这是瀧雅人教授在2011年写的AGT猜想介绍的日文综述第三节的翻译，其它章节的翻译请见：

AGT猜想及其发展——第七回 总结、附录与参考文献

AGT猜想及其发展——第六回 此后的发展

AGT猜想及其发展——第五回 AGT猜想中的非局域算符

AGT猜想及其发展——第四回 Alday-Gaiotto-Tachikawa猜想

AGT猜想及其发展——第三回 $\mathcal{N}=2$ 四维超对称规范理论与瞬子配分函数

AGT猜想及其发展——第二回 二维共形场论与共形块

AGT猜想及其发展——第一回 引言

以下是本节目录：

3 $\mathcal{N}=2$ 四维超对称规范理论与瞬子配分函数

Nekrasov 配分函数，是通过在 $\mathcal{N}=2$ 规范理论的配分函数中引入正则化参数 $\epsilon_{1,2}$ 来计算得到的。第 3.1 节将简要说明 Nekrasov 配分函数的来由。这一部分对于理解本文主线并非绝对必要1，因此，对此不感兴趣的读者，建议从第 3.2 节开始阅读。本章后半部分则将结合具体例子说明 Nekrasov 配分函数的计算方法。

3.1 引力光子背景与 Nekrasov 配分函数

Nekrasov 的瞬子配分函数，是为四维 $\mathcal{N}=2$ 超对称规范理论定义的。不过，把它提升到五维 $R^4\times S^1 = \mathbb{C}^2\times S^1$ 上的 $\mathcal{N}=1$ 规范理论来考虑会更方便。其关键在于，考虑施加了扭曲边界条件

\[(z_1,z_2,x_4)\sim \left(e^{i\epsilon_1 R}z_1,e^{i\epsilon_2 R}z_2,x_4+R\right)\]

之后得到的紧化理论。这里，$R$ 是五维 $S^1$ 的半径。这样的理论变形称为由 $\Omega$-背景引入的变形。通过考虑与 $\Omega$-背景耦合的理论，就能够在等变局域化这一框架下处理该理论 [23]。关于以等变形式处理 Nekrasov 配分函数，可参见日文综述 [24]，这里不再详细展开。这一技巧的核心在于，加入伴随空间旋转的 $\Omega$-变形之后，对路径积分有贡献的构型会被限制为只在原点局域的瞬子构型。下面，我们就从借助这类讨论得到的配分函数的数学定义出发。

另外，这个 $\Omega$-背景，对应于把理论与 $\mathcal{N}=2$ 超引力多重态中的引力光子背景场（graviphoton background）相耦合。因此，它可以看作具有引力 / 弦论起源。不过实际上，$\Omega$-变形后的理论确实在某种体系中计算了拓扑弦理论的全亏格修正。也就是说，引入 $\Omega$-背景之后，一方面可以从规范理论计算中出现弦论型配分函数，另一方面也可以借助拓扑弦理论的对偶性以及强有力的数学工具来分析规范理论的动力学。关于这一方向的发展，可参见 [25]。

局域化方法

在弱耦合下，五维纯 super Yang-Mills 理论的 $k$-瞬子计算，已知可化归为瞬子模空间 $\mathcal{M}_k$ 上的超对称量子力学计算。此时，配分函数由这一量子力学模型的 Witten 指数给出，它也就是模空间上 Dirac 算符 $\mathcal{D}$ 的指标。利用著名的 Atiyah-Singer 指标定理，这个指标可以写成

\[Z_{\mathrm{pure},k}^{5\mathrm{D}} = \mathrm{Ind}\,\mathcal{D} = \int_{\mathcal{M}_k}\hat{A}(T\mathcal{M}_k). \tag{3.1}\]

这里 $\hat{A}$ 是 $A$-roof Dirac 亏格，2

\[\hat{A}(TM) = \prod_{i=1}^{r} \frac{R x_i}{e^{R x_i/2}-e^{-R x_i/2}}.\]

