N)$ quiver 理论来说，Seiberg-Witten 曲线可写成余切丛 $T^*C$ 中的曲线

正如下一节会看到的，曲线的亏格和穿孔的类型决定了理论的类别，而 Seiberg-Witten 微分 $\lambda$ 的留数则描述了质量以及与之相应的味对称性。

质量、味对称性与穿孔

最后我们把重心自由度去掉，把留数与味对称性的关系彻底说清楚。去除重心 $U(1)$ 自由度，只需从曲线 (4.5) 中消去 $v^{N-1}$ 项。也就是说，把变量作一个单值函数的平移

随之，Seiberg-Witten 微分也变成

因此质量留数也会整体平移。回忆一下，$\lambda$ 给出 BPS 粒子的中心荷，因此这一平移不过是用规范电荷对粒子的味电荷重新作了一次定义而已。¹⁵

先来看完全穿孔 ◎ 附近 Seiberg-Witten 微分 $\lambda$ 的留数。这里取 $t=\infty$。利用式 (4.25) 可知，平移项

的留数等于¹⁶

因此，新的 Seiberg-Witten 微分 $\lambda_{\mathrm{new}}$ 在 $N$ 个 sheet 上的留数为¹⁷

这里各个留数为

这一穿孔所对应的味对称性是 $SU(N)$。而前面亢多重态中的那些质量，正是沿着这一味对称性的 Cartan 子代数引入的质量。

另一方面，在简单穿孔 • 处，留数的平移量为

这里仍取 $t=t_\alpha$。因此结合前面的结果，可知各个 sheet 上的留数为

在这种情形下，对应的味对称性是$S(U(1)^2)=U(1).$¹⁸

由此可见，在 Gaiotto 表示中，留数的结构与它所携带质量参数的味对称性之间存在着非常漂亮的对应关系。沿着这一思想继续推广，就可以引入更多不同对称性类型所对应的穿孔，从而把 $N=2$ 理论的类别大大扩充。关于这方面的细节以及由此得到的一系列精彩结果，请参见原论文 [28]。不过当膜的张数取 $N=2$ 时，两类质量留数都退化成$(m,-m),$因此两类穿孔实际上不再有区别。于是无论是哪一种情形，味对称性都会提升为 $SU(2)$。

进一步地，当 $N=2$ 时，整个理论的味对称性本身也具有特殊性，经常会提升为更大的对称性。这是规范理论中早已熟知的事实，其根源在于 $SU(2)$ 的基本表示是赝实表示。正因为如此，比如若考虑 $d$ 个处于基本表示 $\mathbf{2}$ 的亢多重态 $(Q,\tilde Q^\dagger)$，则它们实际上可以看成 $2d$ 个半亢多重态 $Q,\tilde Q$，并在 $SO(2d)$ 味对称性下变换，也就是在它的矢量表示 $\mathbf{2d}$ 下变换。从这个角度看，之所以必须引入偶数个半亢多重态，是为了抵消 $SU(2)$ 规范理论中的global反常。另外，对于按双基本表示变换的亢多重态，会有一个 $U(1)$ 味对称性。若规范群是 $SU(2)\times SU(2)$，则这一表示是实表示，因此味对称性会提升到$Sp(1)\sim SU(2)$。另一方面在膜构型这一侧来看，在 4-味 SQCD 的情形中，实际上只显现了 $SO(8)$ 味对称性中的$SU(2)^4 \subset SO(8)$这一部分。

再来看这样一个构型，在球面上放置三个完全穿孔，并缠绕三张膜。这个系统在四维中给出被称作是 $T_3$（Minahan-Nemeschansky）理论的强耦合共形场论。从膜构型直接读出的味对称性是来自三个穿孔的 $SU(3)^3$。然而真正的味对称性已知是 $E_6$，因此膜构型所见到的只是其中的一个子群。现在，从 $T_3$ 理论的一个 $SU(3)$ 味对称性中取一个出来，把其中的 $SU(2)$ 子群做弱规范化。然后再加上一个属于这一 $SU(2)$ 规范群基本表示的亢多重态，就得到一个新的共形场论。实际上，这个理论正是描述 6-味 $SU(3)$ SQCD 强耦合区的对偶理论，这就是 Argyres-Seiberg 的 $S$ 对偶。用 Gaiotto 曲线的语言来说，它来源于图 15 所示曲线的两种不同裤分解，也就是两种不同的弱耦合描述。

因此，并不是所有味对称性都能从膜构型中直接读出。典型地，在 Gaiotto 表述里显现出来的只是某个 $SU(N)$ 子群。不过，正是通过只盯住这些对称性中的一部分，才使得我们能更清楚地理解 $S$ 对偶的作用方式 [28]。

4.2 AGT 猜想

Gaiotto 所给出的 M5 膜构型所启示的，是 Riemann 面上的裤分解操作与四维超对称规范理论之间存在深刻联系。另一方面，一提到 Riemann 面的缝合操作，我们立刻会想到二维共形场理论。因此，自然会期待四维超对称规范理论与二维共形场理论之间存在某种对应关系。基于这样的想法，Alday 等人提出了所谓的 AGT 对应。为了把连接四维超对称规范理论与二维共形场理论的这一尝试具体化，他们选取了 $\mathcal{N}=2$ 的 $SU(2)$ 超对称 quiver 规范理论，并把 Nekrasov 配分函数作为研究对象。随后，他们首次发现它与 Liouville 理论的关联函数相对应。

