这是瀧雅人教授在2011年写的AGT猜想介绍的日文综述的翻译，原文名为《Alday-Gaiotto-Tachikawa 予想とその発展》，发表于素粒子論研究。翻译过程中大量使用AI工具辅助翻译，本人日语水平并不高但已努力校对，读者请仔细分辨。另外本翻译并未征得瀧雅人教授授权。
翻译的目的主要是我觉得翻译一遍这个加上一些必要的自己的footnote和自己去写一个文献笔记也差不多，在翻译这篇文章的时候我的日语大概也就个N4水平，所以很菜。但是N4基本上也涵盖了日语主干语法，而且读日语物理文献可以作弊，大部分单词可以根据汉字猜出意思而且你也不必刻意知道读音（除非你是为了学日语，但是学日语为何要读物理文献？）。正如大学英语四级过了几本上也就能看懂英文学术文献了，需要做的只是多读读看，学术文献里面的表达大部分都是很简单的句型。理论物理和数学这边不乏很好的日语文献，所以对日本文化感兴趣的同学不妨试着学一点日文，基础语法学完之后（大家的日语初级上下册水平）就可以尝试阅读学术文献了！
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其它章节的翻译请见：
AGT猜想及其发展——第四回 Alday-Gaiotto-Tachikawa猜想
AGT猜想及其发展——第三回 $\mathcal{N}=2$ 四维超对称规范理论与瞬子配分函数
以下是本节目录：
我希望对 2009 年由 Alday、Gaiotto 与 Tachikawa 发现的一类新型“对偶”作一概述。通过对微扰计算结果的考察，他们看出，四维 $N=2$ 超对称规范理论的瞬子配分函数，与二维共形场论的 Virasoro 共形块之间存在解析性的联系。这意味着，四维规范理论的配分函数与二维共形场论的手征关联函数是等价的。换言之，至少在这些扇区中，强烈暗示着两种理论之间存在某种对偶性。
本文将介绍共形块与瞬子配分函数的组合学计算方法。随后依照 Alday-Gaiotto-Tachikawa 的原始论文，按照其发现时的思路来验证 AGT 对应。进一步地，还将介绍其他对偶描述、其与弦理论的关系，以及若干证明尝试等内容。
需要说明的是，本文是在 2010 年 11 月于东京工业大学粒子物理理论研究室所作研讨班讲义笔记的基础上大幅增补而成。
1 引言
在过去数十年的粒子物理学中，共形场论一直扮演着重要角色。尤其是二维共形场论，自 1984 年 Belavin、Polyakov、Zamolodchikov 发现极小模型序列 [1] 以来，以弦理论的发展为背景而得到深入而活跃的研究，并取得了极其显著的发展。其结果是，它迄今已经作为弦理论的世界面理论，或作为描述统计系统临界现象的不动点理论，给出了许多引人注目的应用成果。更进一步，对于关联函数的解析结构，也获得了极为深刻的数学理解，这对于场论而言是颇为特殊的成就。
另一方面，四维的 $\mathcal{N}=2$ 超对称规范理论也是成功实现严格解析的代表性场论模型。特别是借助 Seiberg 与 Witten 所发展的、带有镜像对称色彩的方法，其低能有效作用已被完全确定 [2]。这同样作为量子场论中的惊人成果而格外突出。进一步到 2002 年，Nekrasov 等人提出了对 $\mathcal{N}=2$ 超对称规范理论的路径积分进行严格计算的方法 [3]。Nekrasov 通过瞬子计算方法得到的这一配分函数，正是 Seiberg-Witten 预势的母函数，从而给出了人们长期期待的 Seiberg-Witten 理论的微观导出。
就这样，二维共形场论与四维 $\mathcal{N}=2$ 规范理论原本各自拥有悠久的研究历史，是两个彼此独立且已经成熟的研究对象。然而到了 2009 年，Alday、Gaiotto 与 Tachikawa 发现了两种理论之间惊人的联系 [4]。这就是本文的主题，即被称为 AGT 猜想，或者 AGT 对应 的对偶性。
本文的目的之一，是介绍由 Zamolodchikov 等人发展起来的共形块的组合学计算方法。关于共形场论，已有许多由专家撰写的优秀文献 [5, 6, 7, 8]，因此笔者再补充一种新的综述意义并不太大。然而，详细说明共形块具体计算方法的文献并不多见，因此这里将以共形块的计算为目标，只介绍共形场论中极少的一部分内容。这部分内容将在第 2 章中讨论。
第 3 章在简要引入 Nekrasov 配分函数之后，将给出若干具体规范理论的例子并对其进行计算。
从第 4 章开始，进入本文的主题，即对 AGT 猜想的阐释。我们将使用前几章引入的共形块与 Nekrasov 配分函数，循着原始论文的思路，对 AGT 猜想作一种“发现式”的验证。对于在 AGT 对应发现之后接连出现的若干推广，我们也将加以说明。特别重要的有 Wyllard 发现的向 $SU(N)$ 规范群的推广 [9]，以及 Gaiotto 等人提出的渐近自由规范理论与非正规共形块之间的对应 [10]。
以上讨论的是规范理论中配分函数扇区的对应，而对于算符扇区，自然也会期待其在二维共形场论中存在对应物。第 5 章将对这类问题作一概述。特别地，作为规范理论中的算符，我们将讨论 Wilson-‘t Hooft 环算符与表面算符。这里将介绍的优美结果，来自 Alday、Drukker、Gaiotto、Gomis、Gukov、Morrison、Okuda、Tachikawa、Teschner、Verlinde 等人的一系列深入研究 [11, 12]。
最后一章将简要讨论其他一些话题。首先，我们希望讨论 Dijkgraaf 与 Vafa 给出的向拓扑弦理论中的嵌入 [13]。他们发现，通过嵌入到弦理论中，可以从几何转变（large-$N$ 对偶）来解释 AGT 猜想。其副产物之一，是发现了 Nekrasov 配分函数与 $\beta$-系综之间的对应。由于 $\beta$-系综是一类随机矩阵模型，因此这一 Dijkgraaf-Vafa 猜想给出了四维规范理论与 $0$ 维矩阵模型之间的关系，因而颇具趣味。
尽管 Dijkgraaf 与 Vafa 的论文在一定程度上给出了 AGT 猜想的弦论解释，但距离真正的本质性理解似乎仍然相当遥远。因此，为了理解这一对偶性的内在机制，人们期待最终完成其数学证明，而在若干具体例子中，这类尝试已经取得了成功。特别是在选择较简单的规范群和物质场内容时，对应的共形块由相对简单的 Zamolodchikov 递推关系所控制。因此，只要能够在规范理论一侧证明这一递推关系，就等于证明了二者的等价性。我们也将以简单理论为例，简要讨论这一证明方案。
关于 AGT 猜想，还有一篇由其提出者本人撰写的综述 [14]。这是一篇简明扼要而得其要领的评论，建议与本文一并阅读。
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