其中 Chern roots 由

\[\mathrm{ch}(TM)=\sum_i e^{x_i}\]

定义。顺便一提，由这个表达式可知，$k$-瞬子配分函数无非就是模空间的算术（Todd）亏格

\[Z_{\mathrm{pure},k}^{5\mathrm{D}} = \sum_n (-1)^n \dim_{\mathbb{C}} H^{0,n}(\mathcal{M}_k). \tag{3.2}\]

因此，我们只需计算瞬子模空间上的积分

\[Z_{\mathrm{pure},k}^{5\mathrm{D}} = \int_{\mathcal{M}_k} \prod_i \frac{R x_i}{1-e^{-R x_i}}, \tag{3.3}\]

不过一旦引入 $\Omega$-变形，就可以应用等变局域化（equivariant localization）的方法。瞬子模空间上有规范对称性与空间旋转的极大环面$U(1)^{N_c-1}\times U(1)^2$的作用。记这些作用在模空间切空间上的权为 $a_i,\epsilon_{1,2}$3。对这一 $U(1)$ 作用使用局域化方法，根据 Duistermaat-Heckman 公式 [24]，积分表达式便可化简为求和公式

\[Z_{\mathrm{pure},k}^{5\mathrm{D}} = \sum_{p:\,\mathrm{fixed\ point}} \prod_i \frac{1}{1-e^{-R\omega_{i,p}}}, \tag{3.4}\]

要得到四维表达式，只需取 $R\to 0$ 并保留主导项：

\[Z_{\mathrm{pure},k} = \sum_{p:\,\mathrm{fixed\ point}} \prod_i \frac{1}{\omega_{i,p}}. \tag{3.5}\]

这里 $p$ 表示环面作用的固定点，$\omega_{i,p}$ 表示该点处环面作用的权。一个重要的数学结果是，$U(1)^{N_c-1}\times U(1)^2$ 作用的固定点，可以由满足$|Y_1|+\cdots+|Y_{N_c}|=k$的 Young 图序列$\vec{Y}=(Y_1,\ldots,Y_{N_c})$来分类4。对固定点 $\vec{Y}$，其权由 Nakajima 与 Nekrasov 计算为 [26, 3]

\[\sum_i e^{-R\omega_{i,p}(\vec{Y})} = \sum_{a,b=1}^{N_c} e^{-R(a_a-a_b)} \left( \sum_{(i,j)\in Y_a} q^{-Y_{bj}^T+i}t^{-Y_{ai}+j-1} + \sum_{(i,j)\in Y_b} q^{Y_{aj}^T-i+1}t^{Y_{bi}-j} \right). \tag{3.6}\]

这里$q=e^{-R\epsilon_1},\, t=e^{R\epsilon_2}$。利用这一结果，立刻就能得到 $N=2$ 纯 super Yang-Mills 理论的 Nekrasov 配分函数$Z=\sum_{k=0}^{\infty}\Lambda^k Z_k$为 [3]

\[\begin{aligned} Z_{\mathrm{pure}} = \sum_{k=0}^{\infty}\Lambda^k \sum_{|\vec{Y}|=k} \prod_{a,b=1}^{N_c} &\prod_{(i,j)\in Y_a} \frac{1}{ a_a-a_b+\epsilon_1(-Y_{bj}^T+i)+\epsilon_2(Y_{ai}-j+1) } \\ \times\, &\prod_{(i,j)\in Y_b} \frac{1}{ a_a-a_b+\epsilon_1(Y_{aj}^T-i+1)+\epsilon_2(-Y_{bi}+j) }. \end{aligned} \tag{3.7}\]

亢多重态（hypermultiplet）

为了讨论包含物质场，也就是亢多重态5的理论，只需考虑模空间 $\mathcal{M}_k$ 上的物质丛（matter bundle）$E$，其纤维取为瞬子背景中的 Dirac 零模。于是配分函数就可写成这一扭曲复形的指标：

\[Z_k^{5\mathrm{D}} = \mathrm{Ind}\,\mathcal{D}_E = \int_{\mathcal{M}_k} \hat{A}(T\mathcal{M}_k)\,\mathrm{ch}(E). \tag{3.8}\]