在本节中，我们选取具体的 $SU(2)$ 规范理论，沿着 Alday 等人发现时所走的道路，来考察 AGT 猜想。首先就从我们最标准的例子，4-味 SQCD 开始。

$SU(2)$ $N_f=4$ 超共形规范理论：$\mathcal{T}_{4,0}[A_1]$

先回忆 Nekrasov 公式的构造。在 $U(2)$、$N_f=4$ 规范理论中，既有来自矢量多重态的贡献，也有四个来自亢多重态的贡献，因此 Nekrasov 公式写成

这里回忆一下，库仑模参数 $a$，质量参数 $\mu$，以及 $\Omega$-背景参数 $\epsilon_{1,2}$，全都具有质量维数 1。剩下的参数，即共形规范理论的 UV 耦合常数 $q$，则是无量纲的。另一方面，Nekrasov 配分函数本身$Z=1+\mathcal{O}(q)$也是无量纲量。因此，有理式 $z_{\mathrm{vect}} z_{\mathrm{fund}}\times\cdots$ 是关于 $a$、$\mu$ 与 $\epsilon_{1,2}$ 的一个质量次数为零的齐次式。于是，只需把所有参数作统一缩放，就能够改写成无量纲参数的形式。这里依照 Alday 等人的做法，把质量尺度因子$\hbar := \sqrt{\epsilon_1\epsilon_2}$提出来，并把无量纲化后的参数重新仍记作 $a,\mu,\epsilon_{1,2}$，于是有

最后一行用到了 Nekrasov 配分函数是零次量这一事实。下面我们都把 Nekrasov 配分函数里出现的参数视为已经无量纲化。用 $\hbar$ 恢复质量维数的操作也是显然的。以$\hbar=\sqrt{\epsilon_1\epsilon_2}$作无量纲化之后，可以看出 $\Omega$-背景参数彼此互为倒数，即

于是，为了后面与 Liouville 理论作比较，再定义

下面就开始具体分析 Nekrasov 配分函数。首先，把两个显式作用的味对称性 $U(2)_1\times U(2)_2$ 所对应的质量矩阵，分别分解成 Cartan 的 $U(1)_i$ 部分与 $SU(2)_i$ 部分：

这里 $\sigma^0$ 是 $2\times 2$ 单位矩阵。这些正是前一节引入的 $U(1)$ 质量与 $SU(2)$ 质量。Nekrasov 配分函数在 $SU(2)_1\times SU(2)_2$ 的 Weyl 群作用

下保持不变，并且在规范群的 Weyl 群作用 $a\rightarrow -a$ 下也保持不变。正如在 Gaiotto 构造那一节中所看到的，当考虑 $SU(2)$ 规范群时，由于亢多重态处于赝实表示 $\mathbf{2}$，味对称性应当提升为

下面我们再从规范理论的角度回顾一次这一现象。设有按某个表示 $R$ 变换的亢多重态 $(Q,\tilde Q^\dagger)$，它具有 $\mathcal{N}=2$ 超势

其中上下指标分别是表示 $R$ 及其共轭表示的指标。若 $R$ 是赝实表示或实表示，就可以考虑半亢多重态$(Q,Q^t)$。于是，从超势出发来分析会受到什么限制。设 $R$ 为不变张量，则有$Q^* = RQ$，因此超势可以写成$W=Q^t R^t \Phi Q$。若 $R$ 是（赝）实表示，则不变张量 $R$ 是反对称的，因此 $R^t\Phi$ 成为对称矩阵，从而这样的超势可以成立。于是，$2d$ 个处于赝实表示的半亢多重态具有¹⁹

这样的超势，它们的味对称性就是 $O(2d)$。通常的一个亢多重态，只需由两个半亢多重态按

来组合即可。

接着考虑 $R$ 为实表示的情形。这时不变张量 $R$ 是对称的，因此 $R^t\Phi$ 成为反对称矩阵，于是单独一个半亢多重态无法写出超势。不过若引入两个半亢多重态，就可以写成

这样便可给出超势。推广到 $2d$ 个的情形也是显然的²⁰，此时味对称性变为 $Sp(2d)$。

现在我们想去掉规范群中的 $U(1)$ 部分，并考察味对称性提升后的情形。乍看之下，似乎只需把伴随 Higgs 场的真空期望值取成无迹形式

即可。然而马上会发现，这样做还不够。因为仅靠这一步，并不会产生与味对称性提升

相对应的新 Weyl 不变性

这里之所以不把 Weyl 反射写成 $m_i\rightarrow -m_i$，而是写成含有 $Q$ 的形式，与亢多重态质量参数的取法有关，不过这里不详细讨论。

Alday 等人为实现 $U(1)_i\rightarrow SU(2)_i$，提出了一个应当剔除的 $U(1)$ 因子：²¹

$U(2)$ $N_f=4$ 规范理论的 $U(1)$ 因子

\[\boxed{ Z^{U(1)}=(1-q)^{2m_1(Q-m_2)}.} \tag{4.41}\]