当亢多重态按伴随表示变换时，物质丛就只是 $\mathcal{M}_k$ 的切丛。因此，此时对应的 $\mathcal{N}=2^*$ 理论6的配分函数为

\[\begin{aligned} Z_{\mathrm{adj}}^{5\mathrm{D}} &= \sum_{k=0}^{\infty} q^k \int_{\mathcal{M}_k} \prod_i (1-e^{-Rm}e^{-R x_i}) \frac{R x_i}{1-e^{-R x_i}} = \sum_{k=0}^{\infty} q^k \chi_y(\mathcal{M}_k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} q^k \sum_{p\in \mathrm{fixed\ points}} \prod_i \frac{1-e^{-Rm}e^{-R\omega_{i,p}}}{1-e^{-R\omega_{i,p}}}. \end{aligned} \tag{3.9}\]

其中$y=e^{-Rm}$。这正是 Hirzebruch 的 $\chi_y$ 亏格。特别地，对于 $\mathcal{N}=4$ 理论，也就是 $m=0$ 时，$\chi_y$ 就变成 Euler 示性数

\[\sum (-1)^{n,m}\dim_{\mathbb{C}} H^{n,m}(\mathcal{M}_k),\]

因此，$\mathcal{N}=4$ Yang-Mills 理论的五维配分函数就是

\[Z_{N=4}^{5\mathrm{D}} = \sum_{k=0}^{\infty} q^k \chi(\mathcal{M}_k)\]

这种形式。

同样地，伴随表示亢多重态的贡献也能从上面的结果直接读出：

\[\begin{aligned} z_{\mathrm{adj}}^{5\mathrm{D}}(\vec{a},m,\vec{Y};q,t) = \prod_{a,b=1}^{N_c} &\prod_{(i,j)\in Y_a} \left( 1-e^{-R(a_a-a_b-m)} q^{-Y_{bj}^T+i} t^{-Y_{ai}+j-1} \right) \\ \times\, &\prod_{(i,j)\in Y_b} \left( 1-e^{-R(a_a-a_b-m)} q^{Y_{aj}^T-i+1} t^{Y_{bi}-j} \right). \end{aligned} \tag{3.10}\]

把它改写为四维规范理论中的因子，也完全与前面相同：

\[1-e^{-Ra}q^m t^{-n} = 1-e^{-R(a+m\epsilon_1+n\epsilon_2)} \;\longrightarrow\; a+m\epsilon_1+n\epsilon_2. \tag{3.11}\]

对其他表示的场的情形，原则上也可以同样地计算。

3.2 Nekrasov 配分函数的计算工具包

下面来总结一下 Nekrasov 配分函数。我们将对 $\prod_i U(N_i)$ quiver 规范理论给出其一般公式。Nekrasov 配分函数可以写成对每个规范群因子 $U(N_i)$ 所对应的 $N_i$ 个 Young 图的集合

\[\vec{Y}^{(i)} = \left( Y_1^{(i)}, Y_2^{(i)}, \ldots, Y_{N_i}^{(i)} \right)\]

的求和：7

\[Z_{\mathrm{Nek}} = \sum_{\vec{Y}^{(1)}, \vec{Y}^{(2)}, \ldots, \vec{Y}^{(n)}} \prod_i q_i^{|\vec{Y}^{(i)}|} \, z(\vec{Y}; \vec{a}, \vec{m}). \tag{3.12}\]

这里，瞬子因子定义为$q^{|\vec{Y}|} = q^{\sum |Y_n|}$，而 $q_i$ 是第 $i$ 个规范群因子的瞬子参数，$q_i = e^{2\pi i \tau_i}$。权重因子 $z$ 则由各个多重态贡献的乘积给出：

\[z(\vec{Y}; \vec{a}, \vec{m}) = \prod_i z_{\mathrm{vect}}(\vec{a}^{(i)}, \vec{Y}^{(i)}) \prod_{\mathrm{rep.}\,\mathcal{R}} z_{\mathrm{hyper}\,\mathcal{R}} \bigl( \vec{Y}^{(1)}, \ldots ; \vec{a}^{(1)}, \ldots , m^{\mathcal{R}} \bigr). \tag{3.13}\]

给出这些贡献的矢量多重态和亢多重态的权重因子，具体为

\[\begin{aligned} z_{\mathrm{vect}}(\vec{a}, \vec{Y}) = \prod_{\alpha,\beta=1,\ldots,N} &\prod_{(i,j)\in Y_{\alpha}} \left( a_{\alpha}-a_{\beta} - \ell_{Y_{\beta}}(i,j)\epsilon_1 + (a_{Y_{\alpha}}(i,j)+1)\epsilon_2 \right)^{-1} \\ \times\, &\prod_{(i,j)\in Y_{\beta}} \left( a_{\alpha}-a_{\beta} + (\ell_{Y_{\alpha}}(i,j)+1)\epsilon_1 - a_{Y_{\beta}}(i,j)\epsilon_2 \right)^{-1}, \end{aligned} \tag{3.14}\] \[\begin{aligned} z_{\mathrm{bifund}}(\vec{a}, \vec{Y}; \vec{b}, \vec{W}; m) = \prod_{\alpha,\beta=1,\ldots,N} &\prod_{(i,j)\in Y_{\alpha}} \left( a_{\alpha}-b_{\beta}-m - \ell_{W_{\beta}}(i,j)\epsilon_1 + (a_{Y_{\alpha}}(i,j)+1)\epsilon_2 \right) \\ \times\, &\prod_{(i,j)\in W_{\beta}} \left( a_{\alpha}-b_{\beta}-m + (\ell_{Y_{\alpha}}(i,j)+1)\epsilon_1 - a_{W_{\beta}}(i,j)\epsilon_2 \right), \end{aligned} \tag{3.15}\] \[z_{\mathrm{adj}}(\vec{a}, \vec{Y}; m) = z_{\mathrm{bifund}}(\vec{a}, \vec{Y}; \vec{a}, \vec{Y}; m), \tag{3.16}\] \[z_{\mathrm{fund}}(\vec{a}, \vec{Y}; m) = \prod_{\alpha=1}^{N}\prod_{(i,j)\in Y_{\alpha}} \left( a_{\alpha}+\epsilon_1 i+\epsilon_2 j-m \right), \tag{3.17}\] \[z_{\mathrm{antifund}}(\vec{a}, \vec{Y}; m) = z_{\mathrm{fund}}(\vec{a}, \vec{Y}; \epsilon_1+\epsilon_2-m). \tag{3.18}\]

这里我们只考虑即双基本表示、伴随表示以及基本表示。为了使这些因子的表达更清晰，我们对 Young 图中的一个格子 $s=(i,j)\in Y$ 引入臂长（arm length）$a_Y(s)$ 与腿长（leg length）$\ell_Y(s)$ 的概念：8

\[a_Y(s)=Y_i-j, \qquad \ell_Y(s)=(Y^T)_j-i, \qquad \text{for } s=(i,j). \tag{3.19}\]