并且，Alday 等人进步提出，通过去掉这个 $U(1)$ 因子来定义如下的 $\mathcal{F}$：

这里，$Z_{\mathrm{inst}}^{U(2)}(a)$ 表示在 $\vec a=(a,-a)$ 处取值的 $U(2)$ 配分函数。Alday 等人声称，正是考虑这个 $\mathcal{F}$，才会产生我们所期待的新 Weyl 不变性 (4.40)。为了理解这一机制，我们来实际做一下 Nekrasov 配分函数的 1-瞬子计算。瞬子数为 1 的贡献来自 $\vec Y=(\square,\varnothing)$ 与 $\vec Y=(\varnothing,\square)$ 这两项之和，因此把相应因子写出来便得到

为了使式子的对称性更清楚，我们引入修正过的质量参数

用这组质量参数来表述时，新出现的 Weyl 不变性应当是

于是我们先来考察 $M_1 \leftrightarrow -M_2$（也就是 $m_1\to Q-m_1$）这一变换。当然，$Z_{\mathrm{inst}}$ 本身并不具有这样的 Weyl 不变性。比如在展开式 (4.43) 中，关于 $M_{1,2}$ 的奇次项就包含

值得注意的是，这一部分完全不含 $a$。因此，这个有问题的 $m_1$ 依赖性，会被 $U(1)$ 因子

完全抵消。也就是说，正是把 $U(1)$ 因子除掉之后，新的 Weyl 不变性 $m_1\to Q-m_1$ 才真正出现。对于 $M_3\leftrightarrow -M_4$，（也就是 $m_2\to Q-m_2$），完全是同样的机制。

这样沿着 Alday 等人的论证，我们新认识到的一点是，通常我们计算的 Nekrasov 公式其实是针对 $U(2)$ 规范群的。要真正得到 $SU(2)$，并不只是把 $\Phi=\mathrm{diag}(a_1,a_2)$ 取成无迹就够了，还必须把 $U(1)$ 因子剔除掉。换句话说，$SU(2)$ 规范理论的 Nekrasov 公式应当理解为

为了更清楚地看到它与共形场理论之间的对应关系，我们再引入下面这些参数：

现在终于准备好来陈述 AGT 猜想本身了。Alday 等人在文献 [4] 中最惊人的发现是，$SU(2)$ 规范理论的 Nekrasov 函数$\mathcal {F} _ {\alpha_ 1\phantom {\alpha}\alpha\phantom {\alpha_ \ 1}\alpha_ 4}^{\phantom {\alpha}\alpha_ 2\phantom {\alpha}\alpha_ 3}(q)$实际上与中心荷$c=1+6Q^2$的 Virasoro 共形块严格一致：

AGT 猜想 [4]

考虑在球面上四个点 $0,q,1,\infty$ 插入维数

\[\Delta_i=\alpha_i(Q-\alpha_i)\]

的顶点算符所得到的共形块，并且在中间态维数

\[\Delta=\alpha(Q-\alpha)\]

的 $s$-道上取值。那么这个共形块，恰好就是去掉 $U(1)$ 因子之后所定义的 $SU(2)$、$N_f=4$ 超共形规范理论的 Nekrasov 配分函数：

\[\mathcal {F} _ {\alpha_ 1\phantom {\alpha}\alpha\phantom {\alpha_ \ 1}\alpha_ 4}^{\phantom {\alpha}\alpha_ 2\phantom {\alpha}\alpha_ 3}(q) = \mathcal{F}\!\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}\right](\Delta;q). \tag{4.48}\]

这里的共形块，是指中心电荷 $c=1+6Q^2$ 的 Virasoro 代数的共形块。

在 Gaiotto 的 M5 膜构造中，$SU(2)$、$N_f=4$ 超共形规范理论正是来自四点带标球面 $C_{4,0}$ 的 $\mathcal{T}_{4,0}[A_1]$ 理论。因此，像图 16 那样把它对应到球面上的四点共形块，是非常自然的。并且，在规范理论那边讨论过的由 $SU(2)^4$ 味对称性带来的 Weyl 不变性，在共形块这一侧正对应于对称性$\alpha_i \to Q-\alpha_i.$

之所以把这一主张称作 AGT 猜想，是因为到目前为止它尚未被完整证明。原因在于，两边本来是具有完全不同数学起源的函数，因此要证明它们彼此相等，绝不是一件容易的事情。尤其是，“在瞬子模空间的 $\Omega$-同变上同调群上存在 Virasoro 代数作用，并且它作为一个表示而出现” 这样的说法，在数学上也是全新的内容，仍有待进一步发展。幸运的是，在若干简化系统中，物理学家已经给出了证明，所以关于这一点，我们会在本文最后一章再作讨论。

下面，我们在瞬子展开的低阶上具体检查这一对应。只看 1-瞬子阶时，$SU(2)$ 规范理论的 Nekrasov 配分函数为

这里第二行那一项正是来自去掉 $U(1)$ 因子。若只把第一行中 $q^1$ 的部分通分，分子当然不会因子化，而会得到一个相当复杂的有理式。但是，极其惊人的是，只要再把来自 $U(1)$ 因子的第二行加进去，整个 1-瞬子项就会以非常漂亮的方式因子化：