关于这些量的图形意义，可参见附录 A。

下面从这些公式出发，写出若干具体的配分函数。作为例子，考虑$SU(N)_1\times SU(N)_2\times SU(N)_3$ 规范理论，其中分别有一个处于$SU(N)_1\times SU(N)_2$ 双基本表示的物质场，以及一个处于 $SU(N)_1$ 基本表示的物质场。根据上面的构造，其配分函数为

\[\begin{aligned} Z_{\mathrm{Nek}} = \sum_{\vec{Y}^{(1)}, \vec{Y}^{(2)}, \vec{Y}^{(3)}} \, q_1^{|\vec{Y}^{(1)}|} q_2^{|\vec{Y}^{(2)}|} q_3^{|\vec{Y}^{(3)}|} &\, z_{\mathrm{vect}}(\vec{a}^{(1)}, \vec{Y}^{(1)}) z_{\mathrm{vect}}(\vec{a}^{(2)}, \vec{Y}^{(2)}) z_{\mathrm{vect}}(\vec{a}^{(3)}, \vec{Y}^{(3)}) \\ &\times z_{\mathrm{bifund}}(\vec{a}^{(1)}, \vec{Y}^{(1)}; \vec{a}^{(2)}, \vec{Y}^{(2)}; m)\, z_{\mathrm{fund}}(\vec{a}^{(1)}, \vec{Y}^{(1)}; m'). \end{aligned}\]

$SU(2)$ 纯 Yang-Mills 理论

首先来计算 $SU(2)$ 纯 Yang-Mills 理论。这个理论中只有来自矢量多重态的贡献 $z_{\mathrm{vect}}$，因此 Nekrasov 配分函数可以写成9

\[\begin{aligned} Z_{\mathrm{pure}\,SU(2)}(\vec{a}, \Lambda, \epsilon_1, \epsilon_2) &= \sum_k \Lambda^{4k} Z_k(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) \\ &= \sum_{\vec{Y}} \frac{\Lambda^{4|\vec{Y}|}} {\prod_{\alpha,\beta=1}^{2} n_{\alpha,\beta}^{\vec{Y}}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2)}. \end{aligned} \tag{3.20}\]

这里我们考虑的是 $SU(2)$ 规范群，所以 Nekrasov 配分函数是对两个 Young 图$\vec{Y}=(Y_1,Y_2)$求和得到的。这里分母中出现的函数来自矢量多重态的权重因子：

\[\begin{aligned} n_{\alpha,\beta}^{\vec{Y}}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) = &\prod_{(i,j)\in Y_{\alpha}} \left( a_{\alpha}-a_{\beta} - \ell_{Y_{\beta}}(i,j)\epsilon_1 + (a_{Y_{\alpha}}(i,j)+1)\epsilon_2 \right) \\ \times\, &\prod_{(i,j)\in Y_{\beta}} \left( a_{\alpha}-a_{\beta} + (\ell_{Y_{\alpha}}(i,j)+1)\epsilon_1 - a_{Y_{\beta}}(i,j)\epsilon_2 \right). \end{aligned} \tag{3.21}\]

这里，$\vec{a}=(a_1,a_2)$ 是对应于矢量多重态标量真空期望值对角成分 $\mathrm{diag}(a_1,a_2)$ 的库仑支参数，而对 $SU(2)$ 规范群来说，由迹零条件知$a_1=-a_2=a$10。下面来把这个配分函数在 1 瞬子与 2 瞬子层级上具体算出来。

在 Young 图向量中，满足 $k=|\vec{Y}|=1$ 的那些项对 1 瞬子配分函数有贡献。这类 Young 图列总共有两种，即

\[\vec{Y}=(\square,\varnothing),\qquad (\varnothing,\square),\]

其中 $\varnothing$ 表示没有格子的空 Young 图。于是先对 $\vec{Y}=(\square,\varnothing)$ 计算式 (3.21)：

\[\prod_{\alpha,\beta=1}^{2} n_{\alpha,\beta}^{(\square,\varnothing)}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) = n_{1,1}^{\vec{Y}}\cdot n_{1,2}^{\vec{Y}}\cdot n_{2,1}^{\vec{Y}} = \epsilon_1\epsilon_2\,a_{21}(a_{12}+\epsilon). \tag{3.22}\]

这里定义了

\[\epsilon=\epsilon_1+\epsilon_2, \qquad a_{\alpha\beta}=a_{\alpha}-a_{\beta}.\]

对于 $(\varnothing,\square)$ 也完全类似，因此 1 瞬子配分函数最终为

\[Z_{k=1}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) = \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2\,a_{12}(a_{21}+\epsilon)} + \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2\,a_{21}(a_{12}+\epsilon)}. \tag{3.23}\]

接着来看 2 瞬子，即 $k=|\vec{Y}|=2$ 的情形。此时有贡献的 Young 图列，是总格子数为 2 的各种组合。因此，会出现如下类型的贡献：

\[\vec{Y}=(\square,\square),\qquad ([1^2],\varnothing),\qquad ([2],\varnothing),\qquad \ldots\]

先对 $\vec{Y}=(\square,\square)$ 进行计算。此时分母因子为

\[\begin{aligned} \prod_{\alpha,\beta=1}^{2} n_{\alpha,\beta}^{(\square,\square)}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) &= n_{1,1}^{\vec{Y}}\cdot n_{1,2}^{\vec{Y}}\cdot n_{2,1}^{\vec{Y}}\cdot n_{2,2}^{\vec{Y}} \\ &= (\epsilon_1\epsilon_2)^2 (a_{12}+\epsilon_1)(a_{12}-\epsilon_1)(a_{12}+\epsilon_2)(a_{12}-\epsilon_2). \end{aligned} \tag{3.24}\]

接下来，对 $\vec{Y}=([1^2],\varnothing)$ 有

\[\begin{aligned} \prod_{\alpha,\beta=1}^{2} n_{\alpha,\beta}^{([1^2],\varnothing)}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) &= n_{1,1}^{\vec{Y}}\cdot n_{1,2}^{\vec{Y}}\cdot n_{2,1}^{\vec{Y}} \\ &= \left( 2\epsilon_1\epsilon_2^2(\epsilon_1-\epsilon_2) \right) a_{12}(a_{12}+\epsilon)(a_{12}+\epsilon_2)(a_{12}+\epsilon+\epsilon_2), \end{aligned} \tag{3.25}\]

而对 $\vec{Y}=([2],\varnothing)$ 则有

\[\begin{aligned} \prod_{\alpha,\beta=1}^{2} n_{\alpha,\beta}^{([2],\varnothing)}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) &= n_{1,1}^{\vec{Y}}\cdot n_{1,2}^{\vec{Y}}\cdot n_{2,1}^{\vec{Y}} \\ &= \left( 2\epsilon_1^2\epsilon_2(\epsilon_2-\epsilon_1) \right) a_{12}(a_{12}+\epsilon)(a_{12}+\epsilon_1)(a_{12}+\epsilon+\epsilon_1). \end{aligned} \tag{3.26}\]

对 $\vec{Y}=(\varnothing,[2])$ 也完全类似。因此把所有这些贡献合并起来，2-瞬子配分函数可写为

\[\begin{aligned} Z_{k=2}(\vec{a}, \epsilon_1, \epsilon_2) = & \frac{1} {(\epsilon_1\epsilon_2)^2(a_{12}+\epsilon_1)(a_{12}-\epsilon_1)(a_{12}+\epsilon_2)(a_{12}-\epsilon_2)} \\ &+ \sum_{\alpha=1,2} \frac{1} {\left( 2\epsilon_1\epsilon_2^2(\epsilon_1-\epsilon_2) \right) \prod_{\beta\neq\alpha}^{2} a_{\alpha\beta}(a_{\alpha\beta}+\epsilon)(a_{\alpha\beta}+\epsilon_2)(a_{\alpha\beta}+\epsilon+\epsilon_2)} \\ &+ \sum_{\alpha=1,2} \frac{1} {\left( 2\epsilon_1^2\epsilon_2(\epsilon_2-\epsilon_1) \right) \prod_{\beta\neq\alpha}^{2} a_{\alpha\beta}(a_{\alpha\beta}+\epsilon)(a_{\alpha\beta}+\epsilon_1)(a_{\alpha\beta}+\epsilon+\epsilon_1)}. \end{aligned} \tag{3.27}\]