而这恰恰就是由共形块计算所预期的那一项：²²

这里我们只检查了手算也很容易做到的 1-瞬子修正这一部分。也许会有读者觉得，现在我们手里的参数个数已经很多，因此把 Nekrasov 配分函数和共形块在 1-瞬子阶上对起来，似乎并不奇怪。但是必须注意，我们在参数之间只施加了非常简单的多项式关系，而这些恰好是和 Liouville 理论直接相关、非常自然的参数化。即便如此，只要把复杂的 Nekrasov 配分函数除以 $U(1)$ 因子，再代入这些参数关系，每个瞬子阶的项就都会因子化，并且给出与共形块计算完全一致的多项式。这说明，哪怕只在我们检查过的一阶上，也已经出现了十分非平凡的现象。借助计算机，这一等价关系已经被核对到大约瞬子展开的 10 阶。对感兴趣的读者，我建议不妨用 Maple 等工具去检查 2-瞬子乃至更高阶的情况。当然，随着展开阶数升高，配分函数中的贡献项会呈现组合意义上的爆炸式增长，因此计算会越来越困难。但是更惊人的是，把每个瞬子数对应的那些有理式通分后，再对分子和分母分别作因子分解并约分，就会发现，共形块和 Nekrasov 配分函数给出的竟然是完全相同的有理式。特别是，在分母中会出现与该瞬子数对应层级的 Kac 行列式。与此相对应，Nekrasov 配分函数极点的位置与留数结构，对于 AGT 猜想具有极其重要的意义。关于这一点，我们会在最后一章再次触及。

$SU(2)$ 线性 quiver 规范理论：$\mathcal{T}_{n+3,0}[A_1]$

AGT 猜想并不局限于4-味理论的对应。我们已经从 Gaiotto 构造中知道，Riemann 面的胖次分解与四维规范理论之间存在一一对应。因此，自然期待 AGT 对应对这些理论也普遍成立。下面就来看其中最简单的一列推广。

这里考虑的是带有 $n+3$ 个穿孔的球面。取图 17 那样的线性分解作为其胖次分解。与这张 Riemann 面对应的规范理论，是一个$SU(2)_1\times SU(2)_2\times \cdots \times SU(2)_n$的 quiver 规范理论。其物质场内容为，相邻规范群之间各有一个双基本表示的亢多重态，并且 quiver 两端的两个规范群各自再带有两个（反）基本表示的亢多重态。这个规范理论的 Nekrasov 配分函数同样可以直接写下。设 $q_i$ 是第 $i$ 个规范群的耦合常数，$\vec a_i$ 是第 $i$ 个规范群的 Coulomb 模量，那么对应 $U(2)^n$ quiver 理论的瞬子配分函数为

把质量参数 $\mu_1,\ldots,\mu_4$ 分解为 $U(1)$ 质量与 $SU(2)$ 质量的方法，与 $n=1$ 时完全相同。并且，这个理论对应的 $U(1)$ 因子为²³

因此，取比值 $Z_{\mathrm{inst}}/Z^{U(1)}$ 之后，便得到 $SU(2)^n$ quiver 理论的配分函数。它同样被预言与共形块一致：

这里右边是与带 $n+3$ 点穿孔球面的线性胖次分解相对应的共形块。至于参数之间的关系式，是 $n=1$ 情形的自然推广，详情可参见原论文 [4]。和 4-味理论一样，这个猜想也可以在瞬子展开下逐阶检验。不过更重要的是，AGT 猜想并不只针对 4-味规范理论，而是预言对由 $n=1,2,3,\ldots$ 标记的一整列无限多个理论都成立。下面离开球面的例子，进一步讨论与环面对应的 AGT 猜想。

[译者注] 具体的参数关系这里稍加解释。首先是两端的$SU(2)\times SU(2)$质量$\mu_{1,2,3,4}$分解为

\[\mu_1 = m_0 + \tilde{m}_0, \quad \mu_2 = m_0 - \tilde{m}_0, \quad \mu_3 = m_n + \tilde{m}_1, \quad \mu_4 = m_n - \tilde{m}_1\]

所有的插入点算符的共形权都是$\Delta(\alpha)=\alpha(Q-\alpha)$的形式，竖着的puncture的$\alpha$很简单就是$U(1)$的中间的bifundamental亢多重态的质量，已经在(4.52)中标出，对应的算符插入点也已经标出，中间传播态以及左右两边的flavor D4 brane的puncture的$\alpha$由下式给出：

\[\alpha_0=Q/2+\tilde{m}_0,\quad\alpha_i=Q/2+a_i,\quad\alpha_{n+1}=Q/2+\tilde{m}_1\]

现在我们来解释一下前面略显奇怪的(4.51)式，值得注意的是原文的这个式子是错的，我反复观看原始文献以及相关AGT猜想验证的文章确定了这里的convention。要解释这个式子最好的办法是画出quiver图，这里以六点为例： 注意本来亢多重态的quiver是不需要加箭头的，只有4个超荷的理论才有chiral和anti-chiral需要用箭头区分，亢多重态在4个超荷的语言下自动分解成一个chiral和一个anti-chiral。所以这个箭头是我们人为添加的，因为这样才能谈$m_{\text{in}}$和$m_{\text{out}}$。中间传播的质量都是$U(1)$质量。

看上面的图片，公式里面的$\mathcal{S}$其实就是所有的连续的节点构成的集合，比如图中框出来的部分就是$q_1,q_2$，那么贡献在$U(1)$因子里面就是$(1-q_1q_2)^\nu$，再看这个幂次$\nu$，显然，进来这个框的就是$m_0$，出去这个框的就是$m_2$，所以最终我们得到贡献就是$(1-q_1q_2)^{2m_0(Q-m_2)}$。然后我们要把所有可能的贡献乘起来。但是注意是连续的节点，比如$(1-q_1q_3)$这种就不能有。对于六点读者可以对照下面的答案看自己是否理解这个技巧：

\[\begin{aligned}Z_{U(1)}^{g=0,n=6}=&(1-q_1)^{2m_0(Q-m_1)}(1-q_2)^{2m_1(Q-m_2)}(1-q_3)^{2m_2(Q-m_3)}\\&\times(1-q_1q_2)^{2m_0(Q-m_2)}(1-q_2q_3)^{2m_1(Q-m_3)}(1-q_1q_2q_3)^{2m_0(Q-m_3)}\end{aligned}\]

$SU(2)$ $\mathcal{N}=2^*$ 理论：$\mathcal{T}_{1,1}[A_1]$

现在来考虑带一点穿孔的环面。若考察这张 Riemann 面的胖次分解，就会发现，与亢多重态对应的三个三点顶点，连接在那根表示“裤腿粘合”的管道的两端。也就是说，这个亢多重态在该管道所对应的 $SU(2)$ 规范群之下，是按$2\otimes 2 = 1\oplus 3$来变换的。忽略规范群的 singlet 之后，与一点穿孔环面对应的理论就是一个带有一个按伴随表示 $\mathbf{3}$ 变换的亢多重态的规范理论，也就是 $SU(2)$ 的 $N=2^*$ 理论。因此考虑对应的 $U(2)$ $N=2^*$ 理论的瞬子配分函数：

这个理论的 $U(1)$ 因子被选为

因此，在这种情形下，AGT 对应预言

中由此定义的 $\mathcal{F}_{\alpha}^{\,m}(q)$，应当与一点穿孔环面的共形块 $\mathcal{F}_m(\Delta;q)$ 一致。参数对应依旧遵循前面的 AGT 字典，即插入的主场的维数取为

而中间态的维数为

同时，库仑模参数仍记作

这个猜想同样也可以借助计算机进行具体检验。而且，这个亏格为 1 的 AGT 对应，还可以进一步推广为 $\hat A_n$ quiver 规范理论²⁴与带 $n$ 个穿孔的环面上的共形块之间的对应 [4]。

特别值得一提的是，在 2009 年底，Fateev 和 Litvinov 已经给出了对 $SU(2)$ $N=2^*$ 情形的 AGT 猜想的证明。他们所用的方法，是研究共形块所满足的 Zamolodchikov 递推式。关于这一点，我们将在最后一章中再回头讨论。

Liouville 关联函数与 $S^4$ 上的配分函数

到目前为止，我们考察的只是规范理论中的瞬子修正部分。接下来要问的是，摄动部分等是否也能在共形场理论中得到解释。

先从共形场理论一侧出发。到这里为止，我们还没有讨论究竟该选取哪一个具体模型。这里稍显突兀地，来考虑中心电荷

的 Liouville 场理论的四点函数。正如第 2 章中已经说明的，计算这一四点函数需要三点函数，而那个三点函数由附录中的 DOZZ 公式给出。事实上，它正对应于 4-味理论配分函数中的摄动修正部分。并且，在式 (2.44) 中还包含了系数

按照 AGT 词典，它本质上就是 Nekrasov 配分函数的经典部分

因此，当把 Nekrasov 配分函数的全部部分都考虑进去时，它便应当等于 Liouville 的四点关联函数。更精确地说，借助 DOZZ 公式，AGT 猜想可以归结为如下形式：²⁵

右边的这个积分，实际上正是 Pestun 所计算的 $S^4$ 上四维 $N=2$ 规范理论的配分函数 [30]。在这里，通过局域化方法，正则部分 $Z$ 与反正则部分 $\bar Z$ 分别可理解为来自 $S^4$ 南极与北极的贡献。因此，Liouville 场理论的物理关联函数，正应当对应于 $S^4$ 上的四维 $N=2$ 规范理论的配分函数。

能量动量张量与量子 Seiberg-Witten 微分

下面也来讨论一下 AGT 对应中的 Seiberg-Witten 曲线。其线索来自 Ward-Takahashi 恒等式：

回忆一下，有$\Delta_j \simeq -m_j^2$，因此右边出现的微分算符，与 Gaiotto 曲线中的因子 $\phi_2(z)$ 具有几乎相同的极点结构²⁶。由此，Alday 等人猜想，在准经典极限下，能量动量张量恰好给出 Seiberg-Witten 曲线$x^2=\phi_2(z)$：²⁷

这个猜想已经在若干具体例子中得到了检验。

而这一猜想进一步暗示，一旦打开 $\Omega$-背景，Gaiotto 微分就会被提升为算符$\hat\phi_2(z)=T(z)$。换句话说，$\Omega$-背景将导出 Seiberg-Witten 理论的“量子化”。关于 AGT 对应这一结论所蕴含的内容，目前仍在从各种不同角度持续研究之中。

4.3 $SU(N)$ 规范理论与 Wyllard 猜想

我们已经知道，$SU(2)$ 超共形规范理论的配分函数，可以由具有 Virasoro 对称性的 Liouville 理论来描述。那么，对于秩更高的规范理论，这样的故事是否也仍然成立呢？实际上，Wyallard 已经指出，AGT 对应可以进一步推广到 $SU(N)$ 规范理论。

这一推广的线索在于，Liouville 理论本来就是 $A_1$ 型 Toda 场理论。于是，自然会期待，$SU(N)$ 规范理论应当对应于 $A_{N-1}$ 型 Toda 场理论。基于这一点，Wyllard 预言，$SU(N)$ 规范理论的 Nekrasov 配分函数应当等于 Toda 共形块 [9]。不过，要把这一猜想精确表述出来，还需要引入一些相当巧妙的构造 [9, 31]，因此这里没有篇幅展开其一般理论。下面只聚焦于 $SU(N)$、$N_f=2N$ SQCD 这一例子，来介绍 Wyllard 猜想。

在这种情形下，也预期 Nekrasov 配分函数应当与四点 $W_N$ 共形块一致。Toda 场理论中的一般顶点算符可以写成

考虑它的四点函数时，外线动量参数一共有 $4(N-1)$ 个。另一方面，$SU(N)$、$N_f=2N$ SQCD 的质量参数只有 $2N$ 个，因此当 $N\ge 3$ 时，共形场理论一侧的参数显然太多了。其原因在于，对于 $N\ge 3$，球面上的穿孔存在两种类型²⁸，而前面的讨论并没有把这一点考虑进去（图 18）。设两个完全穿孔 $\odot$ 上插入的是一般的顶点算符 $V_{\vec{\alpha}}$，那么剩下的单纯穿孔 $\bullet$ 上应当插入什么样的算符呢？Wyllard 发现，若在单纯穿孔 $\bullet$ 上取半退化场

则四点共形块能够重现 Nekrasov 配分函数：

这里 $\omega_{1}, \omega_{N-1}$ 是（反）基本表示的最高权。实际上，这个关联函数的外线参数个数正好是$2(N-1)+2 = 2N$个。此外，当三点函数中的一个顶点算符取这种半退化场时，Toda 理论中与 DOZZ 公式对应的三点函数公式也已被给出 [32]，并且可以验证它恰好与 Nekrasov 配分函数的摄动修正部分一致。进一步地，还可以检验，这种退化场的选择与 Gaiotto 曲线在穿孔处的奇性结构也是相容的 [33]。关于 Wyllard 猜想中的具体计算以及参数对应关系，请参见原论文 [9]。

往带有 quiver “尾巴”的规范理论的推广由 [31] 给出，并被称为 “AGT-ail 猜想”。此外，关于向 $SO$ 群和 $Sp$ 群规范理论的推广，也已在 [34] 中被尝试研究。

4.4 若干变种：Gaiotto 猜想

到目前为止我们所讨论的 AGT 对应，都是针对四维超共形规范理论（及其质量变形）的。这些理论已由 Gaiotto 发现，可以用带穿孔的黎曼曲面作出自然分类。那么，当我们从超共形规范理论出发，将 flavor 退耦，从而考虑渐近自由规范理论时，前面看到的这套图景会怎样改变呢？本节将回答这一问题。遵循 Gaiotto 的发现 [10]，我们先从 $SU(2)$ 超 Yang-Mills 理论开始考察。

首先来考虑 flavor 的退耦。为此，只需将想要移除的亢多重态的质量送到无穷大即可。不过若仅仅如此，并不能留下非平凡规范理论的动力学，因此还必须对规范耦合常数同时取一个标度极限。例如，为了从 $SU(2)$、$N_f=4$ 规范理论得到 $SU(2)$ 超 Yang-Mills 理论，可以考虑

至于为什么这一极限从规范理论一侧是合理的，就留作读者练习。这里我们只评论一点：若在 Nekrasov 公式（或者 Seiberg-Witten 曲线）中使用 (4.59)，便会得到正确的 $SU(2)$ 超 Yang-Mills 理论的结果，因此其自洽性可以很容易地检验。²⁹

下面试着利用 $\mathcal{N}=2$ 的 $SU(2)$ Yang-Mills 膜构型来确定 Gaiotto 曲线。沿水平方向（$t$ 坐标）和垂直方向（$v$ 坐标）的截面都分别与两张膜相交，因此描述相应 M5 膜排布的方程必定是关于 $t$ 和 $v$ 的二次多项式：³⁰

系数与物理参数之间的关系由 $\Lambda^4 = c_2 c_0 / c_1^2$ 以及 Seiberg-Witten 微分 $\lambda = v\,dt/t$ 所决定 [29]。对这条 M 理论曲线作适当重标度后，就得到熟知的 Seiberg-Witten 曲线标准形

接着来看 Seiberg-Witten 曲线的 Gaiotto 表示，即把 Seiberg-Witten 微分写成 $\lambda = v\,dz/z = \sqrt{\phi_2(z)}\,dz$，相应地曲线写成 $x^2 = \phi_2(z)$ 的表示。因此由这一结果立刻得到 $SU(2)$ Yang-Mills 理论的曲线

考虑紧化所伴随的二次微分 $\phi_2(z)(dz)^2$，可知它定义了一张在

处有零点，并且在 $z=0,\infty$ 处有三阶奇点的黎曼球面。此前所考察的 $N_f=4$ 理论中，穿孔的留数对应于质量参数，而在这里应注意，伴随其上的却是动力学标度。这是因为，在极限 (4.59) 下，质量转化成了 $\Lambda$。

像这样做去除 flavor 的极限操作时，在 Gaiotto 曲线上，各个 flavor 所对应的 regular 穿孔彼此碰撞。由图20可见，取渐近自由极限 $q \to 0$ 时，连接两个 pair of pants 的细管会变得越来越细，并退化成一根无限长的圆柱。这张黎曼曲面与带有两个穿孔的球面共形等价。由此可见，在趋向渐近自由理论的极限之下，会从 tame 奇性产生出 wild 奇性，也就是 irregular singularity。因此，可以把 super Yang-Mills 理论的 Gaiotto 曲线看成是在黎曼球面上附加了两个 irregular singularity 的对象。若假定 AGT 对应在这种情形下也存在，那么就应当能够像图21那样，对应于非正则奇点引入某个态 $|G\rangle$。而当非正则穿孔 $z=0,\infty$ 对应某个状态$\ket{G}$时，便可期望在共形场论中存在与图21对应、由 $\langle G|G\rangle$ 所定义的相关函数。被称为 非正则共形块（irregular conformal block）[10]。下面就来推测它的具体形式。为此，只需回忆二维能量-应力张量与 Gaiotto 二次微分之间的对应关系：³¹

不过，要估计不含引力光子贡献的 $\phi_2$，必须取准经典极限（规范理论极限）$\epsilon_{1,2} \ll a,m$。而在通常的共形块中，各个穿孔都对应于共形场论的顶点算符 $V(z)$。那么，当对应的是非正则穿孔时，相应的场，或者说状态 $|G\rangle$，究竟应当是什么呢？为了弄清这一点，我们来考察 AGT 对应 (4.62) 与 Gaiotto 曲线 (4.61) 相容所要求的条件。也就是说，当把 $T(z) = \sum L_n z^{-n-2}$ 插入到非正则共形块 $\langle G|G\rangle$ 中时，在准经典极限下必须再现 Gaiotto 二次微分 (4.61)：

将它与 (4.61) 相比较，便可自然想到如下条件：

于是剩下的问题，就是施加什么条件，才能使

这一关系成立。由于这一部分牵涉到较为复杂的机制，这里难免要采取一种自上而下的做法，我们暂且要求“状态 $|G\rangle$ 是 Verma 模 $\mathcal{V}_\Delta$ 中的一个状态”。从这一设定如何再现 (4.64)，将在稍后明晰。

于是试着把状态 $|G\rangle$ 定义为 Verma 加群 $\mathcal{V}_\Delta$ 中的状态

要求满足下列条件：

这个状态称为 Gaiotto 态，或者 Whittaker 向量。把 Gaiotto 态在 Verma 加群的基底中展开，并用条件 (4.65) 递归地确定那些未定系数 $c_1,\cdots$，便可得到

由于这正是对应于 irregular 奇性的状态，因此把它的内积看作“irregular 的”共形块是很自然的。依照 AGT 猜想的思路，共形块应当与 Nekrasov 分配函数一致。基于这一想法，Gaiotto 发现了下面这一性质：

Gaiotto 猜想 [10]

图21对应的非正则共形块，与 $SU(2)$ pure Yang-Mills 理论的 Nekrasov 分配函数一致：

\[\langle G|G\rangle = Z_{\mathrm{inst}}^{\mathrm{pure}\,SU(2)}. \tag{4.67}\]

这里参数之间的对应，仍取原 AGT 猜想中的同一组关系式。³²

利用式 (4.66) 中算出的 Gaiotto 态表示，就可以在瞬子展开的若干低阶上检验这一猜想。就 level 2 为止，左边可以由 Gaiotto 向量 (4.66) 直接算出，右边也已在 (3.28) 中给出。因此，具体检验就留给读者作为练习。实际上，真正动手计算之后就会看到，这种一致同样是非常非平凡的。特别是，Nekrasov 公式一侧是对 Young 图求和，只有把每个瞬子数贡献的所有有理式全部相加并通分之后，才会最终显现出与 Gaiotto 态一侧相同的结果。而在这一过程中，Nekrasov 公式的分母里出现 Kac 行列式，也是一个十分不可思议的结果。

试着考虑 Gaiotto 态的瞬子展开的形式

其中 $|\Delta,n\rangle$ 是 level $n$ 的向量，满足 $L_0|\Delta,n\rangle = (\Delta+n)|\Delta,n\rangle$。这一 ansatz 与条件 (4.65) 相容，这一点可以立刻检验出来³³。$|\Delta,n\rangle$ 只不过是从张成 Gaiotto 态的那些向量中抽取出具有固定权重的部分而已。不过，人们已知这一向量可以用 Virasoro 代数表示论的语言漂亮地表出。具体来说，Marshakov、Mironov 与 Morozov [35] 给出了如下重要表示：

Gaiotto 态的表示 [35]

\[|\Delta,n\rangle = \sum_{|Y|=n} \mathcal{G}_\Delta^{-1}([1^n],Y)\,L_{-Y}|\Delta\rangle. \tag{4.69}\]

文献 [35] 中已经证明，这个表示满足 Gaiotto 态的条件 (4.65)。下面简要介绍这一证明。承认式 (4.69) 之后，Gaiotto 态便可写成

这个状态满足

这样一个性质。把 $L_YL_{k>0}$ 利用 Virasoro 代数的交换关系重排成 Young 图的顺序时，记

于是，$|G^{\mathrm{MMM}}\rangle$ 与次级态的内积便可改写为

其中，在最后一步变形中用了 (4.71)，并令 $|Y’|=n$。这里根据定义和 Virasoro 代数可知，只有当 Young 图的格子数与长度满足 $|Y’| = |Y| + k$ 且 $d(Y’) \le d(Y) + 1$ 时，$C^{(k)}_{Y,Y’}$ 才非零。于是考虑 $Y’ = [1^n]$ 的情形，则使 $C^{(k)}_{Y,[1^n]}$ 不为零的 $Y$ 必须满足 $n = |Y| + k$ 且 $n \le d(Y) + 1$，因此只能是 $Y = [1^{n-1}]$。这又只在 $k=1$ 时才有可能。于是，只有 $C^{(1)}_{[1^{n-1}],[1^n]} = 1$ 的贡献保留下来，因此

这意味着，$L_{k\ge 2}|G^{\mathrm{MMM}}\rangle = 0$ 立刻成立。于是再把

按 Verma 加群的基底展开，就有

由此得到

因此，$|G^{\mathrm{MMM}}\rangle$ 满足相干态条件 (4.65)。换言之，$|G^{\mathrm{MMM}}\rangle = |G\rangle$，状态的唯一性是显然的。证毕。

下面回到前面暂时搁置的 (4.64) 的问题。由瞬子展开 (4.68) 很容易看出

这里只是为了和规范理论比较，在最后一行中用 $\hbar = \sqrt{\epsilon_1\epsilon_2}$ 恢复了质量量纲。此时若承认 Gaiotto 猜想

则有

再利用 Seiberg-Witten 理论中发现的 Matone 关系式 [36, 37, 38]，右边便正是库仑模参数 $u$。由此可见，在 AGT 关系中，库仑模参数以这样的方式出现是相当非平凡而且很有意思的。对这一侧面感兴趣的读者，可以参看文献 [39]。

利用 Marshakov 等人的表示，渐近自由 AGT 猜想可整理为如下形式：

Gaiotto 猜想的另一种表示 [35]

\[Z_{\mathrm{inst}}^{\mathrm{pure}}(\alpha,\Lambda;b) = \sum_n \Lambda^{4n}\mathcal{G}_\Delta^{-1}([1^n],[1^n]). \tag{4.77}\]

要把猜想改写成这一形式，只需回忆，Verma 加群基底 $L_{-Y}|\Delta\rangle$ 的内积所成的 Gram 矩阵，正是块对角的 $\mathcal{G}_\Delta$。

在 Marshakov 等人的论文 [35] 中，还证明了另一件更重要的事，那就是，对 $N_f=4$ 规范理论的 AGT 关系式施加退耦极限 (4.59)，便会导出渐近自由 AGT 猜想 (4.77)。证明这一结果的关键，在于 $\Delta_f \gg \Delta$ 极限下三点函数 $R$ 的渐近行为：

当固定 $|Y| = n$ 时，这个因子中形如 $\sim (\Delta_1 - \Delta_2)^n$ 的部分最为重要，它对应于形状为 $Y = [1^n]$ 的 Young 图。因此，把球面的四点共形块取渐近自由极限后，会留下如下有限值：

这里只需注意，在退耦极限下有 $\lim q^2\Delta_1\Delta_2\Delta_3\Delta_4 = \Lambda^8$。这个结果正是非正则共形块的 Marshakov-Mironov-Morozov 表达式。

以上讨论的是不含亢多重态的 pure Yang-Mills 理论的 AGT 猜想。当基本表示 flavor 数为 $N_f = 1,2$ 时，沿着 Gaiotto 曲线的同样讨论，也可以推知相应的非正则共形块。因此，通过反复比较 $\phi_2(z)$ 与能量张量，自然会定义出如下 Gaiotto 态：

不过对于更高 level 的 Virasoro 生成元，还要求 $L_{n\ge 3}|G,m\rangle = 0$。这里出现的 $m$，是对应于规范理论中亢多重态质量的参数。利用这一 Gaiotto 态以及前面定义的 $|G\rangle$，就能定义出两种类型的非正则共形块，它们分别与 flavor 数为 $N_f = 1,2$ 的 $SU(2)$ 规范理论的 Nekrasov 分配函数一致：

引入基本表示 flavor 时的 Gaiotto 猜想

flavor 数 $N_f = 1,2$ 的 Nekrasov 分配函数，与下列非正则共形块一致：³⁴

\[Z_{\mathrm{inst}}^{N_f=1}(\alpha,m,\Lambda;b) = \langle G,m|G(\Lambda^2 \to \Lambda^2/2)\rangle, \tag{4.81}\] \[Z_{\mathrm{inst}}^{N_f=2}(\alpha,m_1,m_2,\Lambda;b) = \langle G,m_2|G,m_1\rangle. \tag{4.82}\]

这一猜想同样也能够用 Virasoro 代数表示论的语言表达出来 [35]，不过其细节在此略去不谈。

以上，我们说明了 Gaiotto 猜想。虽然此前一直称其为 Gaiotto “猜想”，但实际上，对于 $N_f = 0,1,2$ 的 $SU(2)$ 规范理论，它已经可以用数理方法加以证明。关于这一点，我们将在最后一章再加以说明。

这里所说的渐近自由规范理论的 AGT 猜想，是针对 $SU(2)$ 规范群的。因此，去考察其他规范群是否也满足这类简单关系，同样很有意思。对于 $SU(N)$ 规范群，笔者已经给出了推广的想法。特别是对于 $SU(3)$ super Yang-Mills 理论，借助 $\mathcal{W}_3$ 代数的表示论，已经能具体构造出非正则共形块，并发现了相应的推广 AGT 关系 [40]。顺便一提，到目前为止，这一猜想仍然尚未得到证明。³⁵