把各个次数 $k$ 得到的有理式通分之后，就能把配分函数写成瞬子展开的形式。由上面的结果，再注意到

\[a_{12}=-a_{21}=2a,\]

就得到

\[\begin{aligned} Z_{\mathrm{pure}\,SU(2)}(\vec{a}, \Lambda, \epsilon_1, \epsilon_2) &= 1 + q\,\frac{2}{\epsilon_1\epsilon_2(\epsilon^2-4a^2)}\\ &+ q^2 \frac{8\epsilon^2+\epsilon_1\epsilon_2-8a^2} {(\epsilon_1\epsilon_2)^2(\epsilon^2-4a^2)\bigl((2\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2\bigr)\bigl((\epsilon_1+2\epsilon_2)^2-4a^2\bigr)} +\cdots, \end{aligned} \tag{3.28}\]

其中 1-瞬子因子记为$q=\Lambda^4$。下一章中，我们将看到这个配分函数如何由 Verma 模中的相干态重新得到。

$SU(2)\, N_f=4$ 超对称规范理论

接下来考虑 $SU(2)$ 的 $N_f=4$ SQCD。这个理论含有四个处于（反）基本表示的亢多重态，因此其配分函数写成

\[\begin{aligned} Z_{SU(2)\,N_f=4\,\mathrm{SQCD}}(\vec{a}, &\vec{\mu}, q, \epsilon_1, \epsilon_2) = \sum_{Y_1,Y_2} q^{|Y_1|+|Y_2|} \, z_{\mathrm{vect}}(\vec{a}, \vec{Y})\\ &\times z_{\mathrm{antifund}}(\vec{a}, \vec{Y}, \mu_1) z_{\mathrm{antifund}}(\vec{a}, \vec{Y}, \mu_2) z_{\mathrm{fund}}(\vec{a}, \vec{Y}, \mu_3) z_{\mathrm{fund}}(\vec{a}, \vec{Y}, \mu_4). \end{aligned} \tag{3.29}\]

这一表达式的各项分母中依然含有来自矢量多重态的贡献 $\prod_{\alpha,\beta} n_{\alpha,\beta}^{\vec{Y}}$。与纯 Yang-Mills 理论不同的是，这里分子中还含有来自亢多重态的因子：11

\[\begin{aligned} Z_{SU(2)\,N_f=4\,\mathrm{SQCD}} &= \sum_{Y_1,Y_2} q^{|Y_1|+|Y_2|} \frac{ \prod_{f=1}^{4}\prod_{\alpha=1}^{2}\prod_{(i,j)\in Y_{\alpha}} (a_{\alpha}+\epsilon_1 i+\epsilon_2 j-m_f) }{ \prod_{\alpha,\beta} n_{\alpha,\beta}^{(Y_1,Y_2)} } \\ &= 1 + q\,\frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2} \left( \frac{\prod_{f=1}^{4}(a_2+\epsilon-m_f)}{a_{12}(a_{21}+\epsilon)} + \frac{\prod_{f=1}^{4}(a_1+\epsilon-m_f)}{a_{21}(a_{12}+\epsilon)} \right) +\cdots . \end{aligned} \tag{3.30}\]

这里

\[m_{1,2}=\epsilon-\mu_{1,2}, \qquad m_{3,4}=\mu_{3,4}.\]

因此，这个配分函数也和前面的 Yang-Mills 理论例子一样，可以通过对各种 Young 图组合求和而写成瞬子展开。其中特别是 1 瞬子部分，我们将在第 4 章中具体计算。

$N=2^*$ $SU(2)$ 理论

所谓 $N=2^*$ 理论，是由 $N=4$ 理论做质量变形之后得到的 $N=2$ 规范理论。因此，这个理论中包含一个按伴随表示变换的亢多重态。对 $N=2^*$ 的 $SU(2)$ 理论，同样不难直接写下 Nekrasov 配分函数：

\[Z_{SU(2)\,N=2^*}(\vec{a}, m, q, \epsilon_1, \epsilon_2) = \sum_{Y_1,Y_2} q^{|Y_1|+|Y_2|} \, z_{\mathrm{vect}}(\vec{a}, \vec{Y}) z_{\mathrm{adj}}(\vec{a}, \vec{Y}, m). \tag{3.31}\]

这个结果是显然的。至于对 Young 图求和的具体计算，这里就不再展开了。

[译者注] 为了方便后面的$\mathcal{T}_{1,1}[A_1]$理论的AGT对应的check，这里写下1-instanton的贡献：

\[Z_{SU(2)\,N=2^*}=1+q\frac{(\epsilon_1-m)(\epsilon_2-m)}{2a\epsilon_1\epsilon_2}\times\left[\frac{(2a+m-\epsilon)(2a-m)}{2a-\epsilon}+\frac{(2a-m+\epsilon)(2a+m)}{2a+\epsilon}\right]+\mathcal{O}(q^2)\]

这里已经选取了$a_1=-a_2=a$。

  1. 所以这一段作者其实写的非常跳步。 ↩

  2. 这里的$x_i$是下面定义的chern roots，$r$是chern roots的个数。 ↩

  3. 在场论这边对应vector multiplet的scalar的vev，也就是coulomb模参数，后面会看到在brane的构造下其实就是那些NS5 brane之间的color D4 brane的位置$v_i$。 ↩

  4. 下面公式的$(i,j)\in Y_a$表示对属于$Y_a$的格子求和，这里的$Y_{ai}$表示$Y_a$的第$i$行多少个格子，$Y^T_{bj}$表示$Y_b$的第$j$列有几个格子。另外注意这里的$\vec{Y}$里面的每一个分量都是一个杨图。 ↩

  5. 这里的翻译借用了黄晨学长的弦论笔记中的翻译，hyper也有超的意思，如果直接翻译成“超”就容易和更general的supermultiplet撞，所以就借用了“亢”（当然你也可以借用网络热词翻译成“夯“多重态😂）。 ↩

  6. 这里的意思应该是$m$是hypermultiplet的质量参数，无质量的时候susy enhance，对应$\mathcal{N}=4$，有质量的时候超对称自发破缺还剩下一半，$\mathcal{N}=2$。 ↩

  7. 这里的记号可能有些误导，虽然从上下文上可以很容易判断。一般文献中讲的Nekrasov配分函数指的是三部分贡献$Z_{\text{Nek}}=Z_{\text{classical}}Z_{1\text{-loop}}Z_{\text{instanton}}$。本章中我们其实一直讨论的都是瞬子修正部分$Z_{\text{instanton}}$，在AGT对偶里这对应Liouville理论的共形block部分，而Liouville理论完整的DOZZ关联函数对应的是全部三部分贡献得到的$Z_{\text{Nek}}$。这个在后面讨论中会再次提到，读者请注意这里术语的些许滥用。 ↩

  8. 注意杨图格子坐标是从1开始的数学家计数而不是0开始的程序员计数，对于空杨图显而易见这两个会变成$-1$，虽然从名字上看像是“长度”。 ↩

  9. 注意和上一节的3.7相比我们换了个$\Lambda$的约定。读者如果熟悉$\mathcal{N}=2$理论的beta函数的话，应当知道k-instanton给的贡献就是$\Lambda^{4k}$。 ↩

  10. 用上一节的语言$\vec{a}$的自由度取决于极大torus，对于$U(2)$上一节语言中$N_c=3$，不过加上special条件之后只剩下一个独立的自由度。 ↩

  11. 这里原文有个极其tricky的笔误，直接导致这里的配分函数计算和后面关键用于表述AGT对偶引用的配分函数有细微的不一致。翻译已经更正。 ↩